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浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 5 页 浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C B B A C C 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11． 1 2 12． 3 24; 40 2x− − 13． 2;4 2 23 + 14． 23; 3  15．20 16． 1− 17． 622; 2 − 三、解答题: 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分 14 分） 【答案】（Ⅰ）T =， 3()34f  =− ；（Ⅱ） 13[ , )44a 【解析】 （Ⅰ） 3 1 3( ) 2sin cos( ) cos2 sin 23 2 2 2f x x x x x= + − = − ， ……（4 分） 则最小正周期T =， ……（6 分） 3()34f  =− .（直接带入也可） ……（8 分） （Ⅱ） 3| ( ) | sin(2 ) 2 212 2 6f x a x a a+ + =  + = − 或 . ……（10 分） 35[0, ] 2 [ , ]4 6 6 3xx     +  ，考虑要有 3 个解，结合图像可知 1 2 1,2 32,2 a a   −  − ……（12 分） 故 . ……（14 分） 浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 5 页 19．（本小题满分 15 分） 【答案】（Ⅰ）证明略（Ⅱ）7 【解析】 （Ⅰ）设 F 为 DE 的中点， D 为 AC 的中点， 2BE EA= ，则 2AD AE==，故 ,AF DE A F DE⊥⊥. 3 4BP PC= ， 3 4 BP AB PC AC==，所以 AP 是 BAC 的角平分线，且 ,,A F P 三点共线. 由 DE FP DE A FP DE A PDE A F ⊥  ⊥  ⊥ ⊥ 面 . ……（6 分） （Ⅱ）法一：连结 AA .由 DE A FP⊥ 平面 得 ABC A FP⊥平面 平面 ，交线为 AP . 所以 A 在面 ABC 上的射影点 H 在 AP 上. A PH 为直线 AP 与平面 BCD 所成角. ……（9 分） 由余弦定理得 7cos 8CAB=， 故 1DE = ， 15 2AF A F== ， 由 23AA = 得 5sin 5A AP=，所以 2 15 5AH = . ……（11 分） 由（Ⅰ）得 AP 为角平分线.由余弦定理得 6 15 7AP = , 2 15 35PH == . ……（13 分） tan 7AHA PH PH  = = ，所以直线 与平面 所成角的正切值为 7. ……（15 分） 法二：如图，以 F 为原点， ,FE FP 为 ,xy轴建立空间直角坐标系. ……（8 分） 1 1 15 3 15 15 5 15(0,0,0), ( ,0,0), ( ,0,0), (0, ,0), ( , ,0), ( 1, ,0), (0, ,0)2 2 2 4 4 2 14F E D A B C P− − − , 设 (0, , )A a b ，由 15 2A F AF == ， 得 22 22 15,4 15( ) 12,2 ab ab  +=  + + = ……（10 分） 得 3 15 2 15(0, , )10 5A . ……（12 分） 平面 法向量为 (0,0,1)n = ……（13 分） 浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页 2 15 | | 7 25sin 102 30| | | | 17 PA n PA n  = = =    ,则 tan 7 = ，所以直线 AP 与平面 BCD 所成角的正 切值为 7. ……（15 分） 20．（本小题满分 15 分） 【答案】（Ⅰ） 1 2 2 2 2 1, 2 2, n n n na n + +  −=   − 为奇数, 为偶数 ;（Ⅱ）存在， {1,3,4}n 【解析】 （Ⅰ） 232, 3aa== ……（2 分） 当 n 为奇数时， 1 2 21 2 1 1 2( 1)n n n n na a a a a− − −= + = +  + = + ，则 1 221 n na + =−. ……（4 分） 当 为偶数时， 2 22 12 2 2 2 2 2 nn nnaa + −= =  − = − . ……（6 分） 综上所述 1 2 2 2 2 1, 2 2, n n n na n + +  −=   − 为奇数, 为偶数. ……（7 分） （Ⅱ）当 21nk=−时， 21k na =−，则 1 2 12 1 2 1 2 1 2 2kk kAk+= − + − + + − = − − . ……（9 分） 当 2nk= 时， 122k na +=−，则 2 3 1 22 2 2 2 2 2 2 2 4kk kBk++= − + − + + − = − − . ……（11 分） ① 1 2 11 22 3 2 3 6 332 2 2 2 k k k k kk kk S A B kk aa + ++ +  − −= = = −−− ，则 1k = 时， 1 33 2 2 2k k + =− 舍去。当 2k = 时， 1 3 122k k + =− ，故 4 4 2S a = ， 4n = ，符合条件.而 2k  时， 12 2 3 0k k+ −   ， 1 30122k k +− ，则不可能为整数. ……（13 分） 浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 4 页 共 5 页 ② 2 2 1 1 2 1 2 1 2 3 4 342 1 2 1 k k k k kk kk S A B kk aa + −− −− + −−= = = −−− ，则 1k = 时， 3 321k k =− ；当 2k = 时， 3 221k k =− ，则 1,3n = 都符合条件。当 3k = 时， 39 2 1 7k k =− ，舍去. 而 3k  时， 2 1 3 0k k−   ， 30121k k− ，则不可能为整数. 综上所述，存在， {1,3,4}n . ……（15 分） 21．（本小题满分 15 分） 【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）63 【解析】 （Ⅰ）过点 00( , )A x y 作切线 1 0 0: ( )l y k x x y= − + 00 2 002 () 4 4 4 0 4 y k x x y ky y y kx yx = − +  − + − = = ， 由 22 0 0 0 0 20 1 ( 2) 0ky k x ky k y =  − =  − =  = ……（2 分） 则 0 00T yx x xk= − = − ，则 0( ,0)Tx− . ……（4 分） 设直线 0:BC x my x=−，联立方程 0 2 4 x my x yx =− = 得 2 04 4 0y my x− + = 故 2 1 2 1 2 0 04 , 4y y m y y x y+ =  = = . ……（6 分） （Ⅱ）令 0tx= ，则 ( ,2 )A t t ， :BC x my t=−. 12 12 16 2 2 ( 2 ) ( 2 ) kk y t y t t m t  = = = − +  + + , 故 1()mt t = − + . ……（8 分） 2 2 2 12| | 1 | | 4 1BC m y y m m t= + − = +  − . ……（10 分） 2 | 2 2 | 1 t m td m −= + . ……（12 分） 31 (2 1)| | 42 tS BC d t +== ,| | 1AF t=+. ……（13 分） 3 2 (2 1)4 6 3| | ( 1) St AF t t +=+ ，故 || S AF 的最小值为63. ……（15 分） 22．（本小题满分 15 分） 【答案】（Ⅰ）(ln3, )+ ;（Ⅱ） 1 5 e 3( , ] [ , )2 4 3 e− − + + 【解析】 （Ⅰ）当 1a = 时， ( ) e 3xfx =−. ……（2 分） 由 ( ) e 3 0xfx = − = 得 ln 3x = . ……（4 分） 浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页 x (- ,ln3) ln 3 (ln3, )+ ()fx - 0 + ()fx 极小值 则 ()fx在 (- ,ln3) 上单调递减，在(ln3, )+ 上单调递增； 综上所述， 在 (ln3, )+ 上单调递增. ……（6 分） （Ⅱ） 3 2 2 2 25 e 3 5 e( ) ( ) ( e 3 ) e ( )4 3 e 4 3 xx xx x xf x g x a x axx  −  −  −  − 令 3 ex xt = ，则 3(1 ) ex xt − = (0,1) 1 (1, )+ t + 0 - t 极大值 则 33(0, ]eex xt = ……（8 分） 则上式可化为 2 51()4at t−  − ①当 4(0, ]5t  ， 5104 t−，则上式恒成立，故 aR . ……（10 分） ②当 43( , ]5et  ， 51 4at t + − 或 51 4at t − − . 对于 51() 4m t t t= + − ，易得 ()mt 在 43( , ]5e 单调递增，故 5 e 3[ , )4 3 ea − + + . ……（12 分） 对于 51() 4n t t t= − − ，求导 43 1( ) 1 54 nt tt  =− − ， 令 4 3 35 4 (5 4)s t t t t= − = − ， 得 43( , ]5et  上单调递增， ()nt 在 43( , ]5et  上单调递增.令 ( ) 0 1n t t =  = ，故 t 4( ,1)5 1 3(1, ]e ()nt - 0 + ()nt 极小值 则 min 1( ) (1) 2n t n==，故 1( , ]2a − . ……（14 分） 所以综上所述， 1 5 e 3( , ] [ , )2 4 3 ea − − + + . ……（15 分）