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期中考试理科数学答案 选择题：1-6ACCBDC 7-12CCCCDC 填空题：13． ( ,6] [12, )   14． 68 15． 35 2 16．1 解答题： 17． 21 3 1 1 3(1) ( ) sin cos cos sin 2 cos22 2 2 4 4f x m n x x x x x            1 sin 22 3x      ,令 2 3 2x k    , 可得 1 2 12x k   ,即  f x 的对称轴方程为 1 2 12x k   , k Z ；     12 sin 2 02 3f A A       , 2 3A k    ,得 , , 0,6 2 2 kA k Z A          , 当 1k  时, 3A  , 4sin 5B  , 3a  , ​ 由正弦定理可得 3 4 3 5 2 b  , 8 5b  ． 18． （Ⅰ）解：设 F 的坐标为 ,0c .依题意， 1 2 c a  ， 2 p a ， 1 2a c  ，解得 1a  ， 1 2c  ， 2p  ，于是 2 2 2 3 4b a c   . 所以，椭圆的方程为 2 2 4 13 yx   ，抛物线的方程为 2 4y x . （Ⅱ）解：设直线 AP 的方程为  1 0x my m   ，与直线l 的方程 1x   联立，可得点 21,P m      ，故 21,Q m     .将 1x my  与 2 2 4 13 yx   联立，消去 x ，整理得  2 23 4 6 0m y my   ，解得 0y  ，或 2 6 3 4 my m   .由点 B 异于点 A ，可得点 2 2 2 3 4 6,3 4 3 4 m mB m m         .由 21,Q m     ，可得直线 BQ 的方程为   2 2 2 6 2 3 4 21 1 03 4 3 4 m mx ym m m m                      ，令 0y  ，解得 2 2 2 3 3 2 mx m   ，故2 2 2 3 ,03 2 mD m      .所以 2 2 2 2 2 3 61 3 2 3 2 m mAD m m     .又因为 APD 的面积为 6 2 ，故 2 2 1 6 2 6 2 3 2 2 m m m    ，整理得 23 2 6 2 0m m   ，解得 6 3m  ，所以 6 3m   . 所以，直线 AP 的方程为 3 6 3 0x y   ，或3 6 3 0x y   . 19． (1)在 ABCD 中， 120,BCD CD BC   ,所以 30BDC CBD    , 又 ABD 是等边三角形，所以 60ADB  ,所以 90ADC ADB BDC      ,即 AD DC , 又因为平面 PCD  平面 ABCD ，平面 PCD 平面 ABCD CD ，所以 AD  平面 PCD， 故 AD PC .在 PCD 中， 2 2PD PC CD  . 所以 PD PC . 又因为 AD PD D ,所以 PC  平面 PAD . (2)取CD 的中点 H ，连接 PH ，连接 HE 并延长，交 AB 于 F ，连接 PF .则在等腰 Rt PDC 中， PH DC . 又因为平面 PCD  平面 ABCD ，平面 PCD 平面 ABDC CD , 所以 PH  平面 ABCD . 设 2DC  ,则在 Rt PDC 中， 2, 1PD PC PH   . 又在 BCD 中， , 120CD BC BCD   ， 所以 2 2 2 2 cosBD CD CB CD CB BCD     2 22 2 2 2 2 cos120 12       ，故 2 3BD  . BCD 中， ,DE EB DH HC  ，所以 / /EH BC ，且 1 12EH BC  . 故 30HED CBD    ,又 BEF HED   ,且 60DBA  , 所以 90DBA BEF    ,故 EF AB . 又因为 PH  平面 ABCD ，由三垂线定理可得 PF AB , 所以 PFH 为二面角 P AB C  的平面角. 在 Rt BEF 中， 1 32BE BD  ,所以 3 3sin 3 2 2EF BE DBA     . 故 5 2HF HE EF   .所以在 Rt PHF 中， 2 2 2 2 5 291 2 2PF PH HF         ,故 5 5 292cos 2929 2 HFPFH PF     ∴二面角 P AB C  的余弦值为 5 29 29 . 20． （Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于12 次的学生有8 人 该校学生中“社会实践标兵”有： 81600 128100   人 （Ⅱ）8 名“社会实践标兵”中有男同学 3 人，女同学 5 人 （i） A 为“抽取的 4 位同学全是女同学”   4 5 4 8 1 14 CP A C        1 131 1 14 14P A P A      （ii）由题意知： X 所有可能的取值为： 0,1,2,3   4 5 4 8 10 14 CP X C    ；   1 3 3 5 4 8 31 7 C CP X C    ；   2 2 3 5 4 8 32 7 C CP X C    ；   3 1 3 5 4 8 13 14 C CP X C    则 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14   1 3 3 1 30 1 2 314 7 7 14 2E X          21． （Ⅰ）由         1 1{ 1 1 f g f g    得 1{ a b a b      1 2{ 1 2 a b     ； 在点 11, 2P    的切线方程为 1 1 2 2y    1x  ，即 2 2 0x y   ．（Ⅱ）当 0a  时，由   1 0f x ax    恒成立，可知函数  f x 在定义域 0, 单调递增， 此时无极值． 当 0a  时 ， 由   1 0f x ax    得 1 0x a   ； 由   1 0f x ax    得 10,x a     ；   1 0f x ax    得 1 ,x a      ． 于是， 1x a  为极大值点，且  max 1f x f a      ln 1a  ． 由于函数  f x 无零点，因此  max 1f x f a      ln 1 0a   ，解得 1a e  （Ⅲ）不妨设   1lnF x x ax x    得   2 1 1F x ax x     2 2 1ax x x     ． 设   2 1h x ax x   ， 0a  ， 1 4 0a    设   0h x  的 两 根 为 1x ， 2x ； 且 1 2x x ， 由 1 2 1 0x x a     得 1 0x  ， 2 0x  且 2 1 1 4 2 ax a   ．     1 2 2 a x x x xF x x     ．   0F x   时 2x x ；   0F x  时 2 0x x  ；   0F x  时 2x x ．  F x 在 20, x 递增，  2,x  递减． ①当 20 1x  时，即   1 1{ 2 1 0 a h   解得 2a  时，   21,2 ,x   ，  F x 在 1,2 递减；    min 2F x F   1ln2 22 a  ． ②当 2 2x  时，即  2 0h  解得 30 4a  时，    21,2 0, x ，  F x 在 1,2 递增；    min 1F x F  1a   ． ③当 21 2x  时，即 3 24 a  时，  F x 在 21, x 递增，  2 ,2x 递减；    2 1F F   1ln2 2 12 a a    1ln2 2 a   ． （i）当 1ln2 22 a   时，    2 1F F ，   min 2F x F   1ln2 22 a  ． （ii）当 3 1ln24 2a   时，    2 1F F ，    min 1F x F   1a  ．综合①、②、③得      F x f x g x  在区间 1,2 的最小值；  minF x  11,(0 2 )2{ 1 12 2 , 22 2 a a ln ln a a ln             ． 22． （1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入计算， 32 3 cos 2 3 36 2Px     ， 2 3sin 6Py  ＝ 12 3 32   ， ∴点 P 的直角坐标  3, 3 ，由 2 2 3 sin 1    ，得 2 2 2 3 1x y y   ， 即  22 3 4x y   ，所以曲线 C 的直角坐标方程为  22 3 4x y   （2）曲线 C 的参数方程为 2 3 2 x cos y sin       （ 为参数），由 3 2: 2 x tl y t       （ t 为参数），得 直线 l 的普通方程为 2 7 0x y   . 设  2cos , 3 2sinQ    ，则 PQ 中点 3 cos ,sin2M      ，那么点 M 到直线l 的距离，   2 2 3 11 11cos 2sin 7 cos 2sin 5sin2 2 2 5 51 2 d                 115 11 52 1105      ， 所以点 M 到直线l 的最小距离为11 5 110  . 23． （Ⅰ） 1 2a b ， 时，   25 1 2 5 2 1 5 xf x x x x            或 2 1 3 5 x     或1 2 1 5 x x     ， 解得 3 2x   ， 故不等式 5f x （ ） 的解集为 3 2 ， ； （Ⅱ） 0 0a b＞ ， ＞ 时 f x x a x b x b x a a b         （ ） （ ）（ ） ，当且仅当 b x a   时，取等. ∵ 4 2a b ab  ，∴ 1 2 12b a   ，   1 2 2a b a b a a         1 2 5 2 92 22 2 2 2 2 a b a b b a b a        当且仅当 4 2 3 3a b ， 时取等． 故   9 2f x  ．