2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷
一、选择题（共 12 小题）
1．已知→
풂 = （x，3），→
풃 = （3，1），且→
풂∥→
풃，则 x＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
2．若|→
풂| = ퟒ，|→
풃| = ퟐ，→
풂和→
풃的夹角为 30°，则→
풂在→
풃方向上的投影为（ ）
A．2 B． ퟑ C．ퟐ ퟑ D．4
3．在△ABC 中，a＝3，b＝5，sinA =
1
3，则 sinB＝（ ）
A．1
5 B．5
9 C． 5
3 D．1
4．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项 a1＝3，前三项和为 21，则 a3+a4+a5＝（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
5．在△ABC 中，∠A＝90°， →
푨푩 = (ퟐ ― 풌，ퟐ)， →
푨푪 = (ퟐ，ퟑ)，则 k 的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3
2 D． ―
3
2
6．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，若푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐴
푠푖푛퐶 =
3푎 + 푐
푎 + 푏
，则角 B
的大小为（ ）
A．휋
6 B．5휋
6 C．휋
3 D．2휋
3
7．下列命题正确的是（ ）
A．若→
풂 ⋅ →
풃 = →
풃 ⋅ →
풄，则→
풂 = →
풄
B．|→
풂 + →
풃| = |→
풂 ― →
풃|，则→
풂 ⋅ →
풃 = 0C．若→
풂与→
풃是共线向量，→
풃与→
풄是共线向量，则→
풂与→
풄是共线向量
D．若→
풂ퟎ与→
풃ퟎ是单位向量，则→
풂ퟎ ⋅ →
풃ퟎ = 1
8．如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， →
푶푷 = x →
푶푨 + y →
푶푩，且 →
푩푷 = 3 →
푷푨，则（ ）
A．x =
2
3，y =
1
3 B．x =
1
3，y =
2
3 C．x =
1
4，y =
3
4 D．x =
3
4，y =
1
4
9．已知△ABC 中，풂 = ퟓ，푨 =
휋
3，풃 + 풄 = ퟐ풃풄，则△ABC 的面积为（ ）
A．5
8 B． 3
4 C． ퟑ D．5 3
8
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善
织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹＝40 尺，一丈＝10 尺），问日
益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越
来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三
丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 30 天算，则每天增加量为（ ）
A．1
2尺 B． 8
15尺 C．16
29尺 D．16
31尺
11．一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继
续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°，另一灯塔在船的南偏西 75°，则这艘船的速度是每小时（ ）
A．5 海里 B．5 ퟑ海里 C．10 海里 D．10 ퟑ海里
12．已知函数풇(풙) = 풙 + ퟑ풔풊풏(풙 ―
1
2) +
1
2，则풇(
1
2019) + 풇(
2
2019) + ⋯ + 풇(
2018
2019) = （ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．在△ABC 中，若 a＜b＜c，且 c2＜a2+b2，则△ABC 为 三角形．
14．若向量→
풂、→
풃满足|→
풂| = ퟐ，|→
풃| = ퟑ，且→
풂与→
풃的夹角为휋
4，则(→
풂 ― →
풃)ퟐ = ．
15．数列{an}的前 n 项的和 Sn＝3n2+n+1，则此数列的通项公式 ．
16．已知平面上不重合的四点 P，A，B，C 满足 →
푷푨 + →
푷푩 + →
푷푪 = ퟎ且 →
푨푩 + →
푨푪 = 풎 →
푨푷，那
么实数 m 的值为 ．
三、解答题：（本大题共六小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求与向量→
풂 = (ퟏ，ퟐ)，→
풃 = (ퟐ，ퟏ)夹角相等的单位向量→
풄的坐标．
18 ． 设 △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 长 分 别 为 a 、 b 、 c ， 且 有 2sinBcosA ＝
sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 b＝2，c＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长．
19．已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1、a2、a5 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式．（2）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn＞60n+800？若存在，求 n
的最小值；若不存在，说明理由．
20．已知数列{an}满足 a1＝1，풂풏+ퟏ =
2푎푛
푎푛 + 2．
（1）求证数列{
1
푎푛
}为等差数列；
（2）设 bn＝anan+1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
21．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）+（b﹣
a）sinB＝0．
（1）求 C；
（2）若 c＝2，2sin2A+sin（2B+C）＝sinC，求△ABC 的面积．
22．已知各项均为正数的数列{an}满足 an+12﹣an+1an﹣2an2＝0（n∈N*），且 a3+2 是 a2，a4
的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式 an；
（2）若 bn＝an풍풐품1
2an，Sn＝b1+b2+…+bn，求 Sn+n•2n+1＞50 成立的正整数 n 的最小值．参考答案
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是满足题目要求的.）
1．已知→
풂 = （x，3），→
풃 = （3，1），且→
풂∥→
풃，则 x＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
【分析】利用向量共线定理即可得出．
解：∵向量→
풂∥→
풃，
∴9﹣x＝0，
解得 x＝9．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题．
2．若|→
풂| = ퟒ，|→
풃| = ퟐ，→
풂和→
풃的夹角为 30°，则→
풂在→
풃方向上的投影为（ ）
A．2 B． ퟑ C．ퟐ ퟑ D．4
【分析】本题根据向量→
풂在→
풃方向上的投影公式为
→
푎 ⋅
→
푏
|
→
푏|
，然后代入进行向量的计算可得正
确选项．
解：由题意，可知
向量→
풂在→
풃方向上的投影为
→
푎 ⋅
→
푏
|
→
푏|
=
|
→
푎| ⋅ |
→
푏| ⋅ 푐표푠30°
|
→
푏|
= 4 ⋅ 2 ⋅ 3
2
2
= 2 ퟑ．
故选：C．【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，定义法，向量的运算，
以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．
3．在△ABC 中，a＝3，b＝5，sinA =
1
3，则 sinB＝（ ）
A．1
5 B．5
9 C． 5
3 D．1
【分析】由正弦定理列出关系式，将 a，b 及 sinA 的值代入即可求出 sinB 的值．
解：∵a＝3，b＝5，sinA =
1
3，
∴由正弦定理得：sinB =
푏푠푖푛퐴
푎 = 5 × 1
3
3
=
5
9．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
4．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项 a1＝3，前三项和为 21，则 a3+a4+a5＝（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
【分析】根据等比数列{an}中，首项 a1＝3，前三项和为 21，可求得 q，根据等比数列的
通项公式，分别求得 a3，a4 和 a5 代入 a3+a4+a5，即可得到答案．
解：在各项都为正数的等比数列{an}中，首项 a1＝3，前三项和为 21
故 3+3q+3q2＝21，
∴q＝2，
∴a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）q2＝21×22＝84
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能
熟练灵活的应用．5．在△ABC 中，∠A＝90°， →
푨푩 = (ퟐ ― 풌，ퟐ)， →
푨푪 = (ퟐ，ퟑ)，则 k 的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3
2 D． ―
3
2
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出 k 的值．
解：△ABC 中，∵∠A＝90°， →
푨푩 = (ퟐ ― 풌，ퟐ)， →
푨푪 = (ퟐ，ퟑ)，
∴ →
푨푩 ⋅ →
푨푪 = 2（2﹣k）+3×2＝0，求得 k＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．
6．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，若푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐴
푠푖푛퐶 =
3푎 + 푐
푎 + 푏
，则角 B
的大小为（ ）
A．휋
6 B．5휋
6 C．휋
3 D．2휋
3
【分析】利用正弦定理化简已知可得 c2+a2﹣b2 = ― ퟑac，由余弦定理可得 cosB = ―
3
2 ，
结合范围 B∈（0，π），即可解得 B 的值．
解：在△ABC 中，由正弦定理 푎
푠푖푛퐴 =
푏
푠푖푛퐵 =
푐
푠푖푛퐶 = ퟐ푹，可得：sinB =
푏
2푅，sinA =
푎
2푅，
sinC =
푐
2푅，
∵푠푖푛퐵 ― 푠푖푛퐴
푠푖푛퐶 =
3푎 + 푐
푎 + 푏
，可得：푏 ― 푎
푐 =
3푎 + 푐
푎 + 푏
，整理可得：c2+a2﹣b2 = ― ퟑac，
∴由余弦定理可得：cosB = 푐2 + 푎2 ― 푏2
2푎푐 = ―
3
2 ，
∵B∈（0，π），
∴B =
5휋
6 ．
故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和
转化思想，属于基础题．
7．下列命题正确的是（ ）
A．若→
풂 ⋅ →
풃 = →
풃 ⋅ →
풄，则→
풂 = →
풄
B．|→
풂 + →
풃| = |→
풂 ― →
풃|，则→
풂 ⋅ →
풃 = 0
C．若→
풂与→
풃是共线向量，→
풃与→
풄是共线向量，则→
풂与→
풄是共线向量
D．若→
풂ퟎ与→
풃ퟎ是单位向量，则→
풂ퟎ ⋅ →
풃ퟎ = 1
【分析】当→
풃 = →
ퟎ 时，可得 A、C 不正确，把|→
풂 + →
풃| = |→
풂 ― →
풃| 平方可得 →
풂 ⋅ →
풃 = 0，得到
B 正确，根据 →
풂ퟎ ⋅ →
풃ퟎ = 1×1cos＜ →
풂ퟎ
→
，풃ퟎ＞，可得 D 不正确．
解：当→
풃 = →
ퟎ 时，→
풂 ⋅ →
풃 = →
풃 ⋅ →
풄 成立，而→
풂与→
풄 的大小和方向都是不确定的，故 A 不正
确．
由 |→
풂 + →
풃| = |→
풂 ― →
풃| 可 得 →
풂
ퟐ + →
풃
ퟐ + ퟐ→
풂 ⋅ →
풃 = →
풂
ퟐ + →
풃
ퟐ ― ퟐ→
풂 ⋅ →
풃， ∴ →
풂 ⋅ →
풃 = 0 ， 故 B 正
确．
当→
풃 = →
ퟎ 时，→
풂与→
풃是共线向量，→
풃与→
풄是共线向量，但→
풂与→
풄的大小和方向都是不确定的，
故 C 不正确．
若 →
풂ퟎ与 →
풃ퟎ是单位向量，则 →
풂ퟎ ⋅ →
풃ퟎ = 1×1cos＜ →
풂ퟎ
→
，풃ퟎ＞ = cos＜ →
풂ퟎ
→
，풃ퟎ＞，故 D 不正
确．
故选：B．
【点评】本题考查两个向量共线的定义和性质，两个向量的数量积的定义，注意零向量
的情况，这是解题的易错点．8．如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， →
푶푷 = x →
푶푨 + y →
푶푩，且 →
푩푷 = 3 →
푷푨，则（ ）
A．x =
2
3，y =
1
3 B．x =
1
3，y =
2
3 C．x =
1
4，y =
3
4 D．x =
3
4，y =
1
4
【分析】由 →
푩푷 = 3 →
푷푨，利用向量三角形法则可得 →
푶푷 ― →
푶푩 = ퟑ( →
푶푨 ― →
푶푷)，化为 →
푶푷 =
3
4
→
푶푨 +
1
4
→
푶푩，又 →
푶푷 = x →
푶푨 + y →
푶푩，利用平面向量基本定理即可得出．
解：∵ →
푩푷 = 3 →
푷푨，
∴ →
푶푷 ― →
푶푩 = ퟑ( →
푶푨 ― →
푶푷)，
化为 →
푶푷 =
3
4
→
푶푨 +
1
4
→
푶푩，
又 →
푶푷 = x →
푶푨 + y →
푶푩，
∴풙 =
3
4，y =
1
4．
故选：D．
【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
9．已知△ABC 中，풂 = ퟓ，푨 =
휋
3，풃 + 풄 = ퟐ풃풄，则△ABC 的面积为（ ）
A．5
8 B． 3
4 C． ퟑ D．5 3
8
【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出．
解：由余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴5＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝2（bc）2﹣3bc，
解得 bc =
5
2，或 bc＝﹣1（舍去），
∴S△ABC =
1
2bcsinA =
1
2 ×
5
2 ×
3
2 = 5 3
8
，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用，属于基础题．
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善
织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹＝40 尺，一丈＝10 尺），问日
益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越
来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三
丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 30 天算，则每天增加量为（ ）
A．1
2尺 B． 8
15尺 C．16
29尺 D．16
31尺
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，
a1＝5（尺），S30＝9×40+30＝390（尺），设公差为 d（尺），
则 30×5 +
30 × 29
2 풅 = 390，解得 d =
16
29．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继
续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°，另一灯塔在船的南偏西 75°，则这艘
船的速度是每小时（ ）
A．5 海里 B．5 ퟑ海里 C．10 海里 D．10 ퟑ海里
【分析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而 CD＝CA＝10，在直角三角形 ABC 中，得 AB＝5，由此能求出这艘船的速度．
解：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而 CD＝CA＝10，
在直角三角形 ABC 中，得 AB＝5，
于是这艘船的速度是 5
0.5 = 10（海里/小时）．
故选：C．
【点评】本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．
12．已知函数풇(풙) = 풙 + ퟑ풔풊풏(풙 ―
1
2) +
1
2，则풇(
1
2019) + 풇(
2
2019) + ⋯ + 풇(
2018
2019) = （ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【分析】根据题意，求出 f（1﹣x）的解析式，进而可得 f（1﹣x）+f（x）＝2，又由풇(
1
2019
) + 풇(
2
2019) + ⋯ + 풇(
2018
2019) = f（ 1
2019） +f（ 2018
2019） +f（ 2
2019） +f（ 2017
2019） +… … +f（1009
2019）+f（1010
2019），分析可得答案．
解：根据题意，函数풇(풙) = 풙 + ퟑ풔풊풏(풙 ―
1
2) +
1
2，则 f（1﹣x）＝（1﹣x）+3sin（1
2 ― x）
+
1
2 =
3
2 ― x﹣3sin（x ―
1
2），
则 f（1﹣x）+f（x）＝2，
풇(
1
2019) + 풇(
2
2019) + ⋯ + 풇(
2018
2019) = f（ 1
2019）+f（2018
2019）+f（ 2
2019）+f（2017
2019）+……+f
（1009
2019）+f（1010
2019）＝1009×2＝2018．
故选：A．
【点评】本题考查函数值的计算，注意分析 f（x）+f（1﹣x）的值，属于基础题．
一、选择题
13．在△ABC 中，若 a＜b＜c，且 c2＜a2+b2，则△ABC 为 锐角 三角形．
【分析】利用余弦定理即可得出．
解：∵c2＜a2+b2，
∴cosC = 푎2 + 푏2 ― 푐2
2푎푏 ＞0，
∴C 为锐角．
∵a＜b＜c，∴C 为最大角．
∴△ABC 为锐角三角形．
故答案为：锐角．
【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
14．若向量→
풂、→
풃满足|→
풂| = ퟐ，|→
풃| = ퟑ，且→
풂与→
풃的夹角为휋
4，则(→
풂 ― →
풃)ퟐ = 13﹣6 ퟐ ．
【分析】根据条件可求出→
풂 ⋅ →
풃 = ퟑ ퟐ，然后进行数量积的运算即可求出(→
풂 ― →
풃)ퟐ的值．解：∵|→
풂| = ퟐ，|→
풃| = ퟑ，且→
풂与→
풃的夹角为휋
4，
∴→
풂 ⋅ →
풃 = ퟐ × ퟑ ×
2
2 = ퟑ ퟐ，
∴(→
풂 ― →
풃)ퟐ = →
풂
ퟐ + →
풃
ퟐ ― ퟐ→
풂 ⋅ →
풃 = ퟒ + ퟗ ― ퟔ ퟐ = ퟏퟑ ― ퟔ ퟐ．
故答案为：ퟏퟑ ― ퟔ ퟐ．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
15 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 的 和 Sn ＝ 3n2+n+1 ， 则 此 数 列 的 通 项 公 式 풂풏 =
{ퟓ，(풏 = ퟏ)
ퟔ풏 ― ퟐ，(풏 ≥ ퟐ) ．
【分析】首先根据 Sn＝3n2+n+1 求出 a1 的值，然后根据 an＝Sn﹣Sn﹣1 求出当 n≥时数列的
递推关系式，最后计算 a1 是否满足该关系式．
解：当 n＝1 时，a1＝5，
当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2+n+1﹣3（n﹣1）2﹣n+1﹣1＝6n﹣2，
故数列的通项公式为풂풏 = {ퟓ，(풏 = ퟏ)
ퟔ풏 ― ퟐ，(풏 ≥ ퟐ)，
故答案为풂풏 = {ퟓ，(풏 = ퟏ)
ퟔ풏 ― ퟐ，(풏 ≥ ퟐ)．
【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用 an＝Sn﹣Sn﹣1 求出
数列的通项公式，此题难度一般．
16．已知平面上不重合的四点 P，A，B，C 满足 →
푷푨 + →
푷푩 + →
푷푪 = ퟎ且 →
푨푩 + →
푨푪 = 풎 →
푨푷，那
么实数 m 的值为 3 ．
【分析】利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．
解：由题意，根据向量的减法有： →
푨푩 = →
푷푩 ― →
푷푨， →
푨푪 = →
푷푪 ― →
푷푨，
∵ →
푨푩 + →
푨푪 = 풎 →
푨푷∴（ →
푷푩 ― →
푷푨）+（ →
푷푪 ― →
푷푨）＝﹣m →
푷푨；
∴（m﹣2） →
푷푨 + →
푷푩 + →
푷푪 = →
ퟎ，
∵ →
푷푨 + →
푷푩 + →
푷푪 = →
ퟎ，
∴m﹣2＝1，
∴m＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础
知识，属于基础题．
三、解答题：（本大题共六小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求与向量→
풂 = (ퟏ，ퟐ)，→
풃 = (ퟐ，ퟏ)夹角相等的单位向量→
풄的坐标．
【分析】设→
풄 = (풙，풚)，则 cos＜→
풂，→
풄＞ = cos＜→
풃，→
풄＞可得{풙 + ퟐ풚 = ퟐ풙 + 풚
풙ퟐ + 풚ퟐ = ퟏ ，解方程
可求
解：设→
풄 = (풙，풚)，则 cos＜→
풂，→
풄＞ = cos＜→
풃，→
풄＞
∴{풙 + ퟐ풚 = ퟐ풙 + 풚
풙ퟐ + 풚ퟐ = ퟏ
∴{풙 =
2
2
풚 =
2
2
或{풙 = ―
2
2
풚 = ―
2
2
∴→
풄 = (
2
2 ，
2
2 )，→
풄 = ( ―
2
2 ， ―
2
2 )
【点评】本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公
式
18 ． 设 △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 长 分 别 为 a 、 b 、 c ， 且 有 2sinBcosA ＝sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 b＝2，c＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长．
【分析】（Ⅰ）根据 2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC，可得 2sinBcosA＝sin（A+C），
从而可得 2sinBcosA＝sinB，由此可求求角 A 的大小；
（Ⅱ）利用 b＝2，c＝1，A =
휋
3，可求 a 的值，进而可求 B =
휋
2，利用 D 为 BC 的中点，
可求 AD 的长．
解：（Ⅰ）∵2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC
∴2sinBcosA＝sin（A+C）
∵A+C＝π﹣B
∴sin（A+C）＝sinB＞0
∴2sinBcosA＝sinB
∴cosA =
1
2
∵A∈（0，π）
∴A =
휋
3；
（Ⅱ）∵b＝2，c＝1，A =
휋
3
∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝3
∴b2＝a2+c2
∴B =
휋
2
∵D 为 BC 的中点，∴AD = ퟏퟐ + (
3
2 )
ퟐ
=
7
2 ．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的
边与角．
19．已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1、a2、a5 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn＞60n+800？若存在，求
n 的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前 n 项和公式可得 Sn，再利用一元二次不等式的解法即可得出．
解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，
∵a1＝2，且 a1、a2、a5 成等比数列．
∴풂ퟐퟐ = a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得 d＝0 或 4．
∴an＝2，或 an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．
（2）当 an＝2 时，Sn＝2n，不存在正整数 n，使得 Sn＞60n+800．
当 an＝4n﹣2 时，Sn =
푛(2 + 4푛 ― 2)
2 = 2n2，假设存在正整数 n，使得 Sn＞60n+800，即
2n2＞60n+800，化为 n2﹣30n﹣400＞0，
解得 n＞40，
∴n 的最小值为 41．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、一元二次不等式的解法，
考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知数列{an}满足 a1＝1，풂풏+ퟏ =
2푎푛
푎푛 + 2．（1）求证数列{
1
푎푛
}为等差数列；
（2）设 bn＝anan+1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
【分析】（1）首先利用数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
解：（1）数列{an}满足 a1＝1，풂풏+ퟏ =
2푎푛
푎푛 + 2．整理得 anan+1＝2an﹣2an+1，
故
1
푎푛+1
―
1
푎푛
=
1
2（常数），
所以数列{
1
푎푛
}是以 1 为首项，1
2为公差的等差数列．
（2）由于数列{
1
푎푛
}是以 1 为首项，1
2为公差的等差数列．
所以
1
푎푛
= ퟏ +
1
2(풏 ― ퟏ) =
푛 + 1
2 ，故풂풏 =
2
푛 + 1
所以풃풏 = 풂풏풂풏+ퟏ =
2
푛 + 1 ⋅
2
푛 + 2 = ퟒ(
1
푛 + 1 ―
1
푛 + 2)，
则：푻풏 = ퟒ(
1
2 ―
1
3 +
1
3 ―
1
4 +⋯ +
1
푛 + 1 ―
1
푛 + 2) = ퟒ(
1
2 ―
1
푛 + 2) = 2 ―
4
푛 + 2．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，裂项相消法在数列求和中的
应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
21．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）+（b﹣
a）sinB＝0．
（1）求 C；
（2）若 c＝2，2sin2A+sin（2B+C）＝sinC，求△ABC 的面积．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出 C
的值．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和分类讨论思想的应用求出三角形的角和边，进一步求出三角形的面积．
解：（1）△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）+
（b﹣a）sinB＝0．
利用正弦定理得：（a﹣c）（a+c）+（b﹣a）b＝0，
整理得：a2﹣c2+b2﹣ab＝0，即풄풐풔푪 = 푎2 + 푏2 ― 푐2
2푎푏 =
1
2，
由于 0＜C＜π，
所以：C =
휋
3．
（2）由于 2sin2A+sin（2B+C）＝sinC，
整理得 2sin2A+sin（2π﹣2A﹣C）＝sinC，
化简得：3
2풔풊풏ퟐ푨 ―
3
2 풄풐풔ퟐ푨 =
3
2 ，
所以풔풊풏(ퟐ푨 ―
휋
6) =
1
2，
由于ퟎ＜푨＜
2휋
3 ，
所以 ―
휋
6＜ퟐ푨 ―
휋
6＜
7휋
6 ．
故ퟐ푨 ―
휋
6 =
휋
6或5휋
6 ，
解得푨 =
휋
6或휋
2，
①当 A =
휋
6时，由于 C =
휋
3，
所以 B =
휋
2，且 c＝2，则利用勾股定理设 a＝x，b＝2x，
故：（2x）2﹣x2＝4，解得 x = 2 3
3
，所以푺△푨푩푪 =
1
2 × 2 3
3 × ퟐ = 2 3
3
．
②当 A =
휋
2时，C =
휋
3，所以 B =
휋
6．
同理解得 b = 2 3
3
．
所以푺△푨푩푪 =
1
2 × 2 3
3 × ퟐ = 2 3
3
．
综上所述：푺△푨푩푪 = 2 3
3
．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数
关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及
思维能力，属于中档题型．
22．已知各项均为正数的数列{an}满足 an+12﹣an+1an﹣2an2＝0（n∈N*），且 a3+2 是 a2，a4
的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式 an；
（2）若 bn＝an풍풐품1
2an，Sn＝b1+b2+…+bn，求 Sn+n•2n+1＞50 成立的正整数 n 的最小值．
【分析】（Ⅰ）根据数列是一个各项均为正数的数列{an}满足 an+12﹣an+1an﹣2an2＝0，把
这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，（an+1+an）（an+1﹣2an）＝0，注意数列是一
个正项数列，得到 an+1﹣2an＝0，得到数列是一个等比数列，写出通项．
（Ⅱ）本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一
个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，两边同乘以 2，得到结果后观察 Sn+n•2n+1
＞50 成立的正整数 n 的最小值．
解：（Ⅰ）∵an+12﹣an+1an﹣2an2＝0，∴（an+1+an）（an+1﹣2an）＝0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an+1+an＞0，
∴an+1﹣2an＝0，即 an+1＝2an，所以数列{an}是以 2 为公比的等比数列．
∵a3+2 是 a2，a4 的等差中项，
∴a2+a4＝2a3+4，
∴2a1+8a1＝8a1+4，
∴a1＝2，
∴数列{an}的通项公式 an＝2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及 bn = 풂풏풍풐품1
2
풂풏得，bn＝﹣n•2n，
∵Sn＝b1+b2++bn，
∴Sn＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①
∴2Sn＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②
①﹣②得，Sn＝2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1
= 2(1 ― 2푛)
1 ― 2 ― 풏 ⋅ ퟐ풏+ퟏ = (ퟏ ― 풏) ⋅ ퟐ풏+ퟏ ― ퟐ，
要使 Sn+n•2n+1＞50 成立，只需 2n+1﹣2＞50 成立，即 2n+1＞52，
∴使 Sn+n•2n+1＞50 成立的正整数 n 的最小值为 5．
【点评】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重
要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．
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