北京市朝阳区六校联考 2019-2020 学年高三年级四月份测试
数学试卷 A
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1.已知命题 ： ， ，那么命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
由全称命题的否定是特称命题即可得解.
【详解】 原命题是全称命题，
命题 的否定是“ ， ”.
故选：A.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
2.下列函数中既是奇函数，又在区间 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由奇函数的性质 和函数的单调性逐项判断即可得解.
【详解】对于 A， ，不是奇函数，故 A 错误；
对于 B， ，所以 为偶函数不是奇函数，故 B 错误；
p x∀ ∈R e 1x > p
0x∃ ∈R 0e 1x ≤ x∀ ∈R e 1x <
0x∃ ∈R 0e 1x > x∀ ∈R e 1x ≤
∴ p 0x∃ ∈R 0e 1x ≤
(0,1)
3( ) 2xf x= − + 1
2
( ) log | |f x x=
3( ) 3f x x x= − ( ) sinf x x=
( )( )f x f x− = −
( )3( ) 2f x fx x− = + ≠ −
( )1
2
( ) log | |f x x f x− = − = ( )f x对于 C， ，所以 为奇函数；由 ，当
时， ，故 在 上单调递减，故 C 正确；
对于 D，由正弦函数的单调性可知，函数 在 上单调递增，故 D 错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了奇函数性质的应用和常见函数的单调性，考查了利用导数判断函数的单
调性，属于基础题.
3.设集合 ， ，则以下集合 P 中，满足
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 A，解指数不等式求得集合 B，即可确定 ，进而判断各
选项即可.
【详解】集合 ，解得 或 ，
，解得 ，
则 ，
所以 ，
对比四个选项可知，只有 C 符合 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式和指数不等式的解法，集合补集和交集的简单运算，属
于基础题.
4.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
( )3( ) 3f x x x f x− = − + = − ( )f x ( )2( ) 3 1f x x′ − = −
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ − < ( )f x ( )0,1
( ) sinf x x= ( )0,1
{ }2 3 4 0A x Z x x= ∈ − − > { }2| 1xB x e −= <
( )ZP A B⊆ ∩
{ 1,0,1,2}− {1,2} {1} {2}
( )Z A B
{ }2 3 4 0A x Z x x= ∈ − − > { 4A x Z x= ∈ > }1x < −
{ }2| 1xB x e −= < { }| 2B x x= <
{ }1,0,1,2,3,4Z A = −
( ) { } { } { }1,0,1,2,3,4 | 2 1,0,1Z A B x x∩ = − ∩ < = −
( )ZP A B⊆ ∩
3log 2a = 0.2log 0.3b = 11tan 3c
π= a b c
c b a< < b a c< <
c a b< < b c a< =
0.2 0.20 log 0.3 log 0.2 1b< = < =
11 2tan tan 3 03 3c
π π= = = − <
0 1c b a< < < <
m
n
1
4
1
2
3
4则四面体为 ，由图可知，四面体中有 4 个直角三角形，分别为
，
由题意可知这个 4 面体的直度为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据三视图还原空间几何体，立体几何中新定义的简单应用，属于基础题.
6.已知向量 ，若 ，则 在 上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据坐标先求得向量 ，结合平面向量数量积的运算律求得 ，即可由平面向量投影的定
义求得 在 上的投影.
【详解】向量 ，则 ，
因为 ，
则 ，即 ，
P ABC−
, , ,Rt PAB Rt PAC Rt PBC Rt ABC△ △ △ △
4 14
m
n
= =
(2,2 3)a = ( 3 )a b a+ ⊥ b a
3
4
3
4
− 4
3
4
3
−
a a b⋅
b a
( )2,2 3a = ( )222 2 3 4a = + =
( )3a b a+ ⊥
( )3 0a b a+ ⋅ = ( ) 23 3 0a b a a a b+ ⋅ = + ⋅ = 所以 ，
在 上的投影为 .
故选：D.
【点睛】本题考查由坐标求平面向量模，平面向量数量积的运算律简单应用，投影的定义和
求法，属于基础题.
7.已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
若 ，则 或 ；若 ，则 ；由充分条件和
必要条件的概念即可得解.
【详解】若 ，则 或 ，不能推出 是直角三角形；
若 ，则 ，所以 是直角三角形不能推出 ;
所以“ ”是“ 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.
8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 多年.如图是由
“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 为图中虚线上的数 构成的数列 的第
项，则 的值为（ ）
16
3a b⋅ = −
b a
16
43
4 3
a b
a
−⋅ = = −
ABC sin cosA B= ABC
sin cosA B=
2A B
π+ =
2A B
π= +
2A
π= sin cosA B≠
sin cosA B=
2A B
π+ =
2A B
π= + ABC
2A
π= sin cosA B≠ ABC sin cosA B=
sin cosA B= ABC
300
na 1,3,6,10,⋅⋅⋅ { }na
n 100aA. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101
【答案】B
【解析】
分析】
观察数列的前 4 项，可得 ，代入即可得解.
【详解】由题意得 ， ， ，
观察规律可得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了观察法求数列的通项公式，属于基础题.
9.已知双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 ，直线 AB
过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，则 等于（ ）
A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程可得渐近线方程，将点 A 的坐标求出后代入抛物线方程，即可求得抛物线的
方程和焦点坐标，由 A 和焦点坐标可得直线 AB 的方程，联立直线 AB 的方程和抛物线方程，
化简后由韦达定理可得 ，即可由 求解.
【详解】双曲线 ，
双曲线的渐近线方程为 ，不妨取 ，
双曲线渐近线与抛物线交于点 ，则将点 A 代入可得 ，
将点 A 代入抛物线方程可得 ，则 ，
【
( )1
2n
n na
+=
1 1a = 2 3 1 2a = = + 3 6 1 2 3a = = + + 4 10 1 2 3 4a = = + + + ⋅⋅⋅
( )11 2 3 2n
n na n
+= + + +⋅⋅⋅+ =
100
100 101 50502a
×= =
2
2 12
yx − = 2: 2 ( 0)M y px p= > (2, )A a
| |AB
A Bx x+ A BB x pA x+ +=
2
2 12
yx − =
2y x= ± 2y x=
( )2,A a ( )2,2 2A
2(2 2) 4p= 2p =所以抛物线 ，焦点坐标为 ，
直线 AB 过抛物线 M 的焦点，则由 A 和焦点坐标可得直线 AB 的方程为 ，
直线 AB 与抛物线交于 ，
联立抛物线方程 ，化简可得 ，
则 ，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，直线与抛物线相交所得弦长的求法，属于
基础题.
10.关于函数 ，有以下三个结论：
①函数恒有两个零点，且两个零点之积为 ；
②函数的极值点不可能是 ；
③函数必有最小值
其中正确结论的个数有（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】D
【解析】
【分析】
把函数 的零点转化为函数 的零点，即可判断①；求得 后代入 ，
根据 是否为 0 即可判断②；设 的两个实数根为 ， 且
，结合①可得当 时， ，再证明 即可判断③；即可得
解.
【详解】由题意函数 的零点即为函数 的零点，
令 ，则 ，所以方程必有两个不等实根 ， ，设 ，
由韦达定理可得 ，故①正确；
2: 4M y x= ( )1,0
( )2 2 1y x= −
,A B
( )
2
2 2 1
4
y x
y x
= − =
22 5 2 0x x− + =
5
2A Bx x+ =
4.5A Bx x pAB + + ==
2( ) ( 1)exf x x ax= + −
1−
1−
( )f x 2 1y x ax= + − ( )f x′ 1x = −
( )f x′ ( )2 2 1 0x a x a+ + + − = 3x 4x
3 4x x< ( )3,x x∈ −∞ ( ) 0f x > 4( ) 0f x <
( )2( ) 1 exf x x ax= + − 2 1y x ax= + −
2 1 0x ax+ − = 2 4 0a= + > 1x 2x 1 2x x<
1 2 1x x = −，
当 时， ，故 不可能是函数 的极值点，
故②正确；
令 即 ， ，
设 的两个实数根为 ， 且 ，
则当 ， 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，所以 为函数极小值；
由①知，当 时，函数 ，所以当 时， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 为函数的最小值，故③正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11.在 的二项展开式中， 的系数为________（用数字作答）
【答案】-80
【解析】
【分析】
由二项定理展开式 通项，即可确定 的系数.
【 详 解 】 在 的 二 项 展 开 式 中 ， 由 展 开 式 通 项 可 得
，
令 ，解得 ，
的
( ) ( ) ( )2 2( ) 2 e 1 e 2 1 ex x xf x x a x a ax x x a + = + + + −= + + ′ −
1x = − ( ) 1 11 2( ) e 2 01a af x e− −= − − + −′ = − ≠ 1− ( )f x
( ) 0f x′ = ( )2 2 1 0x a x a+ + + − = ( ) ( )2 22 4 1 8 0a a a= + − − = + >
( )2 2 1 0x a x a+ + + − = 3x 4x 3 4x x<
( )3,x x∈ −∞ ( )4 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )3 4,x x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 4( )f x
( )1,x x∈ −∞ ( ) 0f x > ( )3,x x∈ −∞ ( ) 0f x >
(0) 0xf e= − < ( )30 ,x∈ +∞ ( )4( ) 0 0f x f≤ <
4( )f x
52x x
−
2x−
2x−
52x x
−
( ) ( )
5 35 21 5 5
2 2
rrr rr r
rT C x C xx
−−
+
= ⋅ − = ⋅ − ⋅
5 3 22
r− = − 3r =所以系数为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
12.设复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 ， ，则 z 的虚部为
________， ________．
【答案】 (1). 4 (2).
【解析】
【分析】
设出复数 ，结合条件即可求得复数，进而由复数的定义和除法运算即可得解.
【详解】复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限，
设复数 ，
所以 ，
因为满足 ， ，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 的虚部为 4；
由复数除法运算化简可得 ，
故答案为：4； .
【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义简单应用，复数的除法运算，属于基础题.
13.设无穷等比数列 的各项为整数，公比为 ，且 ， ，写出数列
的一个通项公式________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据题意可知首项与公比都为整数，结合不等可求得 ，即可取一个负数作为首项得数
( ) ( )33
5
5 42 8 802C
×⋅ − = × − = −
80−
| | 5z = z 6z+ =
1
z
=
3 4
25 25 i−
z
( ), , , 0, 0z a bi a b R a b= + ∈ > >
z a bi= −
5z = z 6z+ =
2 2 25
2 6
a b
a
+ =
=
3
4
a
b
=
=
3 4z i= +
z
( )( )
1 1 3 4 3 4
3 4 3 4 3 4 25 25
i iz i i i
−= = = −+ + −
3 4
25 25 i−
{ }na q 1q ≠ − 1 3 22a a a+ < { }na
( )*2 ,n
na n= − ∈N
1 0a
C°
C°（I）请你计算住院期间该患者体温不低于 各天体温平均值；
（II）在 19 日—23 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项
目“a 项目”的检查，记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求 X 的分布列与数学期望；
（III）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消
炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效
果最佳，并说明理由．
【答案】（I）平均值为 （II）分布列见解析， ．（III）“抗生素 C”治疗效果最佳，
理由见解析.
【解析】
【分析】
（I）根据所给表格，可计算体温不低于 的各天体温平均值；
（II）由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2，分别求得各自的概率，即可得分布列，进而
求得数学期望；
（III）根据三种抗生素治疗后温度的变化情况，结合平均体温和体温方差，即可做出判断.
【详解】（I）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 ，记平均体温为 ，
．
所以，患者体温不低于 的各天体温平均值为
（Ⅱ）X 的所有可能取值为 0，1，2
，
，
，
则 X 的分布列为：
X 0 1 2
的39 C°
39.55 C° 6
5
39 C°
39 C° x
( )1 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 39.0 39.55 C6x = + + + + + = °
39 C° 39.55 C°
( ) 3 0
3 2
3
5
10 10
C CP X C
= = =
( ) 2 1
3 2
3
5
6 31 10 5
C CP X C
= = = =
( ) 1 2
3 2
3
5
32 10
C CP X C
= = =
P 1
10
3
5
3
10所以 ．
（Ⅲ）“抗生素 C”治疗效果最佳，理由如下：
①“抗生素 B”使用期间先连续两天降温后又回升 ，“抗生素 C”使用期间持续降温共计
，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳
②“抗生素 B”治疗期间平均体温 ，方差约为 0.0156：“抗生素 C”平均体温 ，方
差约为 0.1067，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，
故“抗生素 C”治疗效果最佳．
【点睛】本题考查了平均数的求法，古典概型概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望
的求法， 分析实际问题方案的解决方法，属于中档题.
18.在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为梯形， ，
，且 ， ， ．
（I）求证： ；
（II）求二面角_____的余弦值；
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（III）若 是棱 的中点，求证：对于棱 上任意一点 ， 与 都不平行．
【答案】（I）见解析（II）见解析（III）见解析
【解析】
【分析】
（I）根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理，可证明 平面 ，进而证明
；
（II）在平面 内过点 D 作 ，交 于 H，以 D 为原点， 所在直
( ) 1 3 3 60 1 210 5 10 5E X = × + × + × =
0.1 C°
1.2 C°
39.03 C° 38 C°
P ABCD− ABCD ⊥ PCD ABCD / /AB CD
AD DC⊥ 1AB = 2AD DC DP= = = 120PDC∠ = °
AD PC⊥
P AB C- - P BD C− − P BC D− −
M PA BC F MF PC
AD ⊥ PCD
AD PC⊥
PCD DH DC⊥ PC , ,DA DC DH线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 ，写出各个点的坐标，并求得各平面法向
量，由法向量法即可求得各二面角的大小；
（III）假设棱 BC 上存在点 F， ．设 表示出 ， ，设
，可得关于 的方程组，方程组无解即可确定 与 不平行.
【详解】（I）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ．
（Ⅱ）选择①：在平面 内过点 D 作 ，交 于 H．
由（I）可知， 平面 ，所以 ．
故 两两垂直，
如图，以 D 为原点， 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系
，
则 ．
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ．
而 ， ，
设平面 的一个法向量为
则由 ，得 ，
D xyz−
/ /MF PC ,BF BCλ= MF PC
MF PCµ= ,λ µ MF PC
ABCD ⊥ PCD ABCD PCD CD=
AD ⊂ ABCD AD DC⊥
AD ⊥ PCD
PC ⊂ PCD
AD PC⊥
PCD DH DC⊥ PC
AD ⊥ PCD AD DH⊥
, ,AD CD DH
, ,DA DC DH
D xyz−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0, 1, 3 , 2,0,0 , 2,1,0 , 0,2,0D P A B C−
DH ⊥ ABCD ABCD ( )0,0,1n =
( )2,1, 3PA = − ( )2,2, 3PB = −
PAB ( ), ,m x y z =
0
0
m PA
m PB
⋅ =
⋅ =
2 3 0
2 2 3 0
x y z
x y z
+ − =
+ − =取 ，有 ．
所以 ．
由题知二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为 ．
选择②：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）
平面 ABCD 的一个法向量为 ；
平面 PBD 的一个法向量为 ；
二面角 为钝角：二面角 的余弦值为 ．
选择③：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）
平面 ABCD 的法向量 ；
平面 PBC 的法向量 ；
二面角 为锐角；二面角 的余弦值为 ．
（Ⅲ）假设棱 BC 上存在点 F， ．设 ．
依题意，可知 ， ，
， ，
， ，设 ，
则 ，而此方程组无解，
故假设不成立，所以结论成立．
【点睛】本题考查了面面垂直的性质及线面垂直的判定定理应用，由空间向量法求二面角大
小，线线平行的向量证明方法，属于中档题.
2z = ( )3,0,2m =
2 2cos , 777
n mn m n m
⋅= = =
P AB C- -
P AB C- -
2 77
( )0,0,1n =
( )3,2 3,2m = −
P BD C− − P BD C− − 2 1919
−
( )0,0,1n =
( )1,2,2 3m =
P BC D− − P BC D− − 2 5117
/ /MF PC [ ], 0,1BF BCλ λ= ∈
1 31, ,2 2M
−
( )2,1,0BC = −
( )2 , ,0BF λ λ= − ( )2 2 ,1 ,0F λ λ= − +
3 31 2 , ,2 2MF λ λ = − + −
( )0,3, 3PC = − MF PCµ=
1 2 0
3 32
3 32
λ
λ µ
µ
− =
+ =
− = −19.已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于
， 两点，当直线 与 轴垂直时， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当直线 与 轴不垂直时，在 轴上是否存在一点 （异于点 ），使 轴上任意点到直
线 ， 的距离均相等？若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在点
【解析】
【分析】
（1）由题意可得方程 解方程后即可得解；
（2）设直线 ， ， ，假设存在点 ，设 ，由
题意 ，联立方程组表示出 、 ，代入即可
得解.
【详解】（1）由题意得 ，解得: ， ， .
所以椭圆的标准方程为： .
（2）依题意，若直线 的斜率不为零，可设直线 ， ，
.
假设存在点 ，设 ，由题设， ，且 ， .
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2 F l
A B l x 3AB =
C
l x x P F x
PA PB P
2 2
14 3
x y+ = (4,0)P
2
2 2 2
2 3,
1 ,2
,
b
a
c
a
a b c
=
=
= +
: 1( 0)l x my m= + ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y P 0( ,0)P x
1 2 0 1 2
1 0 2 0
1 2
2 (1 )( ) 0( )( )
my y x y y
xk x xk x
+ − +
−+ = =− 1 2y y+ 1 2y y
2
2 2 2
2 3,
1 ,2
b
a
c
a
a b c
=
=
= +
2a = 3b = 1c =
2 2
14 3
x y+ =
l : 1( 0)l x my m= + ≠ 1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
P 0( ,0)P x 0 1x ≠ 10x x≠ 0 2x x≠设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则 ， .
因为 ， 在 上，
故 ， ，
而 轴上任意点到直线 ， 距离均相等等价于“ 平分 ”，
继而等价于 .
则 .
联立 ，消去 得： ，
有 ， .
则 ，
即 ，故 或 （舍）.
当直线 的斜率为零时， 也符合题意.
故存在点 ，使得 轴上任意点到直线 ， 距离均相等.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，
属于中档题.
20.已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线与 轴平行，求 ；
（2）已知 在 上的最大值不小于 ，求 的取值范围；
（3）写出 所有可能的零点个数及相应的 的取值范围.（请直接写出结论）
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
PA PB 1k 2k
1
1
1 0
yk x x
= −
2
2
2 0
yk x x
= −
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1x my= +
1 1 1x my= + 2 2 1x my= +
x PA PB PF APB∠
1 2 0k k+ =
1 2
1 2
1 0 2 0
y yk k x x x x
+ = +− −
1 2 2 1 0 1 2
1 0 2 0
( )
( )( )
x y x y x y y
x x x x
+ − += − −
1 2 0 1 2
1 0 2 0
2 (1 )( ) 0( )( )
my y x y y
x x x x
+ − += =− −
2 2
14 3
1
x y
x my
+ =
= +
x 2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − =
1 2 2
6
3 4
my y m
−+ = + 1 2 2
9
3 4y y m
−= +
0 0
1 2 2 2
1 0 2 0 1 0 2 0
18 6 6 24 60 (3 4)( )( ) (3 4)( )( )
m m mx m mxk k m x x x x m x x x x
− − + − ++ = = =+ − − + − −
04 0m mx− + = 0 4x = 0m =
l (4,0)P
(4,0)P x PA PB
2( ) e ( )xf x ax a R= − ∈
( )y f x= (1, (1))f x a
( )f x [0,1] 2 a
( )f x a
e
2a = ( ,e 2]−∞ −【解析】
【分析】
（1）由题意结合导数的几何意义可得 ，即可得解；
（2）原命题等价于 在 上有解，设 ， ，通过求导可
得 ，由有解问题的解决方法即可得解；
（3）令 ，显然 不成立，若 ，则 ，令 ，求导后画出函
数 的草图数形结合即可得解.
【详解】（1）因为 ，故 .
依题意 ，即 .
当 时， ，此时切线不与 轴重合，符合题意，
因此 .
（2）当 时， 最大值不小于 2
在 上有解，
显然 不是解，即 在 上有解，
设 ， ，
则 .
设 ， ，
则 .
所以 在 单调递减， ，
所以 ，所以 在 单调递增，
( ) 01f ′ =
2
e 2x
a x
−≤ (0,1]x∈
2
e 2( )
x
g x x
−= (0,1]x∈
max( ) (1) 2g x g e= = −
( ) 0f x = 0x = 0x ≠
2
xea x
= ( ) 2
xeh x x
=
( )h x
2( ) e ( )xf x ax a R= − ∈ ( ) e 2xf x ax′ = −
(1) e 2 0f a=′ − = e
2a =
e
2a = e(1) 02f = ≠ x
e
2a =
[0,1]x∈ ( )f x ⇔
2( ) e 2xf x ax= − ≥ [0,1]x∈
0x =
2
e 2x
a x
−≤ (0,1]x∈
2
e 2( )
x
g x x
−= (0,1]x∈
3
e 2e 4( )
x xxg x x
−=′ +
( ) e 2e 4x xh x x= − + (0,1]x∈
( ) e ( 1) 0xh x x′ = − ≤
( )h x (0,1] ( ) (1) 4 0h x h e≥ = − >
( ) 0g x′ > ( )g x (0,1]所以 .
依题意需 ，
所以 的取值范围为 .
（3）当 时， 有 0 个零点；当 时， 有 1 个零点
当 时， 有 2 个零点；当 时， 有 3 个零点.·
【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和转化化归思想，考查了推理能
力，属于中档题.
21.已知集合 ，对于
， ，定义 A 与 B 的差为
；A 与 B 之间的距离为
．
（I）若 ，试写出所有可能的 A，B；
（II） ，证明：
（i） ；
（ii） 三个数中至少有一个是偶数；
（III）设 ， 中有 m（ ，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均
值为 ，证明： ．
【 答 案 】（ I ） ； ； ；
（II）（i）见解析（ii）见解析
（III）见解析
【解析】
【分析】
max( ) (1) 2g x g e= = −
2a e≤ −
a ( ,e 2]−∞ −
0a ≤ ( )y f x= 2e0 4a< < ( )y f x=
2e
4a = ( )y f x= 2e
4a > ( )y f x=
{ }{ }1 2| , , , 0,1 , 1,2, ,n nS X X x x x i n= = ⋅⋅⋅ ∈ = ⋅⋅⋅ ( 2)n ≥
( )1 2, , , n nA a a a S= ⋅⋅⋅ ∈ ( )1 2, , , n nB b b b S= ⋅⋅⋅ ∈
( )1 1 2 2, , , n nA B a b a b a b− = − − ⋅⋅⋅ −
1 1 2 2( , ) n nd A B a b a b a b= − + − +⋅⋅⋅+ −
(0,1)A B− =
, , nA B C S∀ ∈
( , ) ( , )d A C B C d A B− − =
( , ),d A B ( , ),d A C ( , )d B C
nP S⊆ P 2m >
pd ( 1)
2p
n md m
+≤
(0,0),A = (0,1)B = (0,1),A = (0,0)B = (1,0),A = (1,1)B =
(1,1),A = (1,0)B =（I）根据定义，结合 即可确定所有可能的 A，B；
（II）（i）由 ，令 ，
讨论 和 即可代入绝对值式子化简，即可证明；（ii）设 ，
， ， ， ，
．记 ，设 t 是使 成立的 i 的个数，
结合（i）中的结论可得 ，由此可知，k，l，h 三个数不可能都是奇数，得证.
（III）记 为 P 中所有两个元素间距离的总和，设 P 中所有元素的第 i 个
位置的数字中共有 个 1， 个 0，则可得 ，根据 P 为奇数可得
，因而 ，即可证明不等式成立.
【详解】（I）根据定义及 ，可知有以下四种情况：
； ；
；
（Ⅱ）令 ，
（i）证明：对 ，
当 时，有 ，
当 时，有 ．
所以
．
（ⅱ）证明：
设 ， ， ，
， ， ．
记 ，由（I）可知，
( )0,1A B− =
{ }1 2, , , 0,1nx x x⋅⋅⋅ ∈ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , ,n n nA a a a B b b b C c c c= ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ =
0ic = 1ic = ( )1 2, , , nA a a a= ⋅⋅⋅
( )1 2, , , nB b b b= ⋅⋅⋅ ( )1 2, , , n nC c c c S= ⋅⋅⋅ ∈ ( ),d A B k= ( ),d A C l=
( ),d B C h= ( )0,0, ,0 nO S= ⋅⋅⋅ ∈ 1i i i ib a c a− = − =
2h l k t= + −
( ), , ,d A B A B P∈∑
it im t− ( ),d A B∑
( ) ( )2 1 1,2, ,4i i
mt m t i n
−− ≤ = ⋅⋅⋅ ( ) ( )2 1
, 4
n m
d A B
−
≤∑
( )0,1A B− =
( ) ( )0,0 , 0,1A B= = ( ) ( )0,1 , 0,0A B= =
( ) ( )1,0 , 1,1A B= = ( ) ( )1,1 , 1,0A B= =
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , ,n n nA a a a B b b b C c c c= ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ =
1,2, ,i n= ⋅⋅⋅
0ic = i i i i i ia c b c a b− − − = −
1ic = ( )1 1i i i i i i i ia c b c a b a b− − − = − − − = −
( ) 1 1 2 2 2 2 2 2,d A C B C a c b c a c b c− − = − − − + − − − +…
( )1 1 2 2 ,n n n n n na c b c a b a b a b d A B+ − − − = − + − +…+ − =
( )1 2, , , nA a a a= ⋅⋅⋅ ( )1 2, , , nB b b b= ⋅⋅⋅ ( )1 2, , , n nC c c c S= ⋅⋅⋅ ∈
( ),d A B k= ( ),d A C l= ( ),d B C h=
( )0,0, ,0 nO S= ⋅⋅⋅ ∈，
，
，
所以 中 1 的个数为 k，
的 1 的个数为 l．
设 t 是使 成立的 i 的个数，则 ．
由此可知，k，l，h 三个数不可能都是奇数，
即 三个数中至少有一个是偶数．
（Ⅲ）记 为 P 中所有两个元素间距离的总和，
设 P 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 个 1， 个 0，
则 ．
因为 m 为奇数，所以 ,
且 或 时，取等号．
所以 ．
所以 ．
【点睛】本题考查了集合新定义的综合应用，对分析问题、解决问题的能力要求高，读懂题
意并正确分析解决思路是关键，对思维能力要求高，属于难题.
( ) ( ) ( ), , ,d A B d A A B A d O B A k= − − = − =
( ) ( ) ( ), , ,d A C d A A C A d O C A l= − − = − =
( ) ( ), ,d B C d B A C A h= − − =
( )1,2, ,i ib a i n− =
( )1,2, ,i ic a i n− =
1i i i ib a c a− = − = 2h l k t= + −
( ) ( ) ( ), , , , ,d A B d A C d B C
( ), , ,d A B A B P∈∑
it im t−
( ) ( ) ( )
1
, , ,
n
i i
i
d A B t m t A B P
=
= − ∈∑ ∑
( ) ( )2 1 1,2, ,4i i
mt m t i n
−− ≤ = ⋅⋅⋅
1
2i
mt
−= 1
2
+m
( ) ( ) ( )
2 1
, , ,4
n m
d A B A B P
−
≤ ∈∑
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 11 , , ,4 2p
m m
n m m nd d A B A B PC C m
− += ≤ = ∈∑
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