专练 03 选择题（压轴）
1．（2019·新疆维吾尔自治区高考模拟（文））已知三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且长度相等.
若点 ， ， ， 都在半径为 的球面上，则球心到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且长度相等，
此三棱锥的外接球即以 ， ， 为三边的正方体的外接球 ，
球 的半径为 ，
正方体的边长为 ，即 ，
球心到截面 的距离即正方体中心到截面 的距离，
设 到截面 的距离为 ，则正三棱锥 的体积 ，
为边长为 的正三角形， ，
，
∴球心（即正方体中心） 到截面 的距离为 .
故选 C.
2．（2019·山西省高考模拟（文））在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的等边
三角形， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
P ABC− PA PB PC
P A B C 1 ABC
3
6
1
2
1
3
3
2
P ABC− PA PB PC
∴ PA PB PC O
O 1
∴ 2 3
3
2 3
3PA PB PC= = =
ABC ABC
P ABC h P ABC− 1 1
3 3ABCV S h∆= × = 1
3P ABS PC∆ × = ×
3
1 2 3
2 3
×
ABC∆ 2 6
3
2 3
3ABCS∆ =
2
3h∴ =
O ABC 1
3
P ABC− PAB ⊥ ABC ABC∆ 2 3
7PA PB= =
16π 65
4
π 65
16
π 49
4
π如图所示，取 中点 ，连接 ，三角形的中心 在 上，
过点 作平面 垂线.在垂线上取一点 ，使得 ，
因为三棱锥底面是一个边长为 的等边三角形， 为三角形的中心，
点即为球心，
因为 为 中点，所以 ，
因为平面 平面
平面 ，则 ，
，
，
设球的半径为 ,则有 ，
作 于 ，则 为矩形，
，即 ,解得 ，
故表面积为 ，故选 B .
3．（2019·高考模拟（理））如图，在正方体 ，点 在线段 上运
动，则下列判断正确的是（ ）
①平面 平面
② 平面
③异面直线 与 所成角的取值范围是
④三棱锥 的体积不变
A．①② B．①②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】对于①，连接 DB1，根据正方体的性质，有 DB1⊥面 ACD1 ，DB1⊂平面 PB1D，从而可以证明平面 PB1D⊥
AB D ,PD CD E CD
E ABC O PO OC=
2 3 E
,OA OB OC∴ = = O∴
,PA PB D= AB PD AB⊥
PAB ⊥ ,ABC
PD∴ ⊥ ABC / /OE PD
2 2 212 3 3, 2, 13CD CA AD CE CD DE CD CE= − = − = = = = − =
2 2 2PD PB BD= - =
r 2, 4PO OC r OE r= = = −
OG PD⊥ G OEDG
2 2 2( )PD DG OG PO− + = ( )2
2 2 22 4 1r r− − + = 2 65
16r =
2 654 4S r
ππ= =
1 1 1 1ABCD A B C D− P 1BC
1PB D ⊥ 1ACD
1 / /A P 1ACD
1AP 1AD 0, 3
π
1D APC−平面 ACD1，正确．
②连接 A1B，A1C1 容易证明平面 BA1C1∥面 ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面 ACD1，正确．
③当 P 与线段 BC1 的两端点重合时，A1P 与 AD1 所成角取最小值 ，
当 P 与线段 BC1 的中点重合时，A1P 与 AD1 所成角取最大值 ，
故 A1P 与 AD1 所成角的范围是 ，错误；
④ = ，C 到面 AD1P 的距离不变，且三角形 AD1P 的面积不变．
∴三棱锥 A﹣D1PC 的体积不变，正确；
正确的命题为①②④．
故选 B．
4．（2019·天津高考模拟（文））已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C
的两条渐近线的交点分别为 M、N.若 OMN 为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，
从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，
可以得出直线 的方程为 ，
分别与两条渐近线 和 联立，
求得 ，
3
π
2
π
3 2
π π
，
1A D PCV − 1A CD PV −
2
2 13
x y− =
3
2 2 3
3
3
± (2,0)F
30FON °∠ = MN 60° 120°
60°
MN 3( 2)y x= −
3
3y x= 3
3y x= −
3 3(3, 3), ( , )2 2M N −所以 ，故选 B.
5．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（文））已知 P 为双曲线 上一点，
为双曲线 C 的左、右焦点，若 ，且直线 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依据题意作出图象，如下：
则 ， ，
又直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，
所以 ,
所以
由双曲线定义可得： ，所以 ，
所以
整理得： ，即：
将 代入 ，整理得： ，
所以 C 的渐近线方程为
故选 A
6．（2019·陕西省高考模拟（文））已知椭圆 ， 、 是椭圆上关于原点对称的两点，
2 23 3(3 ) ( 3 ) 32 2MN = − + + =
2 2
2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2F F，
1 1 2PF F F= 2PF
4
3y x= ± 3
4y x=± 3
5y x= ± 5
3y x= ±
1 1 2 2PF F F c= = OM a=
2OM PF⊥
2 2
2MF c a b= − =
2 1 2PF PF a− = 2 2 2PF c a= +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2cos 2 2 2 2
c a c cbOF M c c a c
+ + −∠ = = × × +
2b a c= + 2b a c− =
2c b a= − 2 2 2c a b= + 4
3
b
a
=
4
3
by x xa
= ± = ±
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > M N P是椭圆上任意一点，且直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 M（m，n）,则 N（-m，-n）,其中 ，则 ……①
设 P（x，y），因为点 P 在椭圆上，所以 ，即 ………………②
又 k1= ，k2= ，因为 = ,所以| |= ………………………………③
① ②代入③得：| |= ，即 ，所以 ，所以 ．
7．（2019·甘肃省高考模拟（文））已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，以 为边作一个等边三角形
，若点 在抛物线的准线上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标 ，
由抛物线的定义可得 等于 到准线的距离，
因为 在准线上，所以 与准线垂直与 轴平行，
因为三角形 为正三角形，
所以
可得直线 ，
可得 ，
可得 ，则 ， ，
等于 到准线的距离 ，故选 B.
8．（2017·山西省高考模拟（理））某高校大一新生中的 6 名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞
社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加 1 个社团且每个社团至多两人
PM PN 1k 2k 1 2
1
4k k =
1
2
2
2
3
2
2
3
1 2k k 1
4参加，则这 6 个人中至多有 1 人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ）
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
【答案】C
【解析】若有 人参加“演讲团”，则从 人选 人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况：
和 ，故 人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演
讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同
参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 ，故选 C.
9．（2019·山东省高考模拟（理））若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数的解析式可得： ，
函数在 上单调递减，则 恒成立，即： ，
据此可得： 恒成立，
令 ，则 ，
故函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
函数 的最大值为 ，由恒成立的结论可得： ，
表示为区间形式即 .
故选：C.
10．（2019·福建省高考模拟（理））若曲线 与 存在公共切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设曲线的切点坐标为 ，该切线方程为
，切点为 ，该切线方程为 ，利用待定系数法
1 6 1 5 4 2
1,1,1,2 1,2,2 1
2 2 1 1 1
1 3 45 3 5 4 3
6 4 42 3
2 3
3600C C C C CC A AA A
+ =
6 4 2 1,1,2,2 2,2,2
2 2 1
4 3 2 26 4 2
4 4 6 42 2
2 2
+C 1440C C C A C CA A
= 3600 1440 5040+ =
( ) 2 xf x x ke= − (0, )+∞ k
8 ,e
+∞
4 ,e
+∞
2 ,e
+∞
1,e
+∞
( )' 2 xf x x ke= −
(0, )+∞ ( )' 0f x ≤ 2 0xx ke− ≤
2
x
xk e
≥
( ) ( )2 0x
xg x xe
= > ( ) ( )2 1' x
xg x e
−=
( )g x ( )0,1 ( )1,+∞
( )g x ( ) 21g e
= 2k e
≥
2 ,e
+∞
2y x= ln ( 0)y a x a= ≠ a
( ]0,2e ( ]0,e ( ](- 0) 0,2e∞ ∪， ( ](- ,0) 0,e∞ ∪
( )2
0 0,x x 2
0 02y x x x= −
lny a x= ( )1 1, lnx a x 1
1
lnay x a a xx
= − +得到 ，得到 ，构造函数
计算导函数，得到 在 递增，在 递减，故 最大值为
所以 ，故选 C。
11．（2019·山西省高考模拟（理））函数 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 恰有两个整数解，即 恰有两个整数解，
令 ，得 ，令 ，易知 为减函数.
当 , ， 单调递增；
当 , ， 单调递减.
.
由题意可得： ，，所以 .
故选 D.
12．（2019·甘肃省高考模拟（文））设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，
，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 上的增函数，
又 ，
2
0 0 1
1
2 , lna x x a x ax
= − = − 2 24 4 lna x x x= − ( ) 2 24 4 lng x x x x= −
( )g x
1
20,e
1
2 ,e
+∞
( )g x 2e
( ) ( ],0 0,2a e∈ −∞ ∪
2( ) ln 0f x x x ax= − + ≤ a
ln 2 2 12 a− < ≤ − 2 1a− < ≤ − 3 1a− < ≤ − ln3 ln 23 23 2a− < ≤ −
( ) 2 ln 0f x x x ax= − + ≤ lnxa xx
≤ −
( )g x lnx xx
= − ( ) 2
2
1g' x lnx x
x
− −= ( ) 2h x 1 lnx x= − − ( )h x
( )0,1x∈ ( ) ( )h x 0, x 0g> ′ > ( )g x
( )1,x ∞∈ + ( ) ( )h x 0, x 0g< ′ < ( )g x
( ) ( ) ( )ln2 ln3g 1 1 g 2 2, 3 32 3g= − = − = −，
( ) ( )g 3 2a g< ≤ ln3 ln23 23 2a− < ≤ −
R ( )f x ( )'f x ( ) ( )' 2f x f x+ >
( )0 2020f = ( ) 2 2018x xe f x e> + e
( )0, ∞+ ( )2018,+∞
( )2020,+∞ ( ) ( ),0 2018,−∞ +∞
( ) ( ) 2x xg x e f x e= −
( ) ( ) ( )' ' 2x x xg x e f x e f x e= + − ( ) ( )' 2xe f x f x= + −
( ) ( )' 2f x f x+ > 0xe >
( ) ( ) ( )' ' 2 0xg x e f x f x= + − >
( )g x R
( ) ( )0 0 2 2018g f= − =∴ 的解集为 ，
即不等式 的解集为 .
故选 A.
13．（2019·天津静海一中高考模拟（理））已知函数 的定义域为 ，且函数 的图象
关于直线 对称，当 时， （其中 是 的导函数），若
, , ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
， ，
当 时， ；
当 时， ，
即 在 上递增，
的图象关于 对称，
向右平移 2 个单位得到 的图象关于 轴对称，
即 为偶函数， ，
，
，
即 ，
，
即 .
故选 D.
14．（2019·广东省高考模拟（文））已知函数 存在极值点 ，且 ，其中
( ) 2018g x > ( )0, ∞+
( ) 2 2018x xe f x e> + ( )0, ∞+
( )y f x= ( ),π π− ( )2y f x= +
2x = − ( )0,x π∈ ( ) ln ' sin2f x x f x
ππ = −
( )'f x ( )f x
( )log 3a f π= 1
3
log 9b f
=
1
3c f π =
, ,a b c
b a c> > a b c> > c b a> > b c a> >
( ) ln ' sin2f x x f x
ππ = − ( )' ' cos2f x f xx
π π ∴ = −
' 2 ' cos 22 2 2f f
π π π = − =
( )' 2cosf x xx
π= −
2 x
π ≤ < π ( )2cos 0, ' 0x f x≤ >
0 2x
π< < ( )2,2cos 2, ' 0x f xx
π > < ∴ >
( )f x ( )0,π
( )2y f x= + 2x = −
( )2y f x∴ = + ( )y f x= y
( )y f x= ( ) ( )1
3
log 9 2 2b f f f
= = − =
0 log 1 log 3 log 1π π π π= < < =
1 1
0 3 21 2π π π= < < <
1
30 log 3 2π π π< < < <
( ) ( )1
32 log 3f f f ππ ∴ > >
b c a> >
3 2( )f x x x ax a= − + − 0x ( ) ( )1 0f x f x=， （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】由题意，求得导数 ，
因为函数 存在极值点 ， ，即 ，
因为 ，其中 ，所以 ，
化为： ，
把 代入上述方程可得： ，
化为： ，
因式分解： ， ， ．
故选 C．
15．（2019·浙江省高考模拟）在正四面体 ABCD 中，P，Q 分别是棱 AB，CD 的中点，E，F 分别是直线 AB，CD
上的动点，M 是 EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（ ）
A．PE＋QF＝2 B．PE•QF＝2
C．PE＝2QF D．PE2＋QF2＝2
【答案】D
【解析】如图：取 BC、BD、AC、AD 的中点为 G、H、K、L，因为 P、Q 是定点，所以 PQ 的中点 O 为定点，由
对称性可知，PQ、EF 的中点在中截面 GHLK 上运动，
∵ + = + ,∴ ，
又在正四面体中，对棱垂直，∴PE QF，
∴ ，
∴4 =
若点 M 的轨迹是以 O 为圆心的圆，则 为定值，
只有 D 符合题意，故选 D.
1 0x x≠ 1 0x 2x+ =
( ) 2f' x 3x 2x a= − +
( ) 3 2f x x x ax a= − + − 0x 2
0 03x 2x a 0∴ − + = 2
0 0a 3x 2x= − +
( ) ( )1 0f x f x= 1 0x x≠ 3 2 3 2
1 1 1 0 0 0x x ax a x x ax a− + − = − + −
( )2 2
1 1 0 0 1 0x x x x x x a 0+ + − + + =
2
0 0a 3x 2x= − + ( )2 2 2
1 1 0 0 1 0 0 0x x x x x x 3x 2x 0+ + − + − + =
2 2
1 1 0 0 0 1x x x 2x x x 0+ − + − =
( )( )1 0 1 0x x x 2x 1 0− + − = 1 0x x 0− ≠ 1 0x 2x 1∴ + =
OM OP= PE EM+ OQ QF FM+ ( )1
2OM PE QF = +
⊥
2 2 2
PE QF PE QF + = +
2
OM 2 2 2
PE QF PE QF + = +
2 2
PE QF+
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