北京市海淀区2020届高三数学一模试题(Word版附解析)
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北京市海淀区2020届高三数学一模试题(Word版附解析)

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时间:2020-06-01

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资料简介
海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数学 2020 春 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.在复平面内,复数 对应 点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析: ,对应的点为 ,在第一象限 考点:复数运算 2.已知集合 , ,则集合 可以是( ) A. {1,2} B. {1,3} C. {0,1,2} D. {1,2,3 } 【答案】B 【解析】 【分析】 集合 , 是数集, , , 集合中一定没有元素 ,由选项可 得. 【详解】 ,则集合 中一定有元素 ,又 , 集合中一定没有 元素 可以是 故选:B. 【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀:“越交越少,公共部分”. 3.已知双曲线 的离心率为 则 b 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 的(2 )i i− ( )2 1 2i i i− = + ( )1,2 { }| 0 3A x x= < < { } 1A B = B A B { }| 0 3A x x= < < { } 1A B = B 2 { } 1A B = B 1 { }| 0 3A x x= < < B 2 B∴ {1 }3, 2 2 2 1( 0)yx bb − = > 5,【答案】B 【解析】 【分析】 由题知 , 及 联解可得 【详解】由题知 , , , . 故选:B. 【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程. 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在 轴上或 轴上,则 设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于 的方程组,解出 ,从而写 出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏 解). (2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是 设双曲线的一般方程为 求解. 4.已知实数 a,b,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由数轴知 ,不妨取 检验选项得解. 【详解】由数轴知 ,不妨取 , 对于 A, , 不成立. 对于 B, , 不成立. 2 1a = 5ce a = = 2 2 2+c a b= 2 1a = 5ce a = = 2 2 2 2 2 2 + 5c a be a a= = = 2b∴ = x y a b c, , 2 2a b, 2 2 1( 0)mx ny mn+ = < b a c a- < + 2c ab< c c b a > b c a c< 0c b a< < < = 3, 2, 1c b a- = - = - 0c b a< < < = 3, 2, 1c b a- = - = - 2 1 2 1- + >- - ∴ 2( 3) ( 2)( 1)- > - - ∴对于 C, , 不成立. 对于 D, ,因此成立. 故选:D. 【点睛】利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根 据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法. 5.在 的展开式中,常数项为( ) A. B. 120 C. D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】 写出二项式展开式的通项公式求出常数项. 【详解】 展开式的通项 ,令 常数项 故选:C. 【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法: (1)求展开式中的特定项或其系数.可依据条件写出第 项,再由特定项的特点求出 值即 可. (2)已知展开式的某项或其系数求参数.可由某项得出参数项,再由通项公式写出第 项, 由特定项得出 值,最后求出其参数. 6.如图,半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A,圆 M 沿着直线 l 滚动.当圆 M 滚动到圆 时, 圆 与直线 相切于点 B,点 A 运动到点 ,线段 AB 的长度为 则点 到直线 的 距离为( ) A. 1 B. C. D. 3 2 3 1 − < − − − ∴ ( 3) 1 ( 3)2- ( ) 0f x′ < ( ) ( )ln 1 0xg x e ax x x= + + − > 1a = − ( ) xf x e x= − 0(0) =1f e∴ = ( ) 1xf x e= −′ 0(0) 1=0f e −′ = ∴ ( )y f x= ( )(0 )0f, 1y = ( ) 1>0xf x e −′ = 0x > ( ) 1 ( ) ( )1 0xg x e a xx ′ = + + > ( )0,1x∈ 11, 1xe x > >,则 , 当 时, , ,则 , 在 上单增, 又 , , 由零点存在性定理得 有唯一零点,即曲线 与 有且只有一个交点. 【点睛】判断函数零点个数及分布区间的方法: (1)解方程法:当对应方程易解时,可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上; (2)定理法:利用零点存在性定理进行判断; (3)数形结合法:画出相应的函数图象,通过观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判 断,或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断. 20.已知椭圆 C: 的离心率为 , 的 面积为 2. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 M 是椭圆 C 上一点,且不与顶点重合,若直线 与直线 交于点 P,直线 与 直线 交于点 Q.求证:△BPQ 为等腰三角形. 【答案】(I) ;(II)证明见解析 【解析】 【分析】 (I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式,结合 的关系,解方程可得 ,从 而得到椭圆方程 (II) 设 ,直线 的直线方程为 直线 的直线方程为 ( )2,0a∈ − ( ) 1 0xg x e ax ′ = + + > [ )1,x∈ +∞ 12, 0xe e x > > > ( )2,0a∈ − ( ) 1 0xg x e ax ′ = + + > ( )g x∴ ( )0, ∞+ 1 1 21( ) 2 2 0e ag e ee e = + − < − − > ( )g x ( )y f x= 1 lny x= − x 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 3 , ( ,0), ( ,0), (0, )2 A a A a B b− 1 2A BA∆ 1A B 2A M 1A M 2A B 2 2 14 x y+ = , ,a b c 2, 1a b= = ( ),M m n 2A M ( )22 ny xm = −− 1A B,联解求出 点坐标,同理求出 坐标, , ,只需证明 ,利用作差法可证明. 【详解】(I)由题意得 ,解得 ,故椭圆的方程为 . (II)由题意得 ,设点 ,则有 , 又直线 的直线方程为 ,直线 的直线方程为 , ,解得 , 点的坐标为 . 又直线 的直线方程为 ,直线 的直线方程为 . ,解得 , 点的坐标为 . , . , , , △BPQ 为等腰三角形. 1 12y x= + P Q 2 2 2 25(1 ) 4p p pBP x y x= + − = 2 2 2 25(1 ) 4Q Q QBQ x y x= + − = 2 2=P Qx x 2 2 2 3 2 1 2 22 c a ab b c a  =   ⋅ =  + =  2, 1, 3a b c= = = 2 2 14 x y+ = ( ) ( ) ( )1 22,0 , 2,0 , 0,1A A B− ( ),M m n 2 24 4m n+ = 2A M ( )22 ny xm = −− 1A B 1 12y x= + ( )22 1 12 ny xm y x  = − −∴  = + 2 4 4 2 2 4 2 2 m nx n m ny n m + − = − +  = − + P∴ 2 4 4 4,2 2 2 2 m n n n m n m + −   − + − +  1A M ( )22 ny xm = ++ 2A B 1 12y x= − + ( )22 1 12 ny xm y x  = + +∴  = − + 2 4 4 2 2 4 2 2 m nx n m ny n m − + = + +  = + + Q∴ 2 4 4 4,2 2 2 2 m n n n m n m − +   + + + +  2 2 2 25(1 ) 4p p pBP x y x∴ = + − = 2 2 2 25(1 ) 4Q Q QBQ x y x∴ = + − = 2 2 2 22 4 4 2 4 4( ) ( )2 2 2 2P Q m n m nx x n m n m + − − +− = −− + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 m n n m m n n m n m n m + − + + − − + − += − + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 64 ( 4 4) 0 2 2 2 2 mn m n n m n m + −= = − + + + 2 2=BP BQ∴ BP BQ∴ = ∴【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中,难度较大,多涉及线段或角相等以 及位置关系的证明等. 通常利用代数方法,即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来, 然后进行化简计算等进行证明 21.已知数列 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数 ,使得 任意的 成立,则称数列 具有性质 . (1)分别判断下列数列 是否具有性质 ; (直接写出结论) ① ② (2)若数列 满足 ,求证:“数列 具有性质 ”是“数列 为 常数列”的充分必要条件; (3)已知数列 中 且 .若数列 具有性质 ,求数列 的通项公式. 【答案】(1)① 时,数列 具有性质 ;② 时,数列 不具有性质 .(2)证明见解析(3) . 【解析】 【分析】 (1)代入验证即可得. (2)充分性: 由 及数列 具有性质 可得 ;必要性:数列 为常数列,所以 可证 . (3)数列 具有性质 ,求出 ,由 , 对 取值进行证 明排除,得到 ,猜想 ,用反证法证明猜想成立. 【详解】(1)① 时,数列 具有性质 . ② 时,数列 不具有性质 . (2) , { }na *k ∈N 2 1 2n n na a ka− + = *n∈N { }na ( )kΨ { }na (2)Ψ 1na = 2 ,n na = { }na 1 ( 1,2,3, )n na a n+ ≥ =  { }na (2)Ψ { }na { }na 1 1,a = 1 ( 1,2,3, )n na a n+ > =  { }na (4)Ψ { }na 1na = { }na (2)Ψ 2n na = { }na (2)Ψ 2 1na n= − 2 1 2+ 2n n na a a− ≥ { }na (2)Ψ 2 1 2= =2n n na a a− { }na 1na a= 2 1 2 2n n na a a− + = { }na (4)Ψ 2 =3a 3 4 24 =12a a a+ = 3 4a ≥ 3 4,a a 1 2 3 4=1 3 =5 =7a a a a=, , , 2 1na n= − 1na = { }na (2)Ψ 2n na = { }na (2)Ψ 1 ( 1,2,3, )n na a n+ ≥ = ,等号成立,当且仅当 , 因为数列 具有性质 ,即 , 所以数列 为常数列. 必要性:因为数列 为常数列,所以 , 成立,即数列 具有性质 . (3) 数列 具有性质 , , , . 若 , 矛盾; 若 则 矛盾. 所以 , 所以猜想 . 证明如下:假设命题不成立, 设 ( ), 考虑数列 ,当 时具有性质 , 此时 , 即 或 ,矛盾, . 【点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法 (1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等. (2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法,如列表法、因式分解法、穿根法等. 总之,解决这类问题,要把数列和不等式的知识巧妙结合起来,综合处理. 2 1 2 2+n n na a a−∴ ≥ 2 1 2= =2n n na a a− { }na (2)Ψ 2 1 2 2n n na a a− + = { }na { }na 1na a= 2 1 2 2n n na a a− + = { }na (2)Ψ 1 1,a = { }na (4)Ψ 1 2 21 =34a a a a∴+ = , 3 4 24 =12a a a+ = 3 4a ≥ 3 4=4 =8a a, 1n na a+ > 5 6 9+10=19a a∴ + ≥ 5 6 3 =164a a a+ = 3 6a ≥ , 4 6a ≤ 1 2 3 4=1 3 =5 =7a a a a=, , , 2 1na n= − { }2 1 2min | 4 3 4 1i ir i N a i a i+ −= ∈ ≠ − ≠ −或 3r ≥ { }nb 2 4= 4( 2)n n rb a r+ − − − (4)Ψ 1 2 3 4=1 3 =5 =7b b b b=, , , 2 1=4 3ra r− − 2 =4 1ra r − 2 1na n∴ = −

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