福建省漳州市第八中学2019-2020高一数学上学期期中试题(带解析Word版)
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福建省漳州市第八中学2019-2020高一数学上学期期中试题(带解析Word版)

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资料简介
漳州八中 2019-2020 学年上学期期中考高一数学试题 一、选择题 1.设集合 ,集合 ,则 等于( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据交集的概念和运算,求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素,故 . 故选:D. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念和运算,属于基础题. 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). A. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】 【分析】 对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系,由此判断出正确选项. 【详解】对于 A 选项,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,故不是 同一函数. 对于 B 选项,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,故不是同一函数. 对于 C 选项,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,且 , 故是同一函数. 对于 D 选项,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,故不是同一函数. 故选:C { }1 1A x x= − < < { }0 4B x x= < < A B { }1 4x x< < { }1 0x x− < < { }1 4x x− < < { }0 1x x< < A B { }0 1x x= < < ( ) 1f x = ( ) 0g x x= ( ) 2f x x= + ( ) 2 4 2 xg x x −= − ( )f x x= ( ) 2g x x= ( )f x x= ( ) ( )2 g x x= ( )f x R ( )g x { }| 0x x ≠ ( )f x R ( )g x { }| 2x x ≠ ( )f x R ( )g x R ( ) ( )g x x f x= = ( )f x R ( )g x { }| 0x x ≥【点睛】本小题主要考查两个函数是否是同一函数的判断,考查函数的定义域、值域和对应 关系,属于基础题. 3.若函数 ,则 的值为( ). A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得 的值,进而求得 的值. 【详解】依题意 ,所以 . 故选:D. 【点睛】本小题主要考查分段函数的函数值计算,属于基础题. 4.已知函数 ( 且 )的图象恒过定点 ,则点 的坐标是 ( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 ,求得函数所过定点 的坐标. 【详解】当 时, ,即 ,故 . 故选:D. 点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题,属于基础题. 5.若幂函数 的图象经过点 ,则 的值等于( ). A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【 ( ) 1, 0 2 , 0 x xf x x x + ≥=  − 1a ≠ P P ( )0,3 ( )1,3 ( )0,4 ( )1,4 0 1a = P 2 2 0x − = 1x = ( ) 2 21 3 1 3 4f a −= + = + = ( )1,4P ( ) af x kx= ( )27,3 ( )8f 2− 4−根据幂函数的概念和 所过点 ,求得 的值,由此求得 的值. 【 详 解 】 由 于 函 数 幂 函 数 , 故 , 即 , 将 代 入 得 ,所以 ,故 . 故选:A 【点睛】本小题主要考查幂函数的定义,考查幂函数函数值的求法,属于基础题. 6.已知 , , ,则( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用 分段法,比较出三者的大小关系. 【详解】依题意可知 ,故 . 故选:B. 【点睛】本小题主要考查利用 分段法比较对数、幂的大小,属于基础题. 7.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x,则当 x<0 时,f(x) 的解析式是( ) A. f(x)=﹣x(x+2) B. f(x)=x(x﹣2) C. f(x)=﹣x(x﹣2) D. f(x)=x(x+2) 【答案】A 【解析】 因 为 函 数 在 时 , , 所 以 时 , , 所 以 , 因 为 函 数 是 奇 函 数 , 所 以 ,所以选 A 点睛:本题考察分段函数的性质,注意每段函数所对应的范围为其切入点. 8.今有一组实验数据如下: 为 ( )f x ( )27,3 ,k a ( )8f ( )f x 1k = ( ) af x x= ( )27,3 127 3, 3 a a= = ( ) 1 3f x x= ( ) 1 38 8 2f = = 0.50.2a = ln 0.2b = lg11c = a b c> > c a b> > a c b> > c b a> > 0,1 ( )0.50.2 0,1 , ln 0.2 0, lg11 lg10 1a b c= ∈ = < = > = c a b> > 0,1 ( )y f x= 0x ≥ ( ) 2 2f x x x= − 0x < 0x− > 2 2( ) ( ) 2( ) 2f x x x x x− = − − − = + 2 2( ) ( ) ( 2 ) 2f x f x x x x x− = − = − + = − − x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.1212 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是 ( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令 代入选项中函数的解析式,由此判断最接近的函数. 【详解】对于 A 选项, 时, ,与表格 差距较大,故排除. 对于 B 选项, 时, , 时, ,与表格数据较为吻合. 对于 C 选项, 时, ,与表格 差距较大,故排除. 对于 D 选项, 时, ,与表格 差距较大,故排除. 故选:B. 点睛】本小题主要考查根据实验数据选取函数模型,属于基础题. 9.已知 ,则 的解析式为( ) A. ,且 B. ,且 C. ,且 D. ,且 【答案】C 【解析】 令 t= ,得到 x= ,∵x≠1,∴t≠1 且 t≠0, ∴ 且 t≠0) 【 y 1.5 4.0 7.5 18.1 2 2y x= − 2 1 2 xy −= 2 1xy = − 2logy x= 2,3x = 2x = 2y = 1.5y = 2x = 1.5y = 3x = 4y = 2x = 3y = 1.5y = 2x = 1y = 1.5y = 1( ) 1 xf x x = − ( )f x 1( ) ( 0xf x xx −= ≠ 1)x ≠ 1( ) ( 01f x xx = ≠− 1)x ≠ 1( ) ( 01f x xx = ≠− 1)x ≠ ( ) ( 01 xf x xx = ≠− 1)x ≠ 1 x 1 t ( ) 1 1 ( 11 11 tf t tt t = = ≠−−∴ 且 x≠0), 故选 C. 点睛:求函数解析式常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)方程法:已知关于 f(x)与 或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个 等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 10.若函数 f(x)=ax-1 的图象经过点(2,4),则函数 的图象是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由条件知 ;函数 定义域为 ,在定义域上是减函数;故选 D 11.函数 ( 且 )在区间 上的值不大于 2,则函数 的 值域是( ). A. B. C. D. 【答案】A ( ) 1 ( 01f x xx = ≠− 1f x      ( ) 1log 1ag x x = + 4 1 4 1(2) 4; ( ) log log ( 1)1f a g x xx = = ∴ = = ++ ( )g x ( 1, )− +∞ ( ) xf x a= 0a > 1a ≠ [ ]2 2− , ( ) 2logg a a= 1 1,0 0,2 2    − ∪      1 1, 0,2 2    −∞ −       1 1,2 2  −   1 1,0 ,2 2    − +∞     【解析】 【分析】 根据指数函数的单调性列不等式,求得 的取值范围,由此求得 的值域. 【详解】由于 是指数函数,当 时, 在 上递增, ,解得 ;当 时, 在 上递减, ,解得 . 所以 .注意到 在 上递增,故函数 的值 域是 ,即 . 故选:A. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性和最值,考查对数型函数的单调性和值域,属于 基础题. 12.函数 ,若方程 有且只有两个不等的实数根,则实数 的取值范围为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 的分段表达式,画出 的图像,画出 的图像,根据 与 图像有两个不同的交点,求得实数 的取值范围. 【详解】当 时, ,所以 ; 当 时, ,所以 ; a ( )g a ( )f x 1a > ( )f x [ ]2 2− , ( ) 22 2f a= ≤ 1 2a< ≤ 0 1a< < ( )f x [ ]2 2− , ( ) 22 2f a−− = ≤ 2 12 a≤ < (2 ,1 1, 22a   ∈ ∪   2logy x= ( )0, ∞+ ( ) 2logg a a= (2 2 2 2 2log ,log 1 log 1,log 22   ∪   1 1,0 0,2 2    − ∪      ( ) ( ) 2 1, 0 1 , 0 x xf x f x x − −  1 2 1 a a ≤ > 2 12 a< ≤ ( ) ( )34 34 2 2− + − ( )2 2 2 2 0= − + − = − = 0 ( ) 1 2019f x x = −【答案】 【解析】 【分析】 根据分式分母不为零,求得函数的定义域. 【详解】由于 为分式的形式,故 ,即 ,所以函数的定义域为 . 故答案为: 【点睛】本小题主要考查具体函数的定义域的求法,属于基础题. 15.已知函数 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 对 分成 两种情况,根据函数 定义域为 ,求得 的取值范围. 【详解】当 时, ,定义域为 ,符合题意. 当 时,要使 在 上恒成立,则需 ,解得 . 综上所述,实数 的取值范围是 . 故答案为: 【点睛】本小题主要考查函数定义域,考查一元二次不等式恒成立问题的求解,属于基础题. 16.已知函数 ( 为常数),若 时, 恒成立,则 的取 值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 令 ,分离常数 ,由此求得 的取值范围. 的 { }2019x x ≠ ( )f x 2019 0x − ≠ 2019x ≠ { }2019x x ≠ { }2019x x ≠ ( ) 2 2f x mx mx= + + 0 8m≤ ≤ m 0, 0m m= ≠ ( )f x R m 0m = ( ) 2f x = R 0m ≠ 2 2 0mx mx+ + ≥ R 2 0 8 0 m m m > ∆ = − ≤ 0 8m< ≤ m 0 8m≤ ≤ 0 8m≤ ≤ ( ) ( )lg 2xf x b= − b [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ b ( ],1−∞ ( ) 0f x ≥ b b【 详 解 】 依 题 意 时 , 恒 成 立 , 即 , , ,在 时成立.而在区间 上, 为单调递增函数,当 时有最小值为 ,故 ,所以 . 故答案为: 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解,考查指数函数和对数函数的性质,属于 基础题. 三、解答题 17.已知集合 , . (1)求 ; (2)已知 ,若 ,求实数 的取值范围. 【答案】(1) 或 . (2) 【解析】 【分析】 (1)先求得 和 ,然后求得 . (2)根据 列不等式组,解不等式组求得 的取值范围. 【详解】(1) ,因为 或 , 所以 或 . (2)因为 ,所以 ,得 ,所以 . 【点睛】本小题主要考查集合并集、补集的运算,考查根据集合的包含关系求参数,属于基 础题. 18.已知函数 的图象在 内是连续不断的,对应值表如下: 0 1 2 3 4 5 [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ ( )lg 2 0x b− ≥ 2 1x b− ≥ 2 1xb ≤ − [ )1,x∈ +∞ [ )1,+∞ 2 1xy = − 1x = 12 1 1− = 2 1 1xy = − ≥ 1b ≤ ( ],1−∞ { }5 3 1 17A x x= ≤ − < { }3 9B x x= < < ( )R B A { }1C x a x a= ≤ < + C B⊆ a { 6x x < }9x ≥ ( ]3,8 R B A ( )R B A C B⊆ a { }2 6A x x= ≤ < { 3R B x x= ≤ }9x ≥ ( ) { 6R B A x x∪ =   + ≤ 3 8a< ≤ ( ]3,8a∈ ( ) ( ) 3 2log 3 2 4f x x x x= + − + [ ]2,5− x 2− 1−(1)计算上述表格中的对应值 和 ; (2)从上述对应填表中,可以发现函数 在哪几个区间内有零点?说明理由. 【答案】(1) , (2)函数 分别在区间 , , 内有零点,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)利用 ,求得 的值. (2)根据零点的存在性定理,判断出有零点的区间. 【详解】(1)由题意可知 , . (2)∵ , , , ∴函数 分别在区间 , , 内有零点. 【点睛】本小题主要考查根据函数解析式求函数值,考查零点存在性定理的运用,属于基础 题. 19.已知函数 . (1)判断函数 在区间 上的单调性,并用单调性定义证明; (2)求函数 在区间 上的值域. 【答案】(1)单调递减,证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 (1)利用函数单调性的定义,计算 ,由此证得函数在区间 上递减. ( )f x a 1− 1.58 b 5.68− 39.42− 109.10− 227− a b ( )f x 8a = 4b = ( )f x ( )2, 1− − ( )1,0− ( )1,2 ( ) ( )2 , 1f f− ,a b ( ) ( ) ( ) ( )3 22 log 2 3 2 2 4 2 0 16 8 8a f= − = − + − ⋅ − + ⋅ − = + − = ( ) 21 log 4 2 4 4b f= = − + = ( ) ( )2 1 0f f− ⋅ − < ( ) ( )1 0 0f f− ⋅ < ( ) ( )1 2 0f f⋅ < ( )f x ( )2, 1− − ( )1,0− ( )1,2 ( ) 2 1 4f x x = − ( )f x ( )2,+∞ ( )f x [ ]3,4 1 1,12 5      ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )2,+∞(2)根据(1)中求得 的单调性,求得函数在区间 上的值域. 【详解】(1)函数 在区间 上单调递减,证明如下: 任取 ,且 , 则 , ∵ ,∴ , 又∵ ,∴ , , , ∴ ,即 . 由单调性的定义可知函数在区间 上单调递减. (2)由(1)知函数 在区间 上单调递减, 所以函数 最大值为 ,最小值为 , 所以函数 在区间 上的值域为 . 【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性,考查利用函数的单调性 求函数的值域,属于基础题. 20.已知 是定义在 的奇函数,当 时, .若函数 在 上单调递减. (1)求 的取值范围; (2)若对实数 , 恒成立,求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据函数 为奇函数,结合 以及二次函数的单调性,得到 ,由此求 得 的取值范围. 的 ( )f x [ ]3,4 ( ) 2 1 4f x x = − ( )2,+∞ ( )1 2, 2,x x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 12 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 4 4 4 4 4 x x x xx xf x f x x x x x x x − +−− = − = =− − − − − − 1 2x x< 2 1 0x x− > ( )1 2, 2,x x ∈ +∞ 2 1 0x x+ > 2 1 4 0x − > 2 2 4 0x − > ( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 2 1 2 0 4 4 x x x x x x − + > − − ( ) ( )1 2f x f x> ( )2,+∞ ( )f x [ ]3,4 ( )f x ( ) 13 5f = ( ) 14 12f = ( )f x [ ]3,4 1 1,12 5      ( )f x R 0x ≥ ( ) 2f x x ax= − + ( )f x [ )0,+∞ a [ ]5, 2m∈ − − ( ) ( )21 0f m f m t− + + < t 0a ≤ 1t > − ( )f x ( )0 0f = 02 a ≤ a(2)根据函数 的奇偶性和单调性化简 ,分离常数 ,根据 的取值范围,求得 的取值范围. 【详解】(1)①∵ 是定义在 上的奇函数 ∵ , 在 上单调递减 ∴ ,∴ . (2)∵ 在 上单调递减且在 上是奇函数,故 在 上递减, 由 得 ∴ 恒成立, . 令 , ∵对称轴 ,∴ 时, 为增函数, ∴当 时, 取到最大值 .∴ . 【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查函数不等式的解法,考查不等式恒成 立问题的求解策略,属于中档题. 21.某家具厂生产一种办公桌,每张办公桌的成本为 100 元,出厂单价为 160 元,该厂为鼓励 销售商多订购,决定一次订购量超过 100 张时,每超过一张,这批订购的全部办公桌出厂单 价降低 1 元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 160 张. (1)设一次订购量为 张,办公桌的实际出厂单价为 元,求 关于 的函数关系式 ; (2)当一次性订购量 为多少时,该家具厂这次销售办公桌所获得的利润 最大?其最 大利润是多少元?(该家具厂出售一张办公桌的利润=实际出厂单价-成本) 【答案】(1) (2)当第一次订购量为 100 张时,该家具厂在这次订购中所获得的利润最大,其最大利润是 6000 元. 【解析】 【分析】 ( )f x ( ) ( )21 0f m f m t− + + < t m t ( )f x R ( )0 0f = ( ) 2f x x ax= − + [ )0,+∞ 02 a ≤ 0a ≤ ( )f x [ )0,+∞ R ( )f x R ( ) ( ) ( )2 21f m f m t f m t− < − + = − − 21m m t− > − − 2 1t m m> − − + [ ]5, 2m∈ − − ( ) 2 1h m m m= − − + 1 2m = − [ ]5, 2m∈ − − ( )h m 2m = − ( )h m 1− 1t > − x P P x ( )P x x ( )f x ( ) 160,0 100, 260 ,100 160, x xP x x x x < ≤ ∈=  − < ≤ ∈ N N(1)将订购量 分为 两种情况,求得办公桌的实际出厂单价的分 段函数解析式. (2)利用单价减去成本,再乘以订购量,求得利润 的解析式.根据分段函数 的解 析式,结合函数的单调性,求得 的最大值. 【详解】(1)依题意得 即 . (2)由(1)得 即 (i)当 ,则 时, . (ii)当 ,则 在 单调递减. ∴ ∴ . 综上所述, 的最大值为 6000. 答:当第一次订购量为 100 张时,该家具厂在这次订购中所获得的利润最大,其最大利润是 6000 元. 【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用,考查函数最值的求法,属于基础题. 22.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)﹣x2+x)=f(x)﹣x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式. 【答案】(1)f(a)=a;(2)f(x)=x2﹣x+1. 【解析】 【分析】 (1)由条件可令 x=2,得到 f(f(2)﹣22+2)=f(2)﹣22+2,又由 f(2)=3,即可得 x 0 100,100 160x x< ≤ < ≤ ( )f x ( )f x ( )f x ( ) ( ) 160,0 100, 160 100 ,100 160, x xP x x x x < ≤ ∈=  − − < ≤ ∈ N N ( ) 160,0 100, 260 ,100 160, x xP x x x x < ≤ ∈=  − < ≤ ∈ N N ( ) ( ) 60 ,0 100, 160 ,100 160, x x xf x x x x x < ≤ ∈=  − < ≤ ∈ N N ( ) 2 60 ,0 100, 160 ,100 160, x x xf x x x x x < ≤ ∈= − + < ≤ ∈ N N 0 100x< ≤ 100x = ( ) ( )max 100 6000f x f= = 100 150x< ≤ ( )f x ( ]100,150 ( ) ( ) ( )150 100f f x f≤ < ( )1500 6000f x≤ < ( )f x到 f(1)=1,再由 f(0)=a,即可得到 f(a)=a; (2)由条件可得,令 x=x0,f(x0)﹣x02+x0=x0,解得 x0=0 或 1,代入检验 x0≠0,则有 f (x)=x2﹣x+1; 【详解】(1)因为对任意 x∈R,有 f(f(x)﹣x2+x)=f(x)﹣x2+x, 所以 f(f(2)﹣22+2)=f(2)﹣22+2,又由 f(2)=3,得 f(3﹣22+2)=3﹣22+2,即 f (1)=1; 若 f(0)=a,即 f(a﹣02+0)=a﹣02+0,即 f(a)=a; (2)因为对任意 x∈R,有 f(f(x)﹣x2+x)=f(x)﹣x2+x, 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,所以对任意 x∈R,有 f(x)﹣x2+x=x0, 在上式中令 x=x0,f(x0)﹣x02+x0=x0,又因为 f(x0)=x0,则 x02=x0,故 x0=0 或 1. 若 x0=0,即 f(x)﹣x2+x=0,即 f(x)=x2﹣x, 但方程 x2﹣x=x0 有两个不同实根,与题设条件矛盾,故 x0≠0; 若 x0=1,则有 f(x)﹣x2+x=1,即 f(x)=x2﹣x+1,易验证该函数满足题设条件; 综上,所求函数为 f(x)=x2﹣x+1. 【点睛】本题考查函数的解析式的求法,考查函数的单调性及运用,属于中档题.

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