吉林省吉林市2020届高三数学(理)上学期第一次调研试卷(附解析Word版)
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吉林省吉林市2020届高三数学(理)上学期第一次调研试卷(附解析Word版)

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资料简介
吉林市普通中学 2019-2020 学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求。 1.设 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合的交集运算即可求解。 【详解】 , 故选:D 【点睛】本题考查集合的基本运算,属于基础题。 2.函数 的最小正周期是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角函数的最小正周期 ,即可求解。 【详解】 , 故选:B 【点睛】本题考查求三角函数 的周期,属于基础题。 { | 2 3}, { | 0}A x x B x x= − < < = > A B = ( 2,3)− (3, )+∞ ( 2,0)− (0,3) { | 2 3}, { | 0}A x x B x x= − < < = > }{ 0 3A B x x∴ ∩ = < < 3sin 4 3y x π = +   2π 2 π 3 π π 2T ω π= 4ω = 2T ω π= 2 4 2T π π∴ = = sin( )y A xω ϕ= +3.已知向量 ,则 ( ) A. -8 B. 4 C. 7 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 故选:A 【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题. 4.已知奇函数 当 时, ,则当 时, 的表达式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设 x0,又当 x>0 时,f(x)=x(1−x),故 f(−x)=−x(1+x), 又函数为奇函数,故 f(−x)=−f(x)=−x(x+1),即 f(x)=x(x+1), 本题选择 C 选项. 5.若数列 满足: 且 ,则 ( ) A. B. -1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由递推关系 得出 、 、 、 且数列的周期为 即可求出 . 【详解】由 且 , (1, 2), ( 2,3)a b= − = −  a b⋅ =  (1, 2), ( 2,3)a b= − = −   1 ( 2) ( 2) 3 8a b∴ ⋅ = × − + − × = −  ( )f x 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x (1 )x x− + (1 )x x− − (1 )x x+ ( 1)x x − { }na 1 11n n a a+ = − 1 2a = 2019a = 1 2 1 2 − 1 11n n a a+ = − 1a 2a 3a 4a 3 2019a 1 11n n a a+ = − 1 2a =则 , , , 所以数列 为周期数列,周期为 , 所以 故选:B 【点睛】本题考查数列周期性的应用,属于基础题. 6.若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本道题化简式子,计算出 ,结合 ,即可. 【详解】 ,得到 ,所以 ,故选 C. 【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小. 7.将函数 图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变, 再将所得图像向左平移 个单位得到数学函数 的图像,在 图像的所有对称轴中, 离原点最近的对称轴为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析:根据平移变换可得 ,根据放缩变换可得函数 的解析式,结合 对称轴方程求解即可. 2 1 11 2 2a = − = 3 2 11 1a a = − = − 4 3 11 2a a = − = { }na 3 2019 2016 3 1a a a= = = = − 3cos( )2 3 πα + = − cos2 =α 2 3 − 1 3 − 1 3 2 3 sinα 2cos2 1 2sinα α= − 3cos sin2 3 πα α + = − = −   3sin 3 α = 2 1 1cos2 1 2sin 1 2 3 3 α α= − = − ⋅ = 2 n 2) 3( sif x x π = +   12 π ( )g x ( )g x 24x π= − 4x π= 5 24x π= 12x π= 2 4 3y sin x π = +   ( )g x详解:将函数 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变,得到 , 再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象, 即 , 由 , 得 , 当 时,离原点最近的对称轴方程为 ,故选 A. 点睛:本题主要考查三角函数的图象与性质,属于中档题.由 函数 可求得函 数的周期为 ;由 可得对称轴方程;由 可得对称中心横坐标. 8.已知 是不共线的向量, ,若 三点共线, 则 满足( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 根据平面向量的共线定理即可求解。 【详解】由 三点共线,则 、 共线, 所以存在不为零的实数 ,使得 即 , 又因为 是不共线的向量, 所以 ,消 解得 故选:D 【 ( ) 2 2 3f x sin x π = +   2 4 3y sin x π = +   12 π ( )g x ( ) 22 4 2 412 3 3g x sin x sin x π π π    = + + = +         24 ,3 2x k k Z π π π+ = + ∈ 1 ,4 24x k k Z ππ= − ∈ 0k = 24x π= − sin( )y A xω ϕ= + 2π ω 2x k πω ϕ π+ = + x kω ϕ π+ = ,a b  2 , 2 , ,AAB a b a b RCλ µ λ µ= − = + ∈      , ,A B C ,λ µ 2λ µ+ = 1λµ = − 4λ µ+ = 4λµ = − , ,A B C AB AC m AB mAC=  2 (2 ), ,a b m a b Rλ µ λ µ− = + ∈    ,a b  2 2 m m λ µ = − = m 4λµ = −【点睛】本题考查平面向量的共线定理,需掌握共线定理的内容,属于基础题。 9.若函数 且 在 上为减函数,则函数 的图象可以是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 且 在 上为减函数可得 ,结合 ,再根据对数函数 的图像特征,得出结论. 【 详 解 】 由 且 在 上 为 减 函 数 , 则 , 令 , 函数 的定义域为 , ,所以函数为关于 对称的偶函数. 函数 的图像, 时是函数 的图像向右平移一个单位得到的. 故选:D 【点睛】本题考查复合函数的图像,可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解,属于 基础题. 10.等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ( ) A. 510 B. 255 C. 127 D. 6540 【答案】B ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R log (| | 1)ay x= − ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R 0 1a< < ( )g x ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R 0 1a< < ( ) log (| | 1)ag x x= − ∴ ( ) log (| | 1)ag x x= − ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ) ( ) log (| | 1)ag x g x x− = = − y ( ) log (| | 1)ag x x= − 1x > logay x= { }na n nS ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈  1 2 3 8a a a = 8S =【解析】 【分析】 由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 , 由 可 得 公 比 , ,再由等比数列的求和公式即可求出 【详解】由等比数列的性质可得 ,解得 , 又 , , , 即 , 又 ,所以 由等比数列的求和公式 故选:B 【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质,属于基础题. 11.已知向量 满足 ,点 在 内,且 ,设 ,若 ,则 ( ) A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 2 2a = ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈  2q = 1 1a = 8S 3 1 2 3 2 8a a a a= = 2 2a = ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈  2 4 61 3 5 2 1 2 1 3 5 2 1( ) ( ) 3( )n n na a a a a a a a a a a a− −∴ + + + + + + + + + + ++ = +   2 4 2 1 3 5 2 16 2( )n na a a a a a a a −+ + + + + +∴ += +  2 1 1 3 51 3 5 2 12( )n nq q q qa a a a a a a a− −+ + + + + + + +∴ =  2q = 2 1a a q= 1 1a = 8 8 1 8 (1 ) 2 1 2551 1 a qS q − −∴ = = =− ,OA OB  0OA OB⋅ =  C AOB∠ 30AOC °∠ = ( , )OC mOA nOB m n R= + ∈   | | 1 2| | OA OB =   m n = 3 6 2 3 1 4根据题意由 得 ,建立如图所示的直角坐标系,由 ,不妨设 , ,则 ,再利用正切的定义结合 建立关于 的等式, 即可解出 的值。 【详解】 由 得 ,建立如图所示的直角坐标系, ,不妨设 , , 由 得 , 故选:C 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算,属于基础题。 12.设函数 的定义域为 ,若满足条件:存在 ,使 在 上的值域 为 ( 且 ),则称 为“ 倍函数”,若函数 为“3 倍函数”,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 0OA OB⋅ =  OA OB⊥ | | 1 2| | OA OB =   (1,0)A (0,2)B ( ,2 )C m n 30AOC °∠ = ,m n m n 0OA OB⋅ =  OA OB⊥ | | 1 2| | OA OB =   (1,0)A (0,2)B ( , )OC mOA nOB m n R= + ∈   ( ,2 )C m n tan30 2 3tan 3 nAOC m °∠ = == 2 3m n ∴ = ( )f x D [ , ]m n D⊆ ( )f x [ ]m n, [ ]km kn, k ∈R 0k > ( )f x k ( ) xf x a= ( )1a > a 3 1, ee       ( )31,e 2 ,ee e       ( )3,e e【分析】 由函数与方程 关系得:函数 为“3 倍函数”,即函数 的图像与直 线 有两个不同的交点,设 ,再利用导数可得求出 的单调区间,只 需 ,即可求出 【详解】因为函数 为增函数,由函数 为“3 倍函数”,即 函数 的图像与直线 有两个不同的交点, 设 ,则 , 又 ,所以 , 则当 时, , 当 时, , 所以函数 在 减函数,在 为增函数, 要使 的图像与直线 有两个不同的交点, 则需 ,即 所以 , 所以 所以 所以 所以 即 又 , 所以 故选:A 的 为 ( ) xf x a= ( )1a > ( )y f x= 3y x= ( ) 3xg x a x= − ( )g x 3(log ) 0lnag a < 3 1 ea e< < ( ) xf x a= ( )1a > ( ) xf x a= ( )1a > ( )y f x= 3y x= ( ) 3xg x a x= − ( ) ln 3xg x a a′ = − 1a > ln 0a > 3log lnax a < ( ) 0g x′ < 3log lnax a > ( ) 0g x′ > ( )g x 3( ,log )lna a −∞ 3(log , )lna a +∞ ( )y f x= 3y x= 3(log ) 0lnag a < 3log ln 33log 0ln a a aa a − < 1 3logln lnaa a < ln3log 1ln a a a   >   ln3 ln a aa   >   3ln 1ln a > 3 ln ea > 3 ea e< 1a > 3 1 ea e< =  ≤ 1f f e    =     1f e      1f f e          1 ln , 0( ) 2 , 0x x xf x x+ >=  ≤ 1 1ln 1f e e  ∴ = = −   01 ( 1) 2 1f f fe    = − = =     ∴ a b 3 π 1 2,a b= = , 2a b− =  2 2a b − 2 24 4 4 4 4 4a a b b− ⋅ + = − + =   2 2a b− =由题意设此等差数列 的公差为 ,则 求出首项即可得到答案。 【详解】设此等差数列 的公差为 , 由题意 即 解得 所以夏至的日影子长为 故答案为: 【点睛】本题主要考查等差数列 性质以及求和公式,解题的关键把文字叙述转化为数学等 式,属于基础题。 16.已知函数 若 ,则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 辅 助 角 公 式 化 简 , 再 由 得 图 像 关 于 直 线 对 称 , 利 用 正 弦 函 数 的 性 质 得 到 ,再由 , 得 ,由二倍角公式即可 求解. 【详解】设 , , 所以 , 又因为 ,所以函数的图像关于直线 对称, 根据正弦函数的性质得到 , 因为 , , 所以 , 的 { }na d 12 1 5 9 84 16.5 S a a a =  + + = { }na d 12 1 5 9 84 16.5 S a a a =  + + = 1 5 1 12 1112 842 3 3( 4 ) 16.5 a d a a d × + =  = + = 1 1.5 1 a d =  = 1.5 1.5 ( ) sin( ) 2cos( )f x x xπ ϕ π ϕ= + − + (0 )ϕ π< < (1 ) (1 )f x f x+ = − sin 2ϕ = 4 5 − ( ) sin( ) 2cos( ) 5 sin( )f x x x xπ ϕ π ϕ π ϕ θ= + − + = + + (1 ) (1 )f x f x+ = − 1x = ,2 k k z ππ ϕ θ π+ + = + ∈ 0 ϕ π< < ( ,0)2 πθ ∈ − 2 πϕ θ+ = 1 2cos ,sin 5 5 θ θ= = − ( ,0)2 π− ( ) sin( ) 2cos( ) 5 sin( )f x x x xπ ϕ π ϕ π ϕ θ= + − + = + + (1 ) (1 )f x f x+ = − 1x = ,2 k k z ππ ϕ θ π+ + = + ∈ 0 ϕ π< < ( ,0)2 πθ ∈ − 2 πϕ θ+ =所以 故答案为: 【点睛】本题主要考查三角函数以及辅助角公式、二倍角公式,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 是底部 不可到达的建筑物, 是建筑物的最高点,为测量建筑物 的高度,先把 高度为 1 米的测角仪放置在 位置,测得仰角为 45°,再把测角仪放置在 位置,测得 仰角为 75°,已知 米, 在同一水平线上,求建筑物 的高度。 【答案】( )米 【解析】 【分析】 在 中,利用正弦定理求出 ,在 求出 即可求出 . 【详解】 中, , 4sin 2 2sin cos 2sin cos 5 ϕ ϕ ϕ θ θ= = = − 4 5 − AB B A AB CD EF 2DF = D F B, , AB 2 3+ ACE∆ AE AEG∆ AG AB ACE∆ sin45 sin(75 - 45 ) AE CE=° ° °(米) 因为 所以 (米) 所以建筑物 的高度为( )米 【点睛】本题考查正弦定理在生活中的应用,把生活中的问题转化到三角形中进行求解,属 于基础题。 18.已知等差数列 的公差 ,前 项和为 . ,且 成等比数列。 (1)求数列 的通项公式; (2)设 ,记数列 的前 项和为 ,求证: . 【答案】(1) ;(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)根据等差的通项公式与等比中项求出 ,代入等差数列的通项公式即可。 利用裂项相消法求和以及放缩法即可证明。 【详解】(1)由题意得: , 得 , 因为 ,所以 ,代入(1)式求得 , 所以 ; 222sin45 2 2 21sin30 2 AE ×°= = =° 1 sin75 1 2 2sin75 1AB AG AE= + = ° + = ° + sin75 sin(30 45 ) sin30 cos45 cos30 sin45° = ° + ° = ° ° + ° ° 1 2 3 2 2 6 2 2 2 2 4 += × + × = 2 62 2 1 2 34AB += × + = + AB 2 3+ { }na 0d ≠ n nS 3 6a = 2 4 8, ,a a a { }na 1 n n b S n = + { }nb n nT 3 4nT < 2na n= 1 2d a= = 3 2 4 2 8 6 (1) (2) a a a a =  = 2 2 2 2 1 1 1 16 9 8 7a a d d a a d d+ + = + + 2 1d a d= 0d ≠ 1d a= 1 2d a= = 2 2( 1), 2n na n a n= + − =(2)由(1)根据等差数列 求和公式可得 , 【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求和,属于中档题。 19.在 中,角 , , 的对边分别是 , , .已知 . (Ⅰ)求角 的值; (Ⅱ)若 , ,求 的面积. 【答案】(I) ;(II) 【解析】 【分析】 ( Ⅰ ) 由 , 利 用 正 弦 定 理 以 及 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 可 得 ,结合角 的范围可得结果;(Ⅱ)由余弦定理可得 ,求 出 的值,利用三角形面积公式可得结果. 【详解】(Ⅰ)∵ , ∴由正弦定理可得, , 因为 , ∴ ,∴ . 的 2 nS n n= + 2 1 1 1 1 1( )2 2 2n n b S n n n n n = = = −+ + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1 2 2nT n n n n          = − + − + − +…+ − + −         − + +          1 1 1 112 2 1 2n n  = + − − + +  3 1 1 1 4 2 1 2n n  = − + + +  3 4 < ABC∆ A B C a b c sin sin 03b C c B π − − =   C 4a = 2 7c = ABC∆ 2 3C π= 2 3S = sin sin 03b C c B π − − =   sin 03C π + =   C 2 4 12 0b b+ − = b sin sin 03b C c B π − − =   1 3sin sin cos sin sin 02 2B C C C B  − − =    sin 0B ≠ 1 3sin cos 02 2C C+ = sin 03C π + =  ∵ ,∴ . (Ⅱ)∵ ,∴ , ∵ ,∴ , ∴ . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式,属于中档题.对余弦定 理一定要熟记两种形式:(1) ;(2) ,同时 还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记 住 等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用. 20.设函数 的正零点从小到大依次为 ……, ,……,构成数列 . (1)写出数列 的通项公式 ,并求出数列 的前 项和 ; (2)设 ,求 的值. 【答案】(1) , ;(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由函数 的正零点,令 即可求出 ,再有等差数列求和公式 即可求出 (2)首先求出 ,再讨论 的奇偶即可求解。 【详解】(1) (2) ( )0,C π∈ 2 3C π= 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 4 12 0b b+ − = 0b > 2b = 1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S ab C= = × × × = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 30 ,45 ,60o o o ( ) sin 1f x x= − 1 2, ,x x nx { }nx { }nx nx { }nx n nS 4 n n Sa n π= − sin na 2( 1) 2nx n ππ= − + ( 1) 2n nS n n ππ= − + ( ) sin 1f x x= − sin 1 0x − = nx nS ( 1)4 4 n n Sa nn π ππ= − = − + n 2( 1) , *2nx n n N ππ= − + ∈ 2 4 2( 1)2 2 2 2nS n π π π ππ π π     = + + + + + + − +           2 [1 2 3 ( 1)] 2 nn ππ= + + +…+ − + ( 1) 2 nn n ππ= − + ( 1)4 4 n n Sa nn π ππ= − = − + 当 时, 当 时, 【点睛】本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值,属于综合 性题目。 21.已知函数 . (1)求函数 的单调区间; (2)当 时,求函数 的最大值与最小值。 【答案】(1)增区间是 和 ;递减区间是 ;(2)最大值是 77,最小值 是 【解析】 【分析】 (1)求函数的导数, 求单调递增区间, 求单调递减区间。 (2)根据函数的单调性即可求出最值。 【详解】(1) 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 所以 的递增区间是 和 ;递减区间是 (2)由(1)知, 在 上单调递增,在区间 上单调递减 所以 的极大值为 极小值为 - 又因为 ,所以 的最大值是 77,最小值是 【点睛】本题考查了函数的导数求单调区间和最值,属于基础题。 *2 1,n k k N= − ∈ 2sin sin (2 2) sin 2( 1) sin4 4 4 2na k k π π ππ π   = − + = − + = =       *2 ,n k k N= ∈ 3 2sin sin (2 1) sin 2 sin4 4 4 2na k k π π ππ π π     = − + = − + = − = −          3 2( ) 3 9 1f x x x x= + − + ( )f x [ 4,4]x ∈ − ( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)− -4 ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )2 2( ) 3 6 9 3 2 3 3( 3)( 1)f x x x x x x x′ = + − = + − = + − ( , 3)x∈ −∞ − ( ) 0, ( )f x f x′ > ( 3,1)x∈ − ( ) 0, ( )f x f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ > ( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)− ( )f x [ 4, 3],[1,4]− − [ 3,1]− ( )f x ( 3) 28f − = , (1) 4f = − ( 4) 21, (4) 77f f− = = ( )f x -422.设函数 (1)当 时,求函数 在点 处的切线方程; (2)当 时, 恒成立,求整数 的最大值 【答案】(1) ;(2)最大值为 2 【解析】 【分析】 (1)把 代入,求求导得出 的斜率,代入点斜式方程即可求解。 (2)由 ,分离参数 ( )恒成立,设 , 求导得出 的的范围 ,又 ,即可得到 的最大值为 2。 【详解】当 时, , 所以 ,因为 所以切线方程为 , 整理得: (2) ,因为 ,所以 ( )恒成立 设 ,则 ---------6 分 设 则 所以 在 上单调递增,又 所以存在 使得 , 时, ; 时, 所以 在 上单调递减, 上单调递增 所以 ,又 所以 当 时, ,所以 在 上单调递增 所以 ,即 因为 ,所以 ,所以 的最大值为 2. ( ) ( ) ( )xf x m x e m Z= − ∈ 0m = f x( ) (1, (1))f 0x > 3f x x< +( ) m 2 0ex y e+ − = 0m = 1x = ( ) 3xm x e x− < + 3 x xm xe +< + 0x > 3( ) x xh x x e += + ( )h x 0 7 39( )3 14h x< < m Z∈ m 0m = ( ) xf x xe= − ( ) ( 1)x x xf x e xe x e′ = − − = − + (1) 2k f e′= = − (1) ef = − 2 ( 1)y e e x+ = − − 2 0ex y e+ − = ( ) 3xm x e x− < + 0xe > 3 x xm xe +< + 0x > 3( ) x xh x x e += + 2 ( 3) 2 ( 2)( ) 1 1 x x x x x x e x e x e xh x e e e − + − − − +′ = + = + = ( ) ( 2),xs x e x= − + ( ) 1xs x e′ = − 0> ( )s x (0, )+∞ 3 3 223 7(1) 3 0, ( ) 3.5 02 2s e s e e= − < = − = − > 0 3(1, )2x ∈ 0( ) 0s x = 0(1, )x x∈ ( ) 0s x < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0s x > ( )h x 0(1, )x 0( , )x +∞ 0 0 min 0 0 3( ) ( ) x xh x h x x e += = + 0 0 0 0 0( ) 0, 2 0, 2x xs x e x e x= − − = = + 0 0 0 min 0 0 0 0 0 0 3 3 1( ) ( ) 12 2x x xh x h x x x xx xe + += = + = + = + ++ + 0 3(1, )2x ∈ 0( )h x′ 2 0 11 0( 2)x = − >+ 0( )h x 3(1, )2 0 3(1) ( ) ( )2h h x h< < 0 7 39( )3 14h x< < m Z∈ 2m ≤ m【点睛】本题利用导数求切线方程以及求函数的最值,综合性比较强。

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