河北元氏县一中2019-2020高一数学下学期第一次月考试题（Word版带答案）

高一年级下学期第一次月考数学试题 考试时间：90 分钟；分值：120 分 一．选择题（共 20 小题，每小题 5 分，满分 100 分.） 1．在 中，已知 ， ，则 　　 A． B． C． 或 D． 或 2．下列可作为数列 1，2，1，2，1，2， 的通项公式的是 　　 A． B． C． D． 3．等差数列 前 项和为 ，已知 ， ，则 　　 A． B． C． D． 4．已知等差数列 满足 ，则该数列中一定为零的项为 　　 A． B． C． D． 5．在等差数列 中， ，则 　　 A．0 B．1 C． D．3 6．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 　　 A． 或 B． C． D． 或 7．已知数列 的前 项和为 ，若 ， ， ．则 　　 A．7 B．5 C．9 D．3 8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其面积 ，则 的值为 　　 A． B．1 C． D．2 9．在等差数列 中， ， ，则数列 的前 项和 中最小的是 　　 A． B． C． D． ABC∆ 60A = ° 2 3, 2a b= = (B = ) 30° 60° 30° 150° 60° 120° … ( ) 11 ( 1) 2 n na −+ −= 3 ( 1) 2 n na + −= 2 sin 2n na π= − 2 cos[( 1) ]na n π= − − { }na n nS 4 6a = 3 6S = ( ) 4 10na n= − 3 6na n= − 2 nS n n= − 22 4nS n n= − { }na 3 43 4a a= ( ) 6a 7a 8a 9a { }na 6 52a a= 1 7 (a a+ = ) 2− ABC∆ A B C a b c 4 cos sin 3b B C c= (B = ) 6 π 5 6 π 4 π 3 π 6 π 3 π { }na n nS 1 2n na a+ = + 5 25S = *n N∈ 5 (a = ) ABC∆ A B C a b c 2 2 21 ( )3S a c b= + − tan B ( ) 4 3 3 2 { }na 8 0a > 4 10 0a a+ < { }na n nS ( ) 4S 5S 6S 7S10．在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，它的面积为 ，则角 等 于 　　 A． B． C． D． 11．在 中， ，则 的面积等于 　　 A． B．2 C． D．3 12．设 是等差数列 的前 项和，且 ， 　　 A．3 B．27 C．54 D．36 13．锐角 中，下列不等关系总成立的是 　　 A． B． C． D． 14．《庄子．天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过 天，该木 锤剩余的长度为 （尺 ，则 与 的关系为 　　 A． B． C． D． 15．已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ， 若 边上的中线 ，则 的外接圆面积为 　　 A． B． C． D． 16．在锐角 中， 为最大角，且 ，则实数 的取值范 围是 　　 A． ， B． C． D． ， 17．在等差数列 中， ， ，若 ，则 　　 A．6 B．7 C．8 D．9 18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 　　 A． B． C． D． ABC∆ a b c A B C 2 2 2 4 b c a+ − A ( ) 30° 45° 60° 90° ABC∆ 2 3, 4, 3AC BC B π= = = ABC∆ ( ) 3 2 3 nS { }na n 2 7 42 12a a a+ + = 9 (S = ) ABC∆ ( ) sin cosA B< sin cosB A< sin sinA B> sin cosB A> n na ) na n ( ) 1 2n na = 11 2n na = − 1 na n = 11na n = − ABC∆ A B C a b c 2b = 2 2 2b c a bc+ − = BC 7AD = ABC∆ ( ) 4π 7π 12π 16π ABC∆ C∠ sin :sin :sin 2:(1 ) : 2A B C k k= + k ( ) (1 3] (1,3) 5(1, )3 (1 5]3 { }na 1 2a = 3 7 28a a+ = 26ma = (m = ) ABC∆ A B C a b c 3( sin cos ) 03b c A A+ − = 2 6 3b = 2c = (A = ) 12 π 5 12 π 4 π 3 π19．已知数列 中， ， ．若 为等差数列，则 　　 A． B． C． D． 20．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且 ，则 　　 A． B． C． D． 二．解答题（共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分.） 21． 、 、 分别为 内角 、 、 的对边，已知 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 的面积． 22．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 的最大值及对应 的大小． 高一年级下学期第一次月考数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共 20 小题，每小题 5 分，满分 100 分.） 1．在 中，已知 ， ，则 　　 A． B． C． 或 D． 或 【分析】根据正弦定理算出 ，再由角 是三角形内角，结合特殊三角函数的值即可得到 角 的大小； 【解答】解：因为 ， ， ； { }na 3 2a = 7 1a = 1 na       5 (a = ) 2 3 3 2 4 3 3 4 ABC∆ A B C a b c a b c 4sin 3sinA B= sin cos sin (A B C+ = ) 34 25 27 25 12 25 7 5 a b c ABC∆ A B C tan 3 sina B b A= cos B 3a = 17b = ABC∆ { }na n nS 2 2 1 9a a= 6 18S = { }na nS n ABC∆ 60A = ° 2 3, 2a b= = (B = ) 30° 60° 30° 150° 60° 120° sin B B B 60A = ° 2 3, 2a b= = ∴ sin 2 sin60 1sinsin sin 22 3 a b b ABA B a × °= ⇒ = = =可得 或 ，可得 不符合题意，舍去． 可得 ； 故选： ． 2．下列可作为数列 1，2，1，2，1，2， 的通项公式的是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，分析可得该数列的奇数项为 1，偶数项为 2，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，数列 1，2，1，2，1，2， 其奇数项为 1，可以看作 ，偶数项为 2，可以看作 ； 其通项公式可以为： ； 故选： ． 3．等差数列 前 项和为 ，已知 ， ，则 　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求 ， ，然后可求 ， ． 【解答】解：因为 ， ， 所以 ， 解可得， ， ， 故 ， ． 故选： ． 4．已知等差数列 满足 ，则该数列中一定为零的项为 　　 A． B． C． D． 【分析】结合已知及化等差数列的通项公式化简即可求解． 30B = ° 150° a b> A B> 150B∴ = ° 30B = ° A … ( ) 11 ( 1) 2 n na −+ −= 3 ( 1) 2 n na + −= 2 sin 2n na π= − 2 cos[( 1) ]na n π= − − … 3 ( 1) 2 + − 3 ( 1) 2 − − 3 ( 1) 2 n na + −= B { }na n nS 4 6a = 3 6S = ( ) 4 10na n= − 3 6na n= − 2 nS n n= − 22 4nS n n= − 1a d na ns 4 6a = 3 6S = 1 1 3 6 3 3 6 a d a d + =  + = 1 0a = 2d = 2 2na n= − 22 2 2n ns n n n −= × = − C { }na 3 43 4a a= ( ) 6a 7a 8a 9a【解答】解：因为 ， 则 ， 化简可得， ， 故选： ． 5．在等差数列 中， ，则 　　 A．0 B．1 C． D．3 【分析】结合等差数列的通项公式及等差数列的性质即可求解． 【解答】解：由 ，可得 ， 即 ， 则 ． 故选： ． 6．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 　　 A． 或 B． C． D． 或 【分析】利用正弦定理，边化角由 ，得 ，即可求 出角 ． 【解答】解：由 ，得 ， ， 或 ， 或 ， 故选： ． 7．已知数列 的前 项和为 ，若 ， ， ．则 　　 A．7 B．5 C．9 D．3 【分析】可得由题意数列 为等差数列，公差 ，解方程可求得首项，再由通项公式即 可得答案． 3 43 4a a= 1 13( 2 ) 4( 3 )a d a d+ = + 1 76 0a d a+ = = B { }na 6 52a a= 1 7 (a a+ = ) 2− 6 52a a= 1 15 2( 4 )a d a d+ = + 1 3 0a d+ = 1 7 42 0a a a+ = = A ABC∆ A B C a b c 4 cos sin 3b B C c= (B = ) 6 π 5 6 π 4 π 3 π 6 π 3 π 4 cos sin 3b B C c= 4sin cos sin 3sinB B C C= B 4 cos sin 3b B C c= 4sin cos sin 3sinB B C C= 3sin 2 2B∴ = 2 3B π∴ = 2 3 π 6B π∴ = 3 π D { }na n nS 1 2n na a+ = + 5 25S = *n N∈ 5 (a = ) { }na 2d =【解答】解：若 ，则数列 为等差数列，公差 ， 由 ，可得， ， 所以， ， 则 故选： ． 8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其面积 ，则 的值为 　　 A． B．1 C． D．2 【分析】结合三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解即可． 【解答】解： ， ， ， 由 ，得 ， 得 ， 故选： ． 9．在等差数列 中， ， ，则数列 的前 项和 中最小的是 　　 A． B． C． D． 【分析】结合已知及等差数列的性质可判断出 ， ，即可求解． 【解答】解：等差数列 中， ， ， 故 ， 所以数列 的前 项和 中最小的是 ． 故选： ． 10．在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，它的面积为 ，则角 等 于 　　 A． B． C． D． 1 2n na a+ = + { }na 2d = 5 25S = 15 10 2 25a + × = 1 1a = 5 9a = C ABC∆ A B C a b c 2 2 21 ( )3S a c b= + − tan B ( ) 4 3 3 2 1 sin2S ac B= 2 2 2 cos 2 a c bB ab + −= 2 2 2 2 cosa c b ac B∴ + − = 2 2 21 ( )3S a c b= + − 1 1sin 2 cos2 3ac B ac B= × 4tan 3B = A { }na 8 0a > 4 10 0a a+ < { }na n nS ( ) 4S 5S 6S 7S 7 0a < 8 0a > { }na 8 0a > 4 10 72 0a a a+ = < 7 0a < { }na n nS 7s D ABC∆ a b c A B C 2 2 2 4 b c a+ − A ( ) 30° 45° 60° 90°【分析】由已知利用余弦定理，三角形的面积公式可得 ，即 ，结合范围 ，可求 的值． 【解答】解： 的面积为 ， ，可得 ，即 ， ， ． 故选： ． 11．在 中， ，则 的面积等于 　　 A． B．2 C． D．3 【分析】由已知利用余弦定理可求 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解： ， 由 余 弦 定 理 ， 可 得 ， 可 得 ， 解得 ， ． 故选： ． 12．设 是等差数列 的前 项和，且 ， 　　 A．3 B．27 C．54 D．36 【分析】结合等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解． 【解答】解：由等差数列的性质可知 ， 所以 ， 因为 ． 故选： ． 13．锐角 中，下列不等关系总成立的是 　　 A． B． C． D． cos sinA A= tan 1A = (0 ,180 )A∈ ° ° A ABC∆ 2 2 2 1 sin4 2 b c aS bc A + −= = ∴ 2 cos 1 sin4 2 bc A bc A= cos sinA A= tan 1A = (0 ,180 )A∈ ° ° 45A∴ = ° B ABC∆ 2 3, 4, 3AC BC B π= = = ABC∆ ( ) 3 2 3 AB 2 3, 4, 3AC BC B π= = = ∴ 2 2 2 2 cosAC BC AB BC AB B= + −   2 112 16 2 4 2AB AB= + −   2( 2) 0AB − = ∴ 2AB = 1 1 3sin 2 4 2 32 2 2ABCS AB BC B∆∴ = = × × × =  C nS { }na n 2 7 42 12a a a+ + = 9 (S = ) 2 7 4 4 52 2 2 12a a a a a+ + = + = 4 5 6a a+ = 1 9 9 4 5 9( ) 9 ( ) 272 2 a aS a a += = + = B ABC∆ ( ) sin cosA B< sin cosB A< sin sinA B> sin cosB A>【分析】由题意可求 ，结合各个选项利用诱导公式逐一判断即可得解． 【解答】解： 锐角 中， ， ， ， 故选 选项不正确 与 大小不定， 选项不正确 ， 不正确， 选项正确． 故选： ． 14．《庄子．天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过 天，该木 锤剩余的长度为 （尺 ，则 与 的关系为 　　 A． B． C． D． 【分析】根据木锤前几天的剩余量，得到数列 满足的关系，由此即可解决问题． 【解答】解：依题意，解：由题意可得：第一次剩下 尺， 第二次剩下 尺， 第三次剩下 尺， 则第 天后“一尺之棰”剩余的长度为： 尺， 故选： ． 15．已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ， 若 边上的中线 ，则 的外接圆面积为 　　 A． B． C． D． 【分析】由已知利用余弦定理可得 ，由 ，利用数量积运算性质可得 ．再 利用已知可得 ，利用正弦定理可得 的外接圆的半径，即可得出圆的面积． 02 2A B π π> > − >  ABC∆ 0 2C A B π π< < < + < ∴ 02 2A B π π> > − >  sin sin( ) cos2A B B π> − = A sin A sin B C∴ ∴ cos cos( ) sin2A B B π< − = B∴ D D n na ) na n ( ) 1 2n na = 11 2n na = − 1 na n = 11na n = − { }na 1 2 2 1 1 1 2 2 2 × = 3 1 1 1 1 2 2 2 2 × × = …… n 1 2n A ABC∆ A B C a b c 2b = 2 2 2b c a bc+ − = BC 7AD = ABC∆ ( ) 4π 7π 12π 16π A 1 ( )2AD AB AC= +   c a ABC∆【解答】解： ， ， ． ． 由 是 的中点，可得： ， ， ， 化为： ，解得 ． ，解得 ． ，解得 ． 的外接圆面积 ． 故选： ． 16．在锐角 中， 为最大角，且 ，则实数 的取值范 围是 　　 A． ， B． C． D． ， 【分析】已知等式利用正弦定理化简求出三边之比，可设 ， ， ， ， 由 为 最 大 角 ， 可 解 得 ： ， 又 由 余 弦 定 理 可 得 ， 可 得 ，解不等式即可得解． 【解答】解： 在锐角 中， 为最大角，且 ， ， 由正弦定理化简得： ， ， 由题意可设 ， ， ， ， 为最大角，可得 ， ，2m+(k+1)m＞2km， 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc + −∴ = = = (0, )A π∈ 3A π∴ = D BC 1 ( )2AD AB AC= +   ∴ 2 2 21 ( 2 )4AD AB AC AB AC= + +      217 ( 4 2 2 cos )4 3c c π∴ = + + × 2 2 24 0c c+ − = 4c = 2 2 22 4 2 4a∴ + − = × 2 3a = 2 32 4sin sin 3 aR A π∴ = = = 2R = ABC∴∆ 2 4Rπ π= = A ABC∆ C∠ sin :sin :sin 2:(1 ) : 2A B C k k= + k ( ) (1 3] (1,3) 5(1, )3 (1 5]3 2a m= ( 1)b k m= + 2c km= ( 0, 0)m k> > C∠ 1k > cos 0C > 23 2 5 0k k− − <  ABC∆ C∠ sin :sin :sin 2:(1 ) : 2A B C k k= + ( 0)k > ∴ : : 2:(1 ) : 2a b c k k= + ( 0)k > 2a m= ( 1)b k m= + 2c km= ( 0, 0)m k> > C∠ 2 (1 )km k m> + 2 2km m>解得：1＜k＜3， 又 由 余 弦 定 理 可 得 ， 可 得 ， ， 可得 ，解得 ， 综上，可得 的取值范围为 ． 故选： ． 17．在等差数列 中， ， ，若 ，则 　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】本题根据等差中项的性质有 ，可计算出 的值，再根据 和 的值可得 公差 ，即可得到等差数列 的通项公式，再根据 ，即可得到 的值． 【解答】解：由题意，可得 ，故 ． 公差 ， ， ， 解得 ． 故选： ． 18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合范围 ，可得 ， ，进而可求 的值． 【解答】解： ， ， ， ， ∴  2 2 2 cos 02 a b cC ab + −= > 2 2 2 2(2 ) ( 1) (2 ) 0m k m km+ + − > ( 0, 0)m k> > ∴ 23 2 5 0k k− − < 51 3k− < < k 5(1, )3 C { }na 1 2a = 3 7 28a a+ = 26ma = (m = ) 3 7 52a a a+ = 5a 5a 1a d { }na 3 1 26ma m= − = m 3 7 52 28a a a+ = = 5 14a = ∴ 5 1 34 a ad −= = 1 ( 1) 2 3 ( 1) 3 1na a n d n n∴ = + − = + − = − 3 1 26ma m∴ = − = 9m = D ABC∆ A B C a b c 3( sin cos ) 03b c A A+ − = 2 6 3b = 2c = (A = ) 12 π 5 12 π 4 π 3 π 2sin( )3 2A π− = − (0, )A π∈ (3 3A π π− ∈ − 2 )3 π A  3( sin cos ) 03b c A A+ − = 2 6 3b = 2c = ∴ 2 6 32( sin cos ) 03 3 A A+ − =， 解得： ， ， ， ， ，可得 ． 故选： ． 19．已知数列 中， ， ．若 为等差数列，则 　　 A． B． C． D． 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设等差数列 的公差为 ， 则 ，即 ，解得 ． 则 ，解得 ． 故选： ． 20．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且 ，则 　　 A． B． C． D． 【分析】利用 ， ， 成等差数列得到 ， 和 的关系式，利用正弦定理和已知等式求得 和 的关系式，分别设出 ， 和 ，最后利用余弦定理即可求得 ， 的值，则 可 得，进而利用诱导公式可求 的值，即可得解． 【解答】解： ， ， 成等差数列， ， ， 由正弦定理得 ， 设 ， ，则 ， ， ， ∴ 2 6 4 3 sin( ) 03 3 3A π+ − = ∴ 2sin( )3 2A π− = − (0, )A π∈ (3 3A π π− ∈ − 2 )3 π 3 4A π π∴ − = − 12A π= A { }na 3 2a = 7 1a = 1 na       5 (a = ) 2 3 3 2 4 3 3 4 1 na       d 7 3 1 1 4da a = + 11 42 d= + 1 8d = 5 3 1 1 1 1 32 2 4 4da a = + = + = 5 4 3a = C ABC∆ A B C a b c a b c 4sin 3sinA B= sin cos sin (A B C+ = ) 34 25 27 25 12 25 7 5 a b c a b c a b a b c cosC cos B C sin A a b c 2b a c∴ = + 4sin 3sinA B= ∴ 4 3a b= 3a t= 4b t= 5c t= 2 2 2 2 2 29 16 25cos 02 2 3 4 a b c t t tC ab t t + − + −∴ = = =× × 2 2 2 3cos 2 5 a c bB ac + −= =， ． ，可得 ， ． 故选： ． 二．解答题（共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分.） 21． 、 、 分别为 内角 、 、 的对边，已知 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 的面积． 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出 的值； （2）利用余弦定理求出 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出 的值，最后利用三 角形的面积公式即可求出 的面积 【解答】解（1）因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，因为 ，所以 ； （2）由余弦定理，得 ，则 ， 整理得 ， ，解得 ． 因为 ，所以 ， 所以 的面积 ． 22．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 的最大值及对应 的大小． 【分析】本题第（1）题根据等差数列的通项公式和求和公式代入 ， 化简可解出 ， 的值，则即可得到 的通项公式；第（2）题根据第（1）题可得 关于 的表达式， 然后利用函数思想进行思考，将 关于 的表达式看成关于 的二次函数，即可得 的最大 值及对应 的大小． 0 C π< sin 3sincos B BB = sin 0B > 1cos 3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 117 9 2 3 3c c= + − × × × 2 2 8 0c c− − = 0c > 4c = 1cos 3B = 2 2 2sin 1 cos 3B B= − = ABC∆ 1 sin 4 22S ac B= = { }na n nS 2 2 1 9a a= 6 18S = { }na nS n 2 2 1 9a a= 6 18S = 1a d { }na nS n nS n n nS n【解答】解：（1）设 的公差为 ，且 由 ，得 ， 由 ，得 ， 解得 ， ． 的通项公式为 ， ． （2）由（1），得 ． ， 当 或 时， 有最大值为 20． { }na d 0d ≠ 2 2 1 9a a= 1 4 0a d+ = 6 18S = 1 5 32a d+ = 1 8a = 2d = − { }na∴ 10 2na n= − *n N∈ 2 2( 1) 9 818 ( 2) 9 ( )2 2 4n n nS n n n n −= + × − = − + = − − + *n N∈ ∴ 4n = 5n = nS