知识讲解 物理学中微元法的应用

1 物理学中微元法的应用 【高考展望】 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围， 为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元 思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提 升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、 难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必 不可少的内容。 【知识升华】 “微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到 整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解 决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”， 而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、 一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分 析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题 得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是 直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的 思想。 【方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事 物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式； （3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、 求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用 例 1、设某个物体的初速度为 ，做加速度为 的匀加速直线运动，经过时间 t，则物 体的位移与时间的关系式为 ，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元， 极短，写出 图像下微元的面积的表 达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的 图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由 于每一个小元段时间 极短，速度可以看成是不变的，设第 段的速度为 ，则在 时间 内第 段的位移为 ，物体在 t 时间内的位移为 ，在 图像上则为 若干个微小矩形面积之和。 0v a 2 0 1 2x v t at= + t∆ v t− v t− t∆ i iv t∆ i i ix v t= ∆ i ix x v t= Σ = Σ ∆ v t−2 当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形 OAPQ，如图丙所示。图线 与轴所夹的面积，表示在时间 t 内物体做匀变速直线运动的位移。 面积 ，又 ，所以 【总结升华】这是我们最早接触的微元法的应用。总结应用微元法的一般步骤：（1）选取 微元，时间 极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段 的意义是位移，写出位移表达式 ，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求 和， 。 举一反三 【变式 1】加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为 θ，则火车加速 行驶的加速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图所示，取水面上质量为 的水元为研究对象，其受力如图所示， 应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为 的水元受到的合力为 ，根据牛顿第二定律可知 ， 则 ，方向与启动方向相同。 【变式 2】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 拉水平面上的物体 A，当绳子与 水平方向成 θ 角时，求物体 A 的速度。 【答案】 【解析】设物体 A 在 θ 角位置 时间向左行驶 距离，滑轮右侧绳长缩短 ，如图， 1 2S S S= + 0Pv v at= + 2 0 1 2x v t at= + t∆ i ix v t= ∆ i ix x v t= Σ = Σ ∆ cosg θ tang θ cos g θ tan g θ m∆ m∆ = tanF mg θ∆合 =F ma∆合 tana g θ= 0v 0 cosA vv θ= t∆ x∆ L∆3 当绳水平方向的角度变化很小时，有 ，两边同除以 得 ，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率 即收绳速率 所以物体 A 的速率为 . 类型二、微元法在功和能中的应用 例 2、(2015 北京卷) 真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示。光照 前两板都不带电。以光照射 A 板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。假设所有逸出 的电子都垂直于 A 板向 B 板运动，忽略电子之间的相互作用。保持光照条件不变。a 和 b 为 接线柱。 已知单位时间内从 A 板逸出的电子数为 N，电子逸出时的最大动能为 Ekm。元电荷为 e。 (1)求 A 板和 B 板之间的最大电势差 Um，以及将 a、b 短接时回路中的电流 I 短。 (2)图示装置可看作直流电源，求其电动势 E 和内阻 r。 (3)在 a 和 b 之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为 U。外电阻上消耗的电功率 设为 P；单位时间内到达 B 板的电子，在从 A 板运动到 B 板的过程中损失的动能之和设为 ΔEk。请推导证明:P=ΔEk。 　　(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明) 【答案】(1) 　Ne　(2) 　 　(3)外电阻两端的电压为 U，则电源两端的 电压也是 U。 【解析】(1)由动能定理，Ekm=eUm，可得 短路时所有逸出电子都到达 B 板，故短路电流 I 短=Ne (2)电源的电动势等于短路时的路端电压，即上面求出的 Um，所以 电源内阻 (3)外电阻两端的电压为 U，则电源两端的电压也是 U。 由动能定理，一个电子经电源内部电场后损失的动能 cosL x θ∆ = ∆ t∆ cosL x t t θ∆ ∆=∆ ∆ 0 cosAv v θ= 0 cosA vv θ= kmE e kmE e km 2 E Ne km m EU e = km m EE U e = = km 2= EEr I Ne = 短4 ΔEke=eU 设单位时间内有 N'个电子到达 B 板，则损失的动能之和 ΔEk=N'ΔEke=N'eU 根据电流的定义，此时电源内部的电流 I=N'e 此时流过外电阻的电流也是 I=N'e，外电阻上消耗的电功率 P=IU=N'eU 所以 P=ΔEk 举一反三 【变式】（2014 上海徐汇模拟）如图所示，一台农用水泵装在离地面的一定高度处，其出 水管是水平的．现仅有一盒钢卷尺，请你粗略测出水流出管口的速度大小和从管口到地面之 间在空中水柱的质量(已知水的密度为 ρ，重力加速度为 g)． (1)除了已测出的水管内径 l 外，还需要测量的物理量是____________(写出物理量名称 和对应的字母)； (2)水流出管口的速度 v0 的表达式为________________(请用已知量和待测量的符号表 示)； (3)空中水柱的质量 m 的表达式为____________(请用已知量和待测量的符号表示)． 【答案】(1)水的水平射程 x，管口离地的高度 h (2) (3) 【解析】 根据平抛运动的规律知，水平方向上有 x=v0t，竖直方向上有 ，联 立以上二式可得初速度 ；空中水的质量 . 例 3、从地面上以初速度 竖直向上抛出一质量为 m 的球，若运动过程中受到的空气阻力 与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1 时刻到达最高点，再落回 地面，落地时速率为 ，且落地前球已经做匀速运动．求： （1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功； （2）球抛出瞬间的加速度大小； （3）球上升的最大高度 H． 0 = 2 gv x h 2 4 xlm πρ = 21 2h gt= 0 = 2 gv x h 2 0 4 xlm Sv t πρρ == 0v 1v5 【思路点拨】（1）（2）求解不难。（3）用微元法求解，首先根据牛顿第二定律写出加速度的 表达式，再用 ，取微元然后写出 与 关系式，最后求和。 【答案】见解析。 【解析】（1）球从抛出到落地重力做功为零，根据动能定理 克服空气阻力做功 （2）阻力与其速率成正比 抛出瞬间阻力 匀速运动时 抛出瞬间阻力的大小为 根据牛顿第二定律 解得抛出瞬间的加速度大小为 （3）上升时加速度为 ，根据牛顿第二定律 取极短时间 ，速度的变化量 ，有 式中 上升全过程对等式两边求和 左边求和 （末减初） （ ） 代入解得 ，又前面已求出 所以球上升的最大高度 . va t ∆= ∆ v∆ t∆ 2 2 1 0 1 1 2 2fW mv mv− = − 2 2 0 1 1 1 2 2fW mv mv= − 0f kv= 1 1f kv= 0 1 vf mg v = 0mg f ma+ = 0 0 1 1 va gv  = +    a ( )mg kv ma− + = ka g vm = − − t∆ v∆ kv a t g t v tm ∆ = ∆ = − ∆ − ∆ v t h∆ = ∆ kv g t hm Σ∆ = − Σ∆ − Σ∆ 00v vΣ∆ = − 1g t gt− Σ∆ = − k kh Hm m − Σ∆ = − h HΣ∆ = 0 10 kv gt Hm − = − − 1 mgk v = ( )0 1 1v gt vH g −=6 【总结升华】取微元，根据相应的物理规律写出所求问题用微元表示的函数表达式，最后求 和，注意各物理量的物理意义，解析中已经写得很清楚了。 类型三、微元法在动量中的应用 例 3、一根质量为 M，长度为 L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接 触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度 时，链条对地 面的压力为多大？ 【思路点拨】在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在 地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反 作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同， 落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对 象，就可以将变速冲击变为恒速冲击. 【答案】 【解析】设开始下落的时刻 t=0，在 t 时刻落在地面上的链条长为 ，未到达地面部分链条 的速度为 ，并设链条的线密度为 .由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从 t 时刻起取很小一段时间 ，在 内又有 落到地面上静止. 地面对 作用的冲量为 因为 所以 解得冲力： ，其中 就是 t 时刻链条的速度 ， 故 ，链条在 t 时刻的速度 即为链条下落长为 时的瞬时速度， 即 ，代入 F 的表达式中，得 即 t 时刻链条对地面的作用力，也就是 t 时刻链条对地面的冲力. 所以在 t 时刻链条对地面的总压力为 【总结升华】通过取微元分析，把变速冲击问题转化为恒定速度的冲击问题，这就体现了 “化变为恒”的思想。 举一反三 x .332 L MgxgxgxgxN ==+= ρρρ x v ρ t∆ t∆ M xρ∆ = ∆ M∆ xvptMgF ∆=∆=∆∆− ρ)( 0≈∆⋅∆ tMg xvvMtF ∆=−⋅∆=∆ ρ0 t xvF ∆ ∆= ρ t x ∆ ∆ v 2vF ρ= v x 2 2v gx= gxF ρ2= .332 L MgxgxgxgxN ==+= ρρρ7 【变式 1】一艘帆船在静水中由风力推动做匀速直线运动。帆面的面积为 S，风速为 ，船 速为 （ ），空气的密度为 ，则帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？ 【答案】 【解析】取图所示的部分空气为研究对象，应用“长方体模型”， 这部分空气的质量为 , 这部分空气经过时间 后速度都由 变为 ， 取船前进方向为正方向，由动量定理得： 所以 【变式 2】处于运转状态的重量为 G 直升飞机停在空中不动，则直升机输出功率 P 为多大？ 设此时螺旋桨推动空气向下运动的速度为 。 【答案】 【解析】设时间 内有质量为 的空气撞击机翼，空气的密度为 ，对于截面积为 S 的 空气柱的质量 根据动量定理： 即 所以 飞机停止在空中受力平衡， 可求得 螺旋桨的推动空气做功： 所以直升机输出功率： 1v 2v 2 1v v< ρ 2 1 2( )S v vρ − m V Sv tρ ρ∆ = ∆ = ∆ t∆ 1v 2v 2 1( )F t m v v− ∆ = ∆ − 21 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( )S v v tmF v v v v S v vt t ρ ρ− ∆∆= − = ⋅ − = −∆ ∆ v GvP 2 1= t∆ m∆ ρ ( )m v t Sρ∆ = ∆ F t mv∆ = ∆ 2F t v S tρ∆ = ∆ 2F v Sρ= 2F G v Sρ= = 2 Gv Sρ= 2 31 1 1 2 2 2W mv v S t Gv tρ= ∆ = ∆ = ∆8 类型四、微元法在电场中的应用 例 4、如图所示，一个半径为 R 的带电圆环，带电荷量为+Q，带电圆环的中心为 O， 在通过 O 点与圆面垂直的直线上有一点 A，距离 O 点为 L，A 点有一带电荷量为+q 的点电 荷，求该点电荷受到的电场力． 【思路点拨】带电圆环不是点电荷，用“对称”“等效”或“割补”的方法将非点电荷问题转化为 点电荷问题，实际上就是利用“微元法”，把带电圆环平均分为 N 小段，每段都可以看着点 电荷，这个微小的点电荷的电荷量为 ，再利用库仑定律求相互作用力。 【答案】 沿 OA 方向 【解析】把带电圆环平均分为 N 小段，每段都可以看着点电荷，这个微小的点电荷的电荷 量为 ，则 与 间的库仑力的大小为 F，如图所示．设 F、 夹角为 ，A 点到 圆环边缘距离为 r，则由库仑定律得 ， ，由几何知识 ， ，根据对称性（每个微元电荷与 之间的库仑力的竖直分量的矢量和为 零）有：该点电荷受到的电场力的大小就等于每个微元电荷与 之间的库仑力的水平分量之 和， ．方向沿 OA 方向。 【总结升华】带电圆环是线电荷，应用微元法就是把它均匀分成 N 段，每段的电荷量为总 电量除以 N， ，再利用库仑定律求相互作用力，各个微元电荷与 q 的作用力的方 向都不同，把 分解成水平方向和竖直方向，就清楚地知道竖直分量的矢量和为零，水平 分量大小相等方向相同，将水平分力求和，即 。 拓展：如果在 A 点不放点电荷，求 A 点的电场强度的大小和方向。 1 2 WP Gvt = =∆ /q Q N′ = 3 2 2 2( ) QqLk L R+ /q Q N′ = q′ q F′ θ 2 qqF k r ′= cosF F θ′ = 2 2 2r R L= + 2 2 cos L L R θ = + q q 3 2 2 2( ) QqLF NF k L R ′= = + 合 /q Q N′ = F′ F NF′=合9 【答案】 ．方向沿 OA 方向。 举一反三 【变式】（2016 河南一模）如图所示为一半径为 R 的均匀带电细环，琴上单位长度带电 量为 η，取环面中心 O 为原点，以垂直于环面的轴线为 x 轴。设轴上任意点 P 到 O 点的距 离为 x，以无限远处为零电势，P 点电势的大小为 φ。下面给出 φ 的四个表达式（式中 k 为 静电力常量）正确的是（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】除点电荷的周围电势的公式外，我们没有学习其它带电体周围的电势公式， 本题看似无从下手，实际上我们可以采取“微元法”、“特值法”，将一些特值如 x=0 等代入 公式，从而得出正确结果。 【答案】A 【解析】电的势高低与圆环电量的大小 η·2πR 有关，B 选项表达式显然与圆环的电量无 关，B 错；无论圆环带什么电荷，圆环中心处的电势均不为零，因此 x=0 时，电势不为零， D 错；同理 x=R 处的电势为无穷大也不可能，C 错；故只有 A 正确。 故选 A。 【总结升华】“微元法”、“特值法”、“代入法”是解答选择题经常用到的方法，要熟练 掌握。 类型五、微元法在电磁感应中的应用 例 5、如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为 m 的金属杆，导轨间距为 L，导轨的一端连接一阻值为 R 的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于 导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度 ，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆 在导轨上向右移动的最大距离是多少？ 3 2 2 2( ) QLE k L R = + 2 2 2 R k R x π ηϕ = + 2 2 2 Rk R x πϕ = + 2 2 2 R k R x π ηϕ = − 2 2 2 R k x R x π ηϕ = + 0v10 【思路点拨】这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我们已学过的知识好像无法解决， 其实只要采用的方法得当仍然可以求解。应用微元法求解：取一极短时间 ，发生了一段 极小的位移 ，切割磁感线面积的变化量为 ，磁通量的变化为 ，写出 电流的表达式，进而写出安培力的表达式，应用动量定理，对所有的位移求和，就可以求出 金属杆移动的最大距离。 【答案】 【解析】设杆在减速中的某一时刻速度为 ，取一极短时间 ，发生了一段极小的位移 ， 在 时间内，磁通量的变化为 金属杆受到安培力为 由于时间极短，可以认为 为恒力，选向右为正方向，在 时间内， 安培力 的冲量为： 对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为 ① 其中 为杆运动的最大距离（ ）， 对金属杆用动量定理可得 ② 由①、②两式得： 【总结升华】对于这种轻杆在磁场中的导轨上滑动问题，应用微元法是很好的解题方法。要 注意的是，轻杆的运动是变减速运动，速度、电流、安培力等都是变化的，“化变为恒”就 是要取一个微元，应用相应的物理规律，这里重要的是必须用动量定理，写出安培力的冲量 的表达式，就是我们说的微元的表达式，最后求和。 举一反三 【变式 1】如图所示，水平放置的导体电阻为 R，其他电阻不计。R 与两根光滑的平行金属 导轨相连，导轨间距为 L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为 B 的匀强磁场。导轨上 有一导体棒 ab 质量为 m 以初速度 向右运动。求这个过程的总位移？ t∆ x∆ L x⋅∆ BL x∆Φ = ∆ 22 0 LB Rmvx = v t∆ x∆ t∆ ∆Φ BL x∆Φ = ∆ tR xBL tRR EI ∆ ∆=∆ ∆Φ== tR xLBILBF ∆ ∆== 22 安 F安 t∆ F安 R xLBtFI ∆−=∆⋅−=∆ 22 安 xR LB R xLBI 2222 )( −=∆−= ∑ x x xΣ∆ = 00I mv= − 22 0 LB Rmvx = 0v11 【答案】 【解析】与上面例题是同一个问题，例题中描写的是“位移微元”，现在仍然用微元法，描 写“速度微元”，同样要用用动量定理，还要应用牛顿第二定律。 根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用， 感应电流 ，安培力 导体棒做非匀减速运动， 在某一时刻取一个微元 变式 两边求和 因 则 根据动量定理 这个过程的总位移 . 【变式2】如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L和2L，宽间距 的导轨间相距均为2L、窄间距的导轨间相距均为L，最左端用导线连接阻值为R的电阻，各 段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．质量 为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒 电阻均忽略不计．现使导体棒从ab位置以初速度 垂直于导轨向右运动，则 （1）若导体棒在大小为 F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达 cd 位置时的速度为 ，求在此运动的过程中电路产生的焦耳热． （2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，求导体棒运动到 cd 位置的过程中，水 22 0 LB Rmvx = E BLvI R R = = 2 2B L vF BIL R = − = − maR vLBBIL =−=− 22 t vmR vLB i ∆ ∆=− 22 vmtvR LB i ∆=∆− 22 ∑∑ ∆=∆− vmtvR LB i 22 ii xtv ∆=∆ xxtv ii =Σ∆=∆Σ )0( 0 22 vmxR LB −=− 22 0 LB Rmvx = 0v v12 平拉力做的功和电路中电流的有效值． （3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到 cd 位置时的速度大小． 【答案】见解析。 【解析】（1）恒定拉力 F 做功 根据能量守恒定律 电路产生的焦耳热为 （2）导体棒在宽间距的导轨上匀速运动时，拉力等于安培力 拉力做功 导体棒在窄间距的导轨上匀速运动时，拉力等于安培力 拉力做功 所以水平拉力做的总功为 导体棒运动的总时间为 ，在宽间距的导轨上匀速运动的时间为 ， 产生的感应电流大小 在窄间距的导轨上匀速运动的时间为 ， 产生的感应电流大小 根据等效原理 解得电路中电流的有效值为 （3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为 和 ， 9W FL= 2 2 0 1 19 2 2FL Q mv mv= + − 2 2 0 1 19 2 2Q FL mv mv= + − 2 2 0 0 1 1 2 42 2 BLv B L vF BI L BL R R = = = 2 3 0 1 1 123 B L vW F L R = ⋅ = 2 2 0 0 2 2 BLv B L vF BI L BL R R = = = 2 3 0 2 2 66 B L vW F L R = ⋅ = 2 3 0 1 2 18B L vW W W R = + = t 1 3t 0 1 2BLvI R = 2 3 t 0 2 BLvI R = 2 2 20 02 2( ) ( )3 3 BLv BLvt tI Rt R R = ⋅ + ⋅ 02BLvI R = 1v∆ 2v∆13 在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在 时间内有 ，则 则 ，同理 所以导体棒运动到 cd 位置时的速度大小 . 例 6、如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为 ，导 轨电阻忽略不计，导轨所在平面的倾角为 ，匀强磁场的宽度为 d，磁感应强度大小为 B、 方向与导轨平面垂直向下。长度为 2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组 成“ ”型装置，总质量为 m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为 I 的电流，方向如图 所示（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为 d（ ），电阻为 R，下边与磁 场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒 在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为 g．求： （1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热 Q 是多少； （2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间 ； （3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离 。 【思路点拨】（1）（3）不难求解，主要是（2）应用微元法求解，关键取好微元 、 ， 速度对时间的变化率就是加速度，利用牛顿第二定律，列出 与 的函数表达式，最后求 和，求和时也要理解其物理意义。 【答案】见解析。 【解析】（1）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安 培力做功为 W 由动能定理 且 ttt ∆+→ Fv tm ∆ = ∆ 1 1 2BLv I tm ∆ = Σ ∆ q I t∆ = ∆ 2 1 1 1 2 2E B L L BLq tR R R R ∆Φ ⋅= ⋅∆ = = = 2 3 1 4B Lv Rm ∆ = 2 3 2 2B Lv Rm ∆ = 2 3 0 1 2 0 183( ) B Lv v v v v mR ′ = − ∆ + ∆ = − l α d l< 1t mx v∆ t∆ v∆ t∆ sin 4 0mg d BIld Wα ⋅ − + = Q W= −14 解得 （2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为 ，则接着向下运动 由动能定理 则 ① 装置在磁场中运动时受到的合力 感应电动势 感应电流 安培力 在 到 时间内，加速度 由牛顿第二定律，有 则 对速度求和 ，右边两项分别对时间求和 第二项 中 （ 时间内滑动的距离） 所以 ② 联立①②解得 （3）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离 之间往复运动 由动能定理 解得 . 【总结升华】（2）中写 与 的函数表达式时显然根据加速度定义 ，又根据牛顿 第二定律 。各项求和时一定要理解它的物理意义，解析中已经给出了说明。 4 sinQ mgd BIldα= − 1v 2d 2 12 102sin mvBIlddmg −=−⋅α 1 2( 2 sin )BIld mgdv m α−= sin 'F mg Fα= − E Bdv= EI R ′ = F BI d′ ′= t t t+ ∆ F va m t ∆= = ∆ tm Fv ∆=∆ tmR vdBgv ∆    −=∆∑ ∑ 22 sinα 1v vΣ∆ = 1sin sing t gtα αΣ ∆ = 2 2B d v tmR Σ ∆ v t dΣ ∆ = 1t 2 3 1 1 2sin B dv gt mR α= − 2 3 1 22 ( 2 sin ) sin B dm BIld mgd Rt mg α α − + = mx sin ( ) 0m mmg x BIl x dα ⋅ − − = sinm BIldx BIl mg α= − v∆ t∆ va t ∆= ∆ =F ma合15 【变式】对于同一物理问题，常常可以从宏观和微观两个不同角度进行研究，找出其内在联 系，从而更加深刻地理解其物理本质。 （1）一段横截面积为 S、长为 的直导线，单位体积内有 n 个自由电子，电子电量为 e。该 导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为 。 （ ）求导线中的电流 I； （b）将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度 B，导线所受安培力大小为 ，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为 F，推导 . （2）正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 m，单位体积内粒子数量 n 为恒 量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为 ，且与器壁各面碰撞的机会 均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识， 导出器壁单位面积所受粒子压力 与 m、n 和 的关系。 （注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明） 【答案】（1）（ ） （b）见解析　（2） 【解析】（1）（ ）设 时间内通过导体横截面的电量为 ，由电流定义， 有 （b）每个自由电子所受的洛伦兹力 　 设导体中共有 N 个自由电子 导体内自由电子所受洛伦兹力大小的总和 由安培力公式，有 所以 （2）一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量为 如图，以器壁上的面积 S 为底、以 为高构成柱体，由题设可知，其内的粒子在 时间 内有 与器壁 S 发生碰撞，与器壁 S 发生碰撞粒子总数为 时间内粒子给器壁的冲量为 l v a F安 F F=安 v f v a neSv 2 3 1 nmv a t∆ q∆ q neSv tI neSvt t ∆ ∆= = =∆ ∆ F evB=洛 N n Sl= ⋅ F NF nSl evB= = ⋅洛 =F BIl B neSv l= ⋅ ⋅安 F F=安 2I mv∆ = v t∆ t∆ 6 1 1 6N nSv t= ∆ t∆ 21 3I N I nSmv t= ⋅∆ = ∆16 面积为 S 的器壁受到粒子压力为 （因为 ） 器壁单位面积所受粒子压力为 . 【巩固练习】 一、选择题 1、（2015 安徽卷）一根长为 L、横截面积为 S 的金属棒，其材料的电阻率为 ρ，棒内单 位体积自由电子数为 n，电子的质量为 m，电荷量为 e。在棒两端加上恒定的电压时，棒内 产生电流，自由电子定向运动的平均速率为 v，则金属棒内的电场强度大小为( ) A． B． C． D． 2、某行星绕太阳 C 沿圆弧轨道运行，它的近日点 A 离太阳的距离为 a，行星经过近日点 A 时的速度为 ，行星的远日点 B 离太阳的距离为 b，则它经过远日点 B 时的速度 为 （ ） A. B. C. D. 3、（2016 福建模拟）理发店门口，常可以看到这样的标志：一个转动的圆筒，外表有彩 色螺旋斜条纹。我们感觉条纹在沿竖直方向运动，但实际上条纹柱在竖直方向并没有升降， 这是由于圆筒的转动而使我们的眼睛产生的错觉。如图所示，假设筒上的条纹是围绕圆筒的 一条宽带，相邻两圈条纹在沿圆筒轴线方向的距离（即螺距）为 L，如果我们观察到条纹以 速度 v 向上运动，则圆筒的转动情况是（俯视）（ ） A. 顺时针转动，转速 B. 顺时针转动，转速 C. 逆时针转动，转速 D. 逆时针转动，转速 IF t = ∆ I F t= ∆ 21 3 Ff nmvS = = 2 2 mv eL e Snmv 2 nevρ SL evρ Av Bv A avb A bva Avb a Ava b 2 vn Lπ= vn L = 2 vn Lπ= vn L =17 4、一枚质量为 M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为 ， 那么火箭发动机的功率是（ ） A. B. C. D. 5、河水对横停在其中的大船侧弦能激起 2m 高的浪，试估算将要建造的拦河大坝单位面积 上所受河水的冲击力为（ ）（g 取 10 m/s2） A. B. C. D. 6、如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q，半径为 R，放在绝缘水平桌面上．圆 心为 O 点，过 O 点作一竖直线，在此线上取一点 A，使 A 到 O 点的距离为 R，在 A 点放一 检验电荷＋q，则＋q 在 A 点所受的电场力为（ ） A. ，方向向上 B. ，方向向上 C. ，方向水平向左 D. 不能确定 7、阴极射线管中，由阴极 K 产生的热电子（初速为零）经电压 U 加速后，打在阳极 A 板 上。若 A 板附近单位体积内的电子数为 N，电子打到 A 板上即被吸收。已知电子的电量为 e 质量为 m，则电子打击 A 板过程中 A 板所受的压强为（ ） A. B. C. D. 8、如图所示为静电喷漆示意图。由喷嘴喷出的油漆，形带负电的雾状液（初速可忽略不计， 经 A 与 K 间的电场加速后奔向极 A（被漆零件）附着在上面。若与 K 间电压为 U。电路中 的电流强度为 I，在时间 t 内，由喷嘴喷出的油漆质量为 m，那么油漆对零件表面的压力为 （ ） A. B. C. D. v Mgv2 1 Mgv Mgv2 Mgv4 1 4 22.0 10 /N m× 4 22 2 10 /N m× 4 23.0 10 /N m× 4 24.0 10 /N m× 2 kQq R 2 2 4 kQq R 24 kQq R NeU 2NeU 2NeU 2 2NeU t IUm2 t IUm t IUm 2 t IUm218 9、有一台风力发电机，进风口和风轮旋转时形成的截面积均为 S，进风口风的速度为 ， 出风口的截面积为进口风截面积的 4 倍，如果风损失的动能完全转化为电能，已知空气的密 度为 ρ。则这台风力发电机输出的电功率为（ ） A. B. C. D. 10、（2016 北京西城区一模）如图所示，质量为 M 的人在远离任何星体的太空中，与他 旁边的飞船相对静止。由于没有力的作用，他与飞船总保持相对静止的状态。这个人手中拿 着一个质量为 m 的小物体，他以相对飞船为 v 的速度把小物体抛出，在抛出物体后他相对 飞船的速度大小为（ ） A. B. C. D. 二、解答题 11、(2015 新课标Ⅰ卷) 如图，一长为 10cm 的金属棒 ab 用两个完全相同的弹簧水平地 悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应强度大小为 0.1T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定， 下端与金属棒绝缘。金属棒通过开关与一电动势为 12V 的电池相连，电路总电阻为 2Ω。已 知开关断开时两弹簧的伸长量均为 0.5cm；闭合开关，系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与 开关断开时相比均改变了 0.3cm。重力加速度大小取 10 m/s2。判断开关闭合后金属棒所受安 培力的方向，并求出金属棒的质量。 12、如图所示，长为 L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为 m，船的质量为 M， 不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？ 13、电量 Q 均匀分布在半径为 R 的圆环上，如图所示，求在圆环轴线上距圆心 O 点为 处 的 P 点的电场强度。 v 33 8 Svρ 315 32 Svρ 37 16 Svρ 331 64 Svρ m vM M vm M m vm + m vM m+ x19 14、如图所示，一个半径为 R 的圆环均匀带电，ab 为一极小的缺口，缺口长为 L （ ），圆环的带电量为 Q（正电荷），在圆心处置一带电量为 q 的负点电荷，试求 负点电荷受到的库仑力． 15、如图所示，用金属丝 AB 弯成半径 m 的圆弧，但在 A、B 之间留出宽度为 d=2cm、 相对来说很小的间隙，将电荷量 Q=3.13 C 的正电荷均匀分布在金属丝上，求圆心 O 处的电场强度。 16、如图所示，来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为 800 kV 的直线加速器加 速，形成电流强度为 1.0 mA 的细柱形质子流．已知质子电荷 e = 1.60×10－19 C，这束质子流 每秒打到靶上的质子数为_______________．假设分布在质子源到靶子之间的加速电场是均 匀的，在质子束中与质子源相距 和 的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中 质子数分别为 n1 和 n2，则 n1：n2 = 。 17、把一个容器内的空气抽出一些，压强降为 p，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔 掉，如图所示。问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为 、密度为 ） 18、如图所示，两平行的足够长光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为 ，导 轨电阻忽略不计，导轨所在平面的倾角为 α，匀强磁场的宽度为 d，磁感应强度大小为 B、 L R