河南省2020届高三上学期第二次开学考试数学(理)试卷(附解析Word版)
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河南省2020届高三上学期第二次开学考试数学(理)试卷(附解析Word版)

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资料简介
2019 年秋期高三第二次开学考试 理数试题 考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上, 3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大通共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则 () A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 解一元二次不等式求得集合 ,求对数型函数定义域求得集合 ,进而求得两个集合的交集. 【详解】因为 , ,所以 .故选 C. 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力,属于基础题. 2.设复数 在复平面内对应的点为 , ,若复数 z 的实部为 1,则() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ,代入 ,用复数乘法运算进行化简,根据复数 的实部为 求得正 确选项. 【详解】因为 , ,所以 .故 【 { }2| 2 0A x x x= + −  { | ln(1 2 )}B x y x= = − A B = 1( ,1]2 1[ 2, )2 − − [ )12, 2 − [ ]12, 2 − A B { }2 1A x x= −   1 2B x x  = c b a> > b a c> > c a b> > 0,1 0 0 ~1 1 01 0.6c > = 40 1 log 4b< < = 0a < c b a> > 1( ) e ex xf x x −= − −先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,再用特殊值确定正确选项. 【详解】首先函数 的定义域为 ,且 , 所 以 函 数 为 奇 函 数 , 图 象 应 该 关 于 原 点 对 称 , 排 除 C 和 D , 当 时 , ,故 A 正确 【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力,属于基础题. 5.如图,四边形 为正方形, 为等腰直角三角形,F 为线段 的中点,设向量 , ,则 () A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作 ,垂足为 G,利用平面向量的线性运算用 表示出 ,由此确定正确选项. 【详解】作 ,垂足为 G,如下图所示,则 ,又 , ,所以 .故选 C. 【点睛】本题考查平面向量的线性表示,考查化归与转化的数学思想,属于基础题. 6.执行如图所示的程序框图,如果输入的 ,那么输出的 () ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 1( ) e e ( )x xf x f xx −− = − + = − ( )f x 1x = 1(1) e 1 0ef = − − > ABCD ADE∆ AE BC a=  BA b=  CF = 1 3 4 2a b− +  3 3 4 2a b+  3 5 4 4a b− +  1 5 4 4a b+  FG BC⊥ ,a b  CF FG BC⊥ CF CG GF= +   3 4CG CB=  5 4GF BA=  3 5 4 4CF CG GF a b= + = − +     6n = S =A. 167 B. 168 C. 104 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】 通过分析得出程序框图所计算数值为数列 的前 6 项和,利用分组求和法求得输出 的值. 【详解】这个程序框图表示计算数列 的前 6 项和,所以 . 故选 B. 【点睛】本题考查算法与程序框图,考查运算求解能力,考查分组求和法,属于中档题. 7.在长方体 中, , , ,点 O 为长方形 对 { }2 2nn + S { }2 2nn + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 6 2 1 26 2 122 2 4 4 6 8 12 2 1682 1 2S = −× += + + + + + + + + + =− 1 1 1 1ABCD A B C D− 3AB = 1AD = 1 2AA = ABCD角线 交点,E 为棱 的中点,则异面直线 与 所成的角为() A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】 通过三角形中位线平移直线,作出线线角,解直角三角形求得线线角的正切值,由此求得线 线角的大小. 【详解】连接 ,如下图所示,因为 OE 为 的中位线,所以 ,所 以 为 异 面 直 线 与 OE 所 成 的 角 在 中 , , CD=3 , 所 以 , . 故选 C 【点睛】本题考查几何体中点、线、面的位置关系以及夹角问题,考查空间想象能力和运算 求解能力,属于基础题. 8.十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、 卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物 各一件,甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢 马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率 的 . 1CC 1AD OE 1 1, ,AD OE AC 1ACC△ OE AC 1DAC∠ 1AD 1Rt DAC△ 1 3AD = 1 1 1 1 1 tan 3C DD AC AD ∠ = = 1 1 60D AC∠ = °是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 基 本 事 件 总 数 , 这 三 位 同 学 抽 取 的 礼 物 都 喜 欢 包 含 的 基 本 事 件 个 数 ,由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率. 【详解】解:现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物, 甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢, 基本事件总数 , 这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数 , 这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是 . 故选 . 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力, 属于基础题. 9.若函数 的图象上存在与直线 垂直的切线,则实数 a 的取值范 围是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设出切点坐标,根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率,令 的导数等于这个斜率 建立方程,分离常数 后利用函数的值域求得 的取值范围. 3 88 3 44 1 20 9 44 3 12 1320n A= = 1 2 9 1 3 9 45m = × × + × × = 3 12 1320n A= = 1 2 9 1 3 9 45m = × × + × × = ∴ 45 3 1320 88 mp n = = = A ( ) lnf x ax x= − 3 4 0x y+ − = [3, )+∞ (3, )+∞ [10 , )3 +∞ (10 ,3 )+∞ ( )f x a a【详解】设切点为 ,切线的斜率为 ,由 , 得 ,所以 ,而 ,所以 . 故选 B. 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查推理论证能力,属于中档题. 10.从 A 地到 B 地有三条路线:1 号路线,2 号路线,3 号路线.小王想自驾从 A 地到 B 地,因 担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说:“2 号路线不堵车,3 号路线不堵车,”司机乙 说:“1 号路线不堵车,2 号路线不堵车,”司机丙说:“1 号路线堵车,2 号路线不堵车.”如 果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是() A. 1 号路线 B. 2 号路线 C. 3 号路线 D.2 号路线或 3 号路线 【答案】B 【解析】 【分析】 分别假设甲、乙、丙说得对,分析出有矛盾的说法,由此得出正确结论. 【详解】①若甲说得对,则 2 号路线,3 号路线都不堵,由于乙是错误的,所以 1 号路线堵车, 这样丙也说得对,这与只有一人说法正确矛盾; ②若乙说得对,则 1 号路线,2 号路线都不堵,由于甲是错误的,所以 3 号路线堵车,此时丙 也是错误的,符合条件; ③若丙说得对,则 1 号路线堵车,2 号路线不堵,由于甲是错误的,所以 3 号路线堵车,此时 乙也是错误的,符合条件综上所述,由于②③中都有 2 号路线不堵,所以小王最应该选择 2 号路线. 故选 B. 【点睛】本题考查逻辑与推理,考查推理论证能力和创新意识,属于基础题. 11.已知抛物线 的焦点为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 M,N 两点,则 的最小值为() ( )0 0 0, lnx ax x− 1 31 3 k −= = − 1( ) ( 0)f x a xx ′ = − > 0 1 3a x − = 0 1 3a x = + 0 (0, )x ∈ +∞ (3, )a∈ +∞ 2 16y x= 2| | 50 5 | | NF MF −A. 2 B. 1 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求得抛物线焦点坐标,设出 的坐标和直线 的方程,将直线方程代入抛物线方程,化简 后写出韦达定理,利用抛物线的定义化简 ,然后用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意知,抛物线 的焦点坐标为 ,设 , , ,代入抛物线方程可得 ,所以 , , 所以 ,又因为 ,由抛 物线的性质可得 , ,故 , 由 可得 ,从而有 ,所以 , 当且仅当 时取等号 故选 D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力和推理论证能力,考查基本 不等式求最值的方法,属于中档题. 12.设数列 的前 n 项和为 ,且满足 , ,用 表示不超过 x 的 最大整数,设 ,数列 的前 2n 项和为 ,则使 成立的最小正整数 n 是() . 5 2 ,M N l 2| | 50 5 | | NF MF − 2 16y x= (4,0) ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y : 4l x my= + 2 16( 4)y my= + 1 2 16y y m+ = 1 2 64y y = − ( ) 2 1 2 1 2 1 24 4 8 16 8x x my my m y y m+ = + + + = + + = + 2 2 1 2 1 2 1616 16 y yx x = ⋅ = 1 4MF x= + 2 4NF x= + ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 81 1 1 1 1 | | | | 4 4 4 4 4 16 4 x x x x MF NF x x x x x x x x + + + ++ = + = = =+ + + + + + + (*) ( )* 1 1 1 4MF NF = − 50 50 25 2MF NF − = − 2 2 250 50 25 25 25 25 25 5 53 55 5 2 5 2 2 2 2 NF NF NF MF NF NF NF − = + − = + + − × − = = 5NF = { }na nS 1 2 2a a+ = 1 2 3n na S+ = + [ ]x [ ]n nb a= { }nb 2nT 2 2000nT >A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用 求得数列 的通项公式以及前 项和 ,利用二项式展开式化 简 ,求得 ,利用分组求和法求得数列 的前 2n 项和 ,由此求得使 成立的最小正整数 的值. 【详解】令 ,得 ,又 ,解得 , ,又 , ,所以 ,又 ,可求得 , .所以 , 即 ,所以 ,即 ,所以 ,因此 , 当 时, ;当 时, .使 成立的最小正整数 n 是 6. 故选 B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式及前 项和公式,考查分组求和法,考查推理论证能力和 创新意识,属于难题. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡中的横线上. 13.已知函数 ,将 的图象上所有的点向左平移 个单位长度得到 的 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n− ==  − ≥ { }na n nS [ ]n nb a= 2 2 1 2 2 1 1n n n nb b a a− −+ = + − { }nb 2nT 2 2000nT > n 1n = 2 1 2 3a a= + 1 2 2a a+ = 1 2 3a = 2 4 3a = 1 2 3n na S+ = + 1 2 3n na S −= + 1 2 ( 2)n na a n+ =  2 12a a= 2 3 n na = ( )2 2 13 n nS = − 0 1 1 1 13 3 3 ( 1) ( 1)2 (3 1) 3 3 3 n n n n nn n n n n n C C Cb − − −     ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ − + −−= = =            0 1 1 2 1 1 ( 1)C 3 C 3 C ( 1) 3 n n n n n n n n nb − − − −  −= ⋅ − ⋅ + + − +    2 ( 1) ( 1) 3 3 n n n nb  − − −= +    2 2 ,3 2 1,3 n n n n b n  − =  −  为奇数 为偶数 2 2 1 2 2 1 1n n n nb b a a− −+ = + − ( )2 2 2 2 2 13 n n nT S n n= − = − − 5n = 10 67T = 6n = 12 2724 2000T = > 2 2000nT > n 2( ) 2cosf x x= ( )f x 4 π ( )g x图象,则函数 的最小正周期是______,最大值是______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 利用用降次公式化简 解析式,左移 个单位得到 的解析式,化简 的表达式为 的形式,由此求得其最小正周期和最大值. 【详解】因为 ,左移 个单位得到 , 所以 ,所以 ,最大值为 . 故填:(1) ;(2) . 【点睛】本题考查三角函数降次公式,三角函数图像变换,辅助角公式,三角函数周期性和 最值的求法,考查运算求解能力,属于中档题. 14.设 是公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和,且 ,则 ______. 【答案】18 【解析】 【分析】 将已知 已知转化为 形式,化简后求得 ,利用等差数列前 公式化 简 ,由此求得表达式的值. 【详解】因为 ,所以 . 故填: . 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能 力,属于基础题. 15.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设 的 ( ) ( )y f x g x= + π 2+ 2 ( )f x π 4 ( )g x ( ) ( )y f x g x= + ( )cosA x Bω ϕ+ + ( ) 1 cos2f x x= + π 4 π( ) 1 cos 2 1 sin 24g x x x   = + + = −     ( ) ( ) 2 2 cos 2 4 πy f x g x x = + = + +   T π= 2+ 2 π 2 2+ nS { }na 7 12a a= − 9 5 4 S S a =+ 7 12a a= − 1,a d 1 2a d= − n 9 5 4 S S a+ 7 12a a= − ( )19 5 1 5 4 3 4 1 9 49 9 22 , 185 6 13 12 13 a dS a da d S a a a a d d d + ×= − = = = =+ + + − + 18李某智商较高,他独自一人解决项目 的概率为 ;同时,有 个水平相同的人也在 研究项目 ,他们各自独立的解决项目 的概率都是 0.5.现在李某单独研究项目 ,且 这 个人组成的团队也同时研究项目 ,且这 个人研究项目 的结果相互独立.设这 个 人团队解决项目 的概率为 ,若 ,则 的最小值是_____. 【答案】4 【解析】 【分析】 这 个 人 组 成 的 团 队 不 能 解 决 项 目 的 概 率 为 , 所 以 ,所以 ,解不等式即可. 【详解】解:依题意,这 个人组成的团队不能解决项目 的概率为 , 所以 , 所以 ,即 , 解得 , 故答案为 4 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式,指数不等式的解法,属于基础题. 16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,点 A 是双曲线右支上的 一点,若直线 与直线 平行且 的周长为 9a,则双曲线的离心率为 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】 利 用 双 曲 线 的 定 义 和 三 角 形 的 周 长 列 方 程 , 用 表 示 出 ,,结 合 求得 并化简,由此解出离心率. M 1 0.9P = n M M M n M n M n M 2P 2 1P P≥ n n M 1 1(1 ) ( )2 2 n nP = − = 2 11 1 ( )2 nP P= − = − 11 ( ) 0.92 n−  n M 1 1(1 ) ( )2 2 n nP = − = 2 11 1 ( )2 nP P= − = − 11 ( ) 0.92 n−  1 1( )10 2 n  4n 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F 2AF by xa = − 1 2AF F∆ 1 2AF F ,a c 1 2,AF AF 1 2tan bF F A a ∠ = 1 2cos F F A∠【详解】如图,设 , ,则 ,解得 ,因为直线 与直线 平行,所以 ,所以 , 所 以 , 把 , 代 入 上 式 得 , 所 以 ,得 . 故填:2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思 想与运算求解能力,属于中档题.. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.已知 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 . (1)求角 C; (2)若 ,求当 的面积最大时 a,b 的长,并求出最大面积. 【答案】(1) (2)当 时, 的面积的最大值为 【解析】 【分析】 (1)利用余弦定理化简已知条件,求得 的值,进而求得角 的大小.(2)利用余弦定 理和基本不等式求得 的最大值,进而根据三角形面积公式求得三角形 面积的最大值. 1 1AF r= 2 2AF r= 1 2 1 2 2 9 2 r r a r r a c − =  + = − 1 2 11 2 7 2 r a c r a c  = −  = − 2AF by xa = − 1 2tan bF F A a ∠ = 2 2 2 2 1 1 2 2 4cos 2 2 c r raF F A c c r + −∠ = = × × 2 2 2 2 1 24 4c r r ar+ − = 1r 2r 2 28 2 0a ac c− − = ( )( )2 4 0a c a c− + = 2e = ABC∆ 2 2( )a b c ab+ = + 4c = ABC∆ 2 3C π= 4 3 3a b= = ABC△ 4 3 3 cosC C ab ABC【 详 解 】 解 : ( 1 ) 因 为 , 所 以 , 所 以 ,所以 . (2)由 ,得 ,所以 ,当且仅 当 时取等号,所以 的面积 ,当且仅当 时取等 号,即当 时, 的面积的最大值为 . 【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查利用基本不 等式求最大值,属于中档题. 18.如图,已知四棱锥 的底面是梯形, , ,且 , . (1)若 O 为 的中点,证明: 平面 . (2)求二面角 的余弦值. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)通过 证得 ,连接 ,通过勾股定理计算证明证得 ,由 此证得 平面 .(2)以 D 为原点建立空间直角坐标系,利用平面 和平面 的的法向量,计算出二面角的余弦值. 【 详 解 】( 1 ) 证 明 : 因 为 , , 所 以 , , 又 2 2( )a b c ab+ = + 2 2 2a b c ab+ − = − 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = − 2 3C π= 4c = 2 2 2 2 22 cos 3c a b ab C a b ab ab= + − = + +  2 16 3 3 cab = a b= ABC△ 1 4 3sin2 3S ab C=  4 3 3a b= = 4 3 3a b= = ABC△ 4 3 3 P ABCD− / /AB CD AD AB⊥ 2 4AD CD AB= = = 3PA PD PC= = = AC PO ⊥ ABCD D BC P− − 2 3 PA PC= PO AC⊥ OD PO OD⊥ PO ⊥ ABCD DBC PBC AB CD∥ AD AB⊥ AD CD⊥ 4 2AC =,O 为 AC 的中点,所以 , ,连接 OD,在 中,O 为 AC 的中点所以 ,因为 ,所以 ,又 ,所以 平面 ABCD. (2)解:如图,以 D 为原点,别以 DA,DC 所在直线为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 ,则 , , , , ,设平 面 BCP 的一个法向量为 ,由 ,得 ,令 ,可得 ,又平面 BCD 的一个法向量为 ,易知二面角 为锐角,设 其为 ,则 . 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明,考查利用空间向量法计算二面角的余弦值,考查 空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题. 19.设椭圆 的左、右顶点分别为 , ,上顶点为 B,右焦点为 F, 已知直线 的倾斜角为 120°, . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆 C 上不同于 , 的一点,O 为坐标原点,线段 的垂直平分线交 于 M 点,过 M 且垂直于 的直线交 y 轴于 Q 点,若 ,求直线 的方程. 3PA PC= = PO AC⊥ 2 23 (2 2) 1PO = − = Rt ACD△ 1 2 22OD AC= = 2 2 2OD OP PD+ = PO OD⊥ OD AC O= PO ⊥ D xyz− ( )4,2,0B ( )0,4,0C ( )2,2,1P ( )4,2,0BC = − ( )2, 2,1CP = − ( , , )n x y z= 0 0 n BC n CP  ⋅ =  ⋅ =   4 2 0 2 2 0 x y x y z − + =  − + = 1x = , ,(1 )2 2n = (0,0,1)m = D BC P− − θ 2 2cos cos , 1 3 3θ m n= 〈 〉 = =×   2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1A 2A BF 2 1A F = 1A 2A 2OA 2A P 2A M FP FQ⊥ 2A P【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)利用直线 的倾斜角、 的值列方程,结合 ,求得 的值,进而求 得椭圆的方程.(2)设出直线 的方程,由此求得 点坐标,由此求得直线 的方程, 进而求得 点坐标,联立直线 的方程和椭圆方程,求得 点坐标,将 转化为两 条直线斜率乘积等于 列方程,解方程求得直线 的斜率,进而求得直线 的方程. 【 详 解 】 解 : ( 1 ) 设 焦 距 为 2c, 因 为 直 线 BF 的 倾 斜 角 为 120° , 所 以 , 即 ,又因为 ,所以 ,即 ,代入 ,并化简得 ,解得 ,所以 , ,椭圆 C 的方程为 . (2)设 ,直线 的方程为 ,令 ,得 ,即 , 则 ,直线 ,令 ,得 ,联立方程组 ,并消去 y 得 ,由 ,得 ,把 代入 ,得 ,得 .又 ,则 ,同理 , ,所以 ,解得 ,所以直线 的方程为 . 2 2 14 3 x y+ = 6 ( 2)4y x= ± − BF 2A F 2 2 2a b c= + ,a b 2A P M QM Q 2A P P FP FQ⊥ 1− 2A P 2A P 3b c = 3b c= 2 1A F = 1a c− = 1a c= + 2 2 2a b c= + 23 2 1 0c c− − = 1c = 2a = 3b = 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,P x y 2A P ( )2y k x= − 1x = y k= − ( )1,M k− 1 QMk k = − 1: ( 1)QM y k xk + = − − 0x = 10,Q kk  −   2 2 ( 2) 14 3 y k x x y = − + = ( )2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 16 122 4 3 kx k −= + 2 1 2 8 6 4 3 kx k −= + 2 1 2 8 6 4 3 kx k −= + ( )2y k x= − 1 2 12 4 3 ky k = − + 2 2 2 8 6 12,4 3 4 3 k kP k k  − − + +  (1,0)F 2 2 2 2 12 124 3 8 6 4 914 3 PF k kkk k k k − += = −− −−+ 1 QFk k k = − FP FQ⊥ 2 12 1 14 9 k kk k  − − = − −   6 4k = ± 2A P 6 ( 2)4y x= ± −【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质,考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的交 点坐标的求法,考查直线垂直时斜率的关系,考查直线的点斜式方程,考查运算求解能力, 属于中档题. 20.2019 超长“三伏”来袭,虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物,但随着气温的不 断攀升,仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在,某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式, 得到其 100 家加盟超市 3 天内进货总价的统计结果如下表所示: 组别(单位:百 元) 频数 3 11 20 27 26 13 (1)由频数分布表大致可以认为,被抽查超市 3 天内进货总价 ,μ 近似为这 100 家超市 3 天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用正态 分布,求 ; (2)在(1)的条件下,该公司为增加销售额,特别为这 100 家超市制定如下抽奖方案: ①令 m 表示“超市 3 天内进货总价超过μ 的百分点”,其中 .若 , 则该超市获得 1 次抽奖机会; ,则该超市获得 2 次抽奖机会; ,则 该超市获得 3 次抽奖机会; ,则该超市获得 4 次抽奖机会; ,则该 超市获得 5 次抽奖机会; ,则该超市获得 6 次抽奖机会.另外,规定 3 天内进货总价低 于 μ 的超市没有抽奖机会; ②每次抽奖中奖获得的奖金金额为 1000 元,每次抽奖中奖的概率为 . 设超市 A 参加了抽查,且超市 A 在 3 天内进货总价 百元.记 X(单位:元)表示超市 A 获得的奖金总额,求 X 的分布列与数学期望. 附参考数据与公式: ,若 ,则 , , . 【答案】(1) (2)详见解析 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120) [120,140] ~ ( ,202)W N µ (76 132.8)P W<  100Wm µ µ −= × [0,10)m∈ [10,20)m∈ [20,30)m∈ [30,40)m∈ [40,50)m∈ 50m 1 3 122.5W = 202 14.2≈ 2~ ( , )W N µ σ ( ) 0.6827P Wµ σ µ σ− < + = ( 2 2 ) 0.9545P Wµ σ µ σ− < + = ( 3 3 ) 0.9973P Wµ σ µ σ− < + = 0.84【解析】 【分析】 (1)利用频数分布表,计算出平均数 ,根据题目所给参考数据求得 ,根据正态分布的对 称性以及题目所给参考数据,求得指定区间的概率.(2)先计算出 的值,由此确定抽奖次 数,根据二项分布概率计算公式,计算出概率,结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和 数学期望. 【详解】解:(1)由题意得 ,因为 , 所以 , , 所以, , , 所以, , (2)因为 ,所以 , 所以,超市 A 获得 4 次抽奖机会, 从而,X 的可能取值为 0,1000,2000,3000,4000, 又因为每次抽奖不中的概率为 ,所以 , , , , . 所以,X 的分布列为 µ σ m 30 3 50 11 70 20 90 27 110 26 130 13 90.2100μ × + × + × + × + × + ×= = 202 14σ = ≈ (90.2 14.2 90.2 14.2) (76 104.4) 0.6827P W P W− < + = < =  (90.2 3 14.2 90.2 3 14.2) (47.6 132.8) 0.9973P W P W− × < + × = < =  1(76 90.2) (76 104.4) 0.341352P W P W< = < =  1(90.2 132.8) (47.6 132.8) 0.498652P W P W< = < =  (76 132.8) (76 90.2) (90.2 132.8) 0.84P W P W P W< = < + < =   122.5W = [ )122.5 90.2 100 36 30,4090.2m −= × ≈ ∈ 2 3 42 16( 0) 3 81P X  = = =   3 1 4 1 2 32( 1000) C 3 3 81P X  = = × × =   2 2 2 4 1 2 24( 2000) C 3 3 81P X    = = × × =       3 3 4 1 2 8( 3000) C 3 3 81P X  = = × × =   41 1( 4000) 3 81P X  = = =  X 0 1000 2000 3000 4000 P 所以,X 的数学期望为 元. 【点睛】本小题主要考查利用样本均值估计正态分布均值,考查正态分布对称性的应用,考 查二项分布概率计算公式,考查实际问题的期望计算. 21.已知函数 . (1)证明:当 时, 有且仅有一个零点. (2)当 ,函数 的最小值为 ,求函数 的值域. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)利用导数求得函数 的单调区间和最小值,结合零点存在性定理,证得结论成立. (2)先求得 得到解析式和导函数.根据(1)的结论,求得导函数的零点 ,根据 将 转化为 的形式,进而求得 最小值的表达式,利用构造函数法和导数作 为工具,求得 最小值的取值范围,进而求得 的取值范围. 【详解】(1)证明:因为 ,所以 . 令 ,解得 ;令 ,解得 ,则 在区间 上单调递 减,在 上单调递增,故 ,因为 ,所以 ,所以当 时, ,故 在 上没有零 点,因为 ,所以当 时, ,因为 在 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 16 32 24 8 1 40000 1000 2000 3000 400081 81 81 81 81 3EX = × + × + × + × + × = ( ) exf x x a= + 0a < ( )f x 2[ 2e ,0)a∈ − ( ) ( 1) exg x x ax= − ⋅ + ( )h a ( )h a )23e , 1− − ( )f x ( )g x 1x ( )' 1 0g x = a 1x ( )g x ( )g x ( )h a ( ) exf x x a= + ( ) ( 1) exf x x′ = + ⋅ ( ) 0f x′ < 1x < − ( ) 0f x′ > 1x > − ( )f x ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞ 1 min( ) ( 1) ef x f a−= − = − + 0a < 1 min( ) e 0f x a−= − + < 0x ( ) e 0xf x x a= + < ( )f x ( ],0−∞ 0a < 0x > ( )( ) e e 1 0a af a a a a− −− = − ⋅ + = − − > ( )f x上单调递增,所以 有且仅有一个零点综上,当 时, 有且仅有一个 零点. (2)解:因为 ,所以 . 由(1)知当 时, 有且仅有一个零点,因为 , ,所以存在唯一 ,使得 ,且当 时, ;当 时, . 故 在区间 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,又 ,即 , 代入上式得, , ,设函数 , ,则 在 上单调递减,故 ,因为函数 在 上单调递减, 故对任意 ,存在唯一的 , ,使得 , 所以 的值域是 ,综上,当 时,函数 的最小值 的值域 为 【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点个数问题,考查利用导数研究函数的单 调区间和最值,考查化归与转化的数学思想方法,综合性较强,属于难题. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题 计分. 22.在直角坐标系 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 . (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; ( 1, )− +∞ ( )f x 0a < ( )f x ( ) ( 1) xg x x e ax= − ⋅ + ( ) exg x x a′ = ⋅ + )22e ,0a ∈ − ( )g x′ (0) 0g a′ = < 2(2) 2e 0g a′ = +  1 (0,2]x ∈ ( )1 0g x′ = ( )10,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x 1(0, )x 1( , )x +∞ ( ) ( ) 1 min 1 1 1( ) ( ) 1 exh a g x g x x ax= = = − + ( )1 0g x′ = 1 1 1 1e 0 exxx a a x⋅ + = ⇒ = − ⋅ ( ) ( ) ( )1 1 12 2 1 1 1 1 11 e e 1 ex x xg x x x x x= − − = − + − ( ]1 0,2x ∈ ( )2( ) 1 exF x x x= − + − ⋅ ( )2( ) e 0xF x x x′ = − − ⋅ < ( )F x ( ]0,2 ( ) ( ) )12 2 1 1 1 1 e 3e , 1xg x x x = − + − ∈ − − ( )2 1 exy x x= − + − ⋅ ( ]0,2 )23e , 1λ ∈ − − 1 (0,2]x ∈ )2 1 1e 2e ,0xa x = − ⋅ ∈ − ( )h a λ= ( )h a )23 , 1e− − )22e ,0a ∈ − ( )g x ( )h a )23e , 1− − xOy 3 2 x t y t = − −  = + , 4 2 cos( )4 πρ θ= +(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点, 为直线 l 上一点,求 . 【 答 案 】( 1 ) 直 线 l 的 普 通 方 程 为 , 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 (2) 【解析】 【分析】 (1)利用加减消元法消去参数 ,求得直线 的普通方程,利用两角和的余弦公式以及极坐标 和直角坐标相互转化的公式,求得曲线 的直角坐标方程.(2)写出直线 标准参数方程,代 入曲线 的直角坐标方程,写出韦达定理,根据直线参数方程中参数的几何意义求得所求表 达式的值. 【 详 解 】 解 : ( 1 ) 直 线 l 的 普 通 方 程 为 , 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 . (2)将直线 l 的参数方程化为 (t 为参数),代入曲线 C 的方程 ,得 ,所以 , ,所以 . 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程,考查极坐标方程转化为直角坐标方程的 方法,考查直线参数方程中参数 的几何意义的运用,属于中档题. 23.已知函数 . (1)求不等式 的解集; (2)若不等式 对 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) ,或 (2) 【解析】 (2, 3)P − 1 1 | | | |PA PB + 1 0x y+ + = 2 2( 2) ( 2) 8f x y− + + = 30 7 t l C l C 1 0x y+ + = 2 2( 2) ( 2) 8x y− + + = 22 2 23 2 x t y t  = −  = − + 2 2( 2) ( 2) 8x y− + + = 2 2 7 0t t− − = 1 2 2t t+ = 1 2 7t t = − ( )2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 | 4|1 1 30 | || 7| t t t tt t PA PB t t t t + −−+ = = = t ( ) | 2 3| | 2 |f x x x= + − − ( ) 2f x > ( ) | 3 6 |f x a x> − − x∈R { | 7x x < − 1 3x >  ( 7),−∞【分析】 (1)利用零点分段法去绝对值符号,由此解出不等式 的解集.(2)将不等式 等 价 变 形 为 , 利 用 绝 对 值 不 等 式 求 得 的最小值,进而求得 的取值范围. 【详解】解:(1)当 时,不等式可化为 ,解得 ,故 ;当 时,不等式可化为 ,解得 ,故 ,当 时,不等式可化为 ,解得 ,故 ,综上可得,原不等式的解集为 ,或 . (2) ,即 , 因为 ,所以 ,即实数 a 的取值范围是 【点睛】本小题主要考查零点分段法求解含有绝对值的不等式,考查绝对值三角不等式,考 查不等式恒成立问题的求解策略,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题. ( ) 2f x > ( ) 3 6f x a x> − − 2 3 2 4x x a+ + − > 2 3 2 4x x+ + − a 3 2x < − 2 3 2 2x x− − + − > 7< −x 7< −x 3 22 x−   2 3 2 2x x+ + − > 1 3x > 1 23 x<  2x > 2 3 2 2x x+ − + > 3x > − 2x > { | 7x x < − 1 3x >  ( ) 3 6f x a x> − − 2 3 2 4x x a+ + − > 2 3 2 4 2 3 2 4 7x x x x+ + − + − + = 7a < ( 7),−∞

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