湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学(理)上学期第一次大联考试卷(附解析Word版)
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湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学(理)上学期第一次大联考试卷(附解析Word版)

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资料简介
nglo 三湘名校教育联盟·2020 届高三第一次大联考 理科数学 本试卷共 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷 上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 ,集合 , ,则 的子集个 数为() A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 ,再求出 ,然后利用公式 进行计算可得. 【详解】 ,∴ ,∴子集个数为 4. 故选 B. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题,属基础题. 2.若复数 满足 ,则 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 先由复数的除法得 ,再求其共轭复数即可得解. U = R { | ( 2) 0}A x x x= −  { 1,0,1,2,3}B = − ( )U A B UC A ( )UC A B∩ 2n ( ,0) (2, )UC A = −∞ +∞ ( ) { 1,3}UC A B = − z ( )1 1 2i z i− = + z 1 3 2 2z i= − +【详解】由 ,可得 . 在复平面内对应的点为 位于第三象限. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念,属于基础题. 3.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所 得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多 少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,丙所得为( ) A. 钱 B. 1 钱 C. 钱 D. 钱 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,由题意求得 a= ﹣6d,结合 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5 即可得解. 【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, 则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即 a=﹣6d, 又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用,属于基础题. 4.已知函数 , 是 的导函数,则函数 的图像大致为 () A. B. C. D. ( )1 1 2i z i− = + 1 2 (1 2 )(1 ) 1 3 2 1 3 1 2 2 2 2 i i i iz ii + + + + −= = = = − +− 1 3 2 2z i= − − 1 3( , )2 2 − − 2 3 4 3 5 3 2( ) 2cosf x x x= + ( )f x′ ( )f x ( )y f x′=【答案】C 【解析】 【分析】 因为 ,显然 是奇函数,求导易得 在 R 上单调 递增. 【详解】因为 ,显然 是奇函数, 又 ,所以 在 R 上单调递增.只有 C 符合, 故选 C. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5.已知 , 均为单位向量, ,则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知结合向量数量积的性质可求 ,代入即可求解. 【详解】解: , 均为单位向量,且 , , , 则 , 故选:B. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用,属于基础试题. 6. 内角 , , 的对边分别为 , , ,则“ 为锐角三角形”是 ( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′ ( )f x′ ( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′ ( ) 2 2cos 0f x x′′ = − ≥ ( )f x′ a b 3a b+ = ( ) ( )2 (a b a b+ ⋅ − =   ) 1 2 − 1 2 3 2 − 3 2 a b⋅  a b a b 3+ = 2 23 a 2a b b∴ = + ⋅ +   1a b 2 ∴ ⋅ = ( ) ( ) 2 2 12a b a b 2a a b b 2       + ⋅ − = − ⋅ − = ABC∆ A B C a b c ABC∆“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由余弦定理可知 时 C 一定为锐角,进而由充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】当△ABC 锐角三角形时,C 一定为锐角,此时 成立, 当 成立时,由余弦定理可得 cosC>0,即 C 为锐角,但此时△ABC 形状不能确定, 故 为锐角三角形”是“ ”的充分不必要条件, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用,属于基础题. 7.在 中, , , ,则 的面积为( ) A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 可得 ,进而得 ,再利用面积公式即可得 解. 【 详 解 】 因 为 , 解 得 . 所以 . 所以 的面积为 . 为 2 2 2a b c+ > 2 2 2a b c+ > 2 2 2a b c+ > 2 2 2a b c+ > ABC∆ 2 2 2a b c+ > ABC∆ 1AB = 3AC = 1AB BC⋅ =  ABC∆ 1 2 5 2 5 ( )AB BC AB AC AB⋅ = ⋅ −     2cos 3A = 5sin 3A = 2 ( ) 1 3cos 1 1AB BC AB AC AB AB AC AB A⋅ = ⋅ − = ⋅ − = × − =        2cos 3A = 2 5sin 1 cos 3A A= − = ABC∆ 1 1 5 5sin 1 32 2 3 2AB AC A⋅ ⋅ = × × × =故选:C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式,属于基础题. 8.要得到函数 的图象,只需将函数 的图象 A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换、函数 的图象变换规律,得出结论. 【 详 解 】 解 : 函 数 , 故将函数 的图象向右平移 个单位,可得 的图象, 故选:D. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换,函数 的图象变换规律,统一 这两个三角函数的名称,是解题的关键,属于基础题. 9.设 , , ,则() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过对数 运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数 的单调性可得 ,通过指数函数的性质可得 . 【详解】 , , ,∴ , ,故选 D. 的 ( ) cos2 sin 26f x x x π = − −   ( ) cos2g x x= ( ) 3 π 3 π 6 π 6 π ( )y Asin ωx φ= + ( ) π 1 3 1 3 πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x sin2x cos2x sin2x cos 2x6 2 2 2 2 3     = − − = − − = + = −          ( )g x cos2x= π 6 ( )f x ( )y Asin ωx φ= + 4log 3a = 8log 6b = 0.10.5c −= a b c> > b a c> > c a b> > c b a> > 2logy x= 1a b< < 1c > 2log 3a = 3 2log 6b = 6 63( 3) ( 6) 0− < 1a b< < 0.12 1c = >【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题. 10.定义在 R 上的奇函数 满足 ,且当 时, , 则 () A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和 可推出函数的周期为 4,再根据周期性可求得. 【详解】∵ , , ∴ , , . 故选 A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题. 11.设函数 ,若关于 x 的方程 对任意的 有三个 不相等的实数根,则 a 的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为当 时, 恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于 x 的方程 对任意的 有三个不相等的实数根 所以当 时, , 有一根, ( )f x (1 ) (1 )f x f x+ = − [0,1]x∈ ( ) (3 2 )f x x x= − 29( )2f = 1− 1 2 − 1 2 (1 ) (1 )f x f x− = + ( ) ( )f x f x− = − (1 ) (1 )f x f x− = + ( 1) ( 1) ( 3)f x f x f x+ = − − = − 4T = 29 29 3 1 1 1( ) ( 16) ( ) ( ) (3 2 ) 12 2 2 2 2 2f f f f= − = − = − = − − × = − 2 e 1, 0( ) , 0 x xf x x ax x  −=  − >  ( ) 0f x m+ = (0,1)m∈ ( , 2]−∞ − [2, )+∞ [ 2,2]− ( , 2] [2, )−∞ − +∞ 0x > 2x ax m− = − ( ) 0f x m+ = (0,1)m∈ 0x (0,1)m∀ ∈ 1xe m− = −当 时, 恒有两个正根,由二次函数的图象可知 对任意的 恒成立,所以 解得 .故选 B. 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题. 12.若 , 恒成立,则整数 k 的最大值为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 恒成立,即 恒成立, 即 的最小值大 于 k,再通过,二次求导可求得. 【详解】 恒成立,即 恒成立,即 的 最 小 值 大 于 k , , 令 , 则 , ∴ 在 上 单 调 递 增 , 又 , ,∴ 存在唯一实根 a,且满足 , .当 时 , , ; 当 时 , , , ∴ ,故整数 k 的最大值为 3.故选 C. 【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.由曲线 与直线 围成的封闭图形的面积为___________. 【答案】 0x > 2x ax m− = − 2 02 4 0 a a m  >  = − > (0,1)m∈ 2 4a ≥ 2a (0, )x∀ ∈ +∞ 1 ln( 1) 1 x k x x + + > + 1 ln(x 1) k x x 1 + + > + ( 1)[1 ln( 1)]( ) x xh x kx + + += > h(x) 1 ln(x 1) k x x 1 + + > + ( 1)[1 ln( 1)]( ) x xh x kx + + += > h(x) 2 x 1 ln(x 1)h (x) x − − +′ = g(x) x 1 ln(x 1)(x 0)= − − + > ( ) 01 xg x x ′ = >+ g(x) (0, )+∞ (2) 1 ln3 0g = − < (3) 2 2ln2 0g = − > g(x) 0= (2,3)a∈ 1 ln( 1)a a= + + x a> g(x) 0> h (x) 0′ > 0 x a< < g(x) 0< ( ) 0h x′ < ( 1)[1 ln( 1)]( ) ( ) 1 (3,4)min a ah x h a aa + + += = = + ∈ 2 2y x x= − + y x= 1 6【解析】 【分析】 将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为 , ,结合图像可知围成的封闭图形的面 积. 【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为 , , 如图: 结合图像可知围成的封闭图形的面积为 . 【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题. 14.已知向量 , ,且 ,则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 由向量平行可得 ,结合 可得 ,结合诱导公式化 (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) 11 2 3 2 00 1 1 1( 2 ) ( )3 2 6x x x dx x x− + − = − + =∫ ( )2,sina α= ( )1,cosb α= / /a b  ( )sin cos 2 πα π α − + =   4 5 2cos sinα α= 2 21 sin cosα α= + 2 4sin 5 α =简得 即可得解. 【详解】向量 , ,且 ,所以 . . 由 ,所以 . 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系,属于基础题. 15.已知 是偶函数,则 __________. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义,由 恒成立可得. 【 详 解 】 由 得 , ∴ , . 【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16.已知数列 的前 项和为 , , ,则当 取最 大值时, 的值为______. 【答案】674 【解析】 【分析】 化简条件可得 ,进而得 ,利用反比例函数的性 质分析数列的单调性即可得解. ( ) 2sin cos sin2 πα π α α − + =   ( )2,sina α= ( )1,cosb α= / /a b  2cos sinα α= ( ) 2sin cos ( sin )( sin ) sin2 πα π α α α α − + = − − =   2 2 2 2 2 sin 5sin1 sin cos sin 4 4 α αα α α= + = + = 2 4sin 5 α = 4 5 ( ) ln(e 1) ( 0)axf x bx b= + − ≠ a b = ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )f x f x= − 1ln( 1) ln( 1) ln ln( 1) ax ax ax ax ax ee bx e bx bx e ax bxe − ++ − = + + = + = + − + 2ax bx= 2a b = { }na n nS 1 3 2020a = ( )* 1 2,n n na S S n n N−= ≥ ∈ nS n ( )* 1 1 1 1 2, n n n n NS S − − = − ≥ ∈ 1 2023 3 nS n = −【详解】由 ,可得 . 所以 . 从而有: 是以 为首项,-1 为公差的等差数列. 所以 ,所以 . 当 时, 递增,且 ; 当 时, 递增,且 . 所以当 时, 取最大值. 故答案为:674. 【点睛】本题主要考查了 和 的递推关系,考查了数列的单调性,属于中档题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列 的前 项和为 , , . (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)由等差数列的基本量表示项与和,列方程组求解即可; (2)先求得 ,再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析:(1)设公差为 ,则 ,解得 ,∴ . ( )* 1 2,n n na S S n n N−= ≥ ∈ ( )* 1 1 2,n n n nS S S S n n N− −− = ≥ ∈ ( )* 1 1 1 1 2, n n n n NS S − − = − ≥ ∈ 1{ } nS 1 1 2020 3S = 1 2020 2023( 1) ( 1)3 3n n nS = + − ⋅ − = − 1 2023 3 nS n = − 1 674n≤ ≤ nS 0nS > 675 n≤ nS 0nS < 674n = nS na nS { }na n nS 5 19a = 5 55S = { }na 1 1 n na a +       n nT 4 1na n= − ( )3 4 3 n n + 1 1 1 1 1 4 4 1 4 3n na a n n+  = − − +  d 1 1 4 19 5 10 55 a d a d + =  + = 1 3 4 a d =  = ( )3 4 1 4 1na n n= + − = −(2) , ∴ 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和,属于基础题. 18.在 中,角 所对的边分别为 , . (1)求 ; (2) 为边 上一点, , ,求 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【详解】分析:(1)由余弦定理可得 ,从而可得 ,进而得解; (2)在 中,由正弦定理可得: ,①,在 中, ,②,联立①和②可得解. 详解:(1)由已知条件和余弦定理得: 即: 则 又 , . (2)在 中,由正弦定理可得: ,① 在 中, ,② 由①②可得: ,即: , . ( )( )1 1 1 1 1 1 4 1 4 3 4 4 1 4 3n na a n n n n+  = = − − + − +  1 1 1 1 1 1 1 4 3 7 7 11 4 1 4 3nT n n  = − + − +⋅⋅⋅+ − − +  ( )3 4 3 n n = + ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 22( ) 2 cosa b ac B bc− = + A D BC 3BD DC= 2DAB π∠ = tanC 2 3 π 3 3 7 2 2 2a b c bc− − = cosA ABC△ sin sin120 c BC C =  Rt ABC ( )sin 30 cC BD + = 2 2 2 2 22 2 2 2 a c ba b ac bcac + −− = ⋅ + 2 2 2a b c bc− − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − 0 A π< ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2log log log na a a+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= + + { }na 2logn n nb a a= ⋅ { }nb n nT 2n na = ( ) 11 2 2n nT n += − ⋅ + 1n = 1 2a = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= − − 2n na = 2n nb n= ⋅ 1n = ( )2 2 1log 1a = 1na > 1 2a = 2n ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= − − ( ) ( )( ) ( )( )2 2 1 1log 1 2 1 1 2 16 6na n n n n n n= + + − − − 2n= 2n na = 1n = 2n na = 2n nb n= ⋅ 1 21 2 2 2 2n nT n= ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ 2 3 12 1 2 2 2 2n nT n += ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ 1 2 12 2 2 2n n nT n +− = + +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( ) 11 2 2nn += − ⋅ − ( ) 11 2 2n nT n += − ⋅ + ( ) 2xf x e ax a= + + + ( )f x 0x ≤ ( ) 2f x ≥ a【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)求函数导数得 ,分别讨论 和 时导数的正负从而得函数的单调 性; (2)令 ,则 , ,讨论 , 和 时,利 用导数研究函数 单调性进而得解. 【详解】(1) , 若 ,则 , 在 上单调递增; 若 时,由 得 ,由 得 ,∴ 在 上单调递减,在 上单调递增. (2)当 时, ,即 ,令 ,则 , , 当 时, ,满足题意; 当 时, ,∴ 在 上递增,由 与 的图 像可得 在 上不恒成立; 当 时,由 解得 , 当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. ∴ 在 上的最小值为 ,∴ ,解得 . 的 [ ]1,0− ( )' xf x e a= + 0a ≥ 0a < ( ) xh x e ax a= + + ( )0 0h ≥ 1a ≥ − 0a = 0a > 1 0a− ≤ < ( )' xf x e a= + 0a ≥ ( )' 0f x > ( )f x R 0a < ( )' 0f x > ( )lnx a> − ( )' 0f x < ( )lnx a< − ( )f x ( )( ),ln a−∞ − ( )( )ln ,a− +∞ 0x ≤ 2 2xe ax a+ + + ≥ 0xe ax a+ + ≥ ( ) xh x e ax a= + + ( )0 0h ≥ 1a ≥ − 0a = ( ) 0xh x e= > 0a > ( )' 0xh x e a= + > ( )h x ( ],0−∞ xy e= ( )1y a x= − + ( ) 0h x ≥ ( ],0−∞ 1 0a− ≤ < ( )' 0xh x e a= + = ( )lnx a= − ( )lnx a< − ( )' 0h x < ( )h x ( )ln 0a x− < ≤ ( )' 0h x > ( )h x ( )h x ( ],0−∞ ( )( )lnh a− ( )( ) ( )ln ln 0h a a a− = − ≥ 1 0a− ≤ (0,1) ( ,2 2]−∞ 1( )f x ax ′ = − 0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 1( )f a 1 1( ) ln 0f a a = > 0 1a< < 1( ) 0f a > 1( ) 0f e < ( )f x 1 1( , )e a 1( ) 0f a > 2 2f( ) 0e a < ( )f x 2 2 1( , )e a a a 1 2 0x x k+ + > 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ln ln 0x x ax x x ax x x + − − − + >− 2( ) lnm x x x ax= + − (0, )+∞ min 1(2 )a x x + 1( )f x ax ′ = − 0x > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0a > 1(0, )a ( ) 0f x′ > 1( , )a +∞ ( ) 0f x′ 0 1a< < 2 2 1 1 e e a a < < 1( ) 1 1 0a af e e e = − − + = − < ( )f x 1 1( , )e a 2 2 2 2( ) 2 2ln 1 3 2ln (0 1)e e ef a a aa a a = − − + = − − < < 2 ( ) 3 2ln eF a a a = − − 2 2 2 2 2 2( ) 0e e aF x a a a −′ = − + = > ( )F a (0,1) 2( ) ( )1 3 0F a F e< = − < 2 2f( ) 0e a < ( )f x 2 2 1( , )e a a (0,1) 2 2 1 1 1 2 2 1 ln ln 0x ax x axx x x x − − ++ + >− 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ln ln 0x x ax x x ax x x + − − − + >− 2( ) lnm x x x ax= + − (0, )+∞ 1( ) 2 0m x x ax ′ = + −  (0, )+∞ min 1(2 )a x x + 0x > 1 12 2 2 2 2x xx x + ⋅ = 12x x = 2 2x = 2 2a ( ,2 2]−∞

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