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蚌埠市 ２０２０届高三年级第三次教学质量检查考试
数 学（文史类）
本试卷满分 １５０分，考试时间 １２０分钟
注意事项：
１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
１已知集合 Ａ＝｛ｘ｜ｘ２ －５ｘ＜－４｝，集合 Ｂ ＝｛ｘ｜ｘ≤ ０｝，则 Ａ∩ （瓓ＲＢ）＝
Ａ（０，４） Ｂ（１，４） Ｃ（－１，４） Ｄ（－１，０）
２．已知 ｉ为虚数单位，复数 ｚ满足（１－ｉ）（ｚ＋ｉ）＝１，则 ｚ＝
Ａ１
２ －１
２ｉ Ｂ１
２ ＋１
２ｉ Ｃ１－ｉ Ｄ１＋ｉ
３．已知双曲线ｘ２
４ －ｙ２
ｍ ＝１的离心率为 ２，则实数 ｍ的值为
Ａ４ Ｂ８ Ｃ１２ Ｄ１６
４．已知直线 ｌ，ｍ和平面 α，且 ｍ α，则“ｌ⊥ ｍ”是“ｌ⊥ α”的
Ａ充分不必要条件 Ｂ必要不充分条件
Ｃ充要条件 Ｄ既不充分又不必要条件
５．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一
时期相比较的增长率．２０２０年 ２月 ２９日人民网发布了我国 ２０１９年国民经济和社会发展统
计公报图表，根据 ２０１９年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是
Ａ２０１９年我国居民每月消费价格与 ２０１８年同期相比有涨有跌
Ｂ２０１９年我国居民每月消费价格中 ２月消费价格最高
Ｃ２０１９年我国居民每月消费价格逐月递增
Ｄ２０１９年我国居民每月消费价格 ３月份较 ２月份有所下降
６．已知数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ．若数列｛Ｓｎ｝是首项为 １，公比为 ２的等比数列，则 ａ２０２０ ＝
Ａ２０１９ Ｂ２０２０ Ｃ２２０１８ Ｄ２２０１９
）页４共（页１第卷试学数级年三高市埠蚌７．已知向量ａ＝（１，０），ｂ＝（２－ｍ，２＋ｍ），若ａ·ｂ＝０，则 ２ａ－ｂ＝
Ａ（２，－４） Ｂ（－２，４） Ｃ（２，４） Ｄ（－２，０）
８．已知 ｓｉｎ（α－π
４）＝槡３
３，则 ｓｉｎ２α＝
Ａ 槡２２
３ Ｂ槡６
３ Ｃ槡２
３ Ｄ１
３
９．已知函数 ｆ（ｘ）是一次函数，且 ｆ［ｆ（ｘ）－２ｘ］＝３恒成立，则 ｆ（３）＝
Ａ１ Ｂ３ Ｃ５ Ｄ７
１０．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（ω＞０，０＜φ＜π）的部分图象
如图所示．有下列四个结论：
①φ＝ π
３；
②ｆ（ｘ）在［－７π
１２，－π
１２］上单调递增；
③ｆ（ｘ）的最小正周期 Ｔ＝π；
④ｆ（ｘ）的图象的一条对称轴为 ｘ＝ π
３．
其中正确的结论有
Ａ②③ Ｂ②④ Ｃ①④ Ｄ①②
１１．足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”．汉代蹴鞠是训练士兵的手段，
制定了较为完备的体制．如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称
的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守．比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数
决定胜负．１９７０年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不
同，拼块的数目如同掷骰子一样没准．自 １９７０年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形
状的足球，沿用至今．如图 Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的 １２块正五边形和 ２０块正
六边形拼接而成，形成一个近似的球体．现用边长为 ４．５ｃｍ的上述正五边形和正六边形所
围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由 ４个正六边形与
４个正五边形以及 ２条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段 ＡＡ′，如图
Ⅱ，则该足球的表面积约为
参考数据：ｔａｎ７２°≈ ３．０８，槡３≈ １．７３，π≈ ３．１４，６７．８６２≈ ４６０４．９８．
Ａ３６６．６４ｃｍ２ Ｂ４８８．８５ｃｍ２ Ｃ１４６６．５５ｃｍ２ Ｄ５２８２．４０ｃｍ２
１２．已知函数 ｆ（ｘ）＝
２ｘ －１
２ ，ｘ＜１，
ｌｏｇ２（ｘ＋１
２），ｘ≥{ １
若函数 ｇ（ｘ）＝－ｘ＋ｍ（ｍ ＞０）与 ｙ＝ｆ（ｘ）的图
象相交于 Ａ，Ｂ两点，且 Ａ，Ｂ两点的横坐标分别记为 ｘ１，ｘ２，则 ｘ１ ＋ｘ２的取值范围是
Ａ（１，３
２） Ｂ［ｌｏｇ２３，５
２） Ｃ［１，５
２） Ｄ［ｌｏｇ２３，３］
）页４共（页２第卷试学数级年三高市埠蚌二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分。
１３．曲线 ｆ（ｘ）＝ｅｘｓｉｎｘ在点（０，０）处的切线方程为
１４．已知等差数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ．若 ａ３ ＝３６，ａｎ－２ ＝６，Ｓｎ ＝１２６，则 ｎ＝ ．
１５．某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机
抽取国内、国外各 １００名客户代表，了解他们对该企业产品的
发展 前 景 所 持 的 态 度，得 到 如 图 所 示 的 等 高 条 形 图，则
（填“能”或“不能”）有 ９９％ 以上的把握认为是否持
乐观态度与国内外差异有关．
附：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ－ｂｃ）２
（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）
Ｐ（Ｋ２≥ ｋ） ０．０５０ ０．０１０ ０．００５ ０．００１
ｋ ３．８４１ ６．６３５ ７．８７９ １０．８２８
１６．已知点 Ｐ（槡２
２，１），Ｍ，Ｎ是椭圆 ｘ２ ＋ｙ２
２ ＝１上的两个动点，记直线 ＰＭ，ＰＮ，ＭＮ的斜率分别
为 ｋ１，ｋ２，ｋ，若 ｋ１ ＋ｋ２ ＝０，则 ｋ＝ ．
三、解答题：共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第１７～２１题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 ６０分。
１７．（１２分）
如图所示，△ＡＢＣ的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，且 ｃｏｓＣ－槡３
３ｓｉｎＣ ＝ ｂ
ａ
（１）求 Ａ；
（２）若点 Ｐ是线段 ＣＡ延长线上一点，且 ＰＡ＝３，
ＡＣ ＝２，Ｃ ＝ π
６，求 ＰＢ
１８．（１２分）
随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移
动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一．随着人们消费观念的
进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世 ——— 蚂蚁
花呗．这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网
上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求．为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费
与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中
各随机抽取 １００人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如下图所示．
（１）由大数据可知，在 １８到 ４４岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比 ｙ与年龄 ｘ成线性相
关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调
）页４共（页３第卷试学数级年三高市埠蚌查群体各年龄段“赊购”人数百分比 ｙ与年龄 ｘ的线性回归方程（回归直线方程的斜率
和截距保留两位有效数字）；
（２）该网站年龄为 ２０岁的注册用户共有 ２０００人，试估算该网站 ２０岁的注册用户中使用花
呗“赊购”的人数；
（３）已知该网店中年龄段在 １８－２６岁和 ２７－３５岁的注册用户人数相同，现从 １８到 ３５岁
之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取８人，再从这８人中简单随
机抽取 ２人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在 １８到 ２６岁
的概率．
参考公式：ｂ∧ ＝
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘｉｙｉ－ｎｘ—·ｙ—
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘ２
ｉ －ｎｘ—２
，ａ∧ ＝ｙ— －ｂ∧ｘ—．
１９．（１２分）
如图所 示 七 面 体 中，ＡＡ１ ∥ ＢＢ１ ∥ ＤＤ１，ＡＡ１ ⊥ 平 面 ＡＢＥＤ，平 面
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１∥ 平面 ＡＢＥＤ，四边形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是边长为 ２的菱形，∠Ｄ１Ａ１Ｂ１
＝６０°，ＡＡ１ ＝２Ａ１Ｂ１ ＝４ＢＥ，Ｍ，Ｎ分别为 Ａ１Ｄ，ＢＢ１的中点．
（１）求证：ＭＮ∥ 平面 Ｃ１ＤＥ；
（２）求三棱锥 Ｍ －Ｃ１ＤＥ的体积．
２０．（１２分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ＋ｘ２ －３ｘ＋ｋ
（１）当 ａ＞０时，求函数 ｆ（ｘ）的极值点；
（２）当 ａ＝１时，对任意的 ｘ∈ ［１
ｅ，ｅ］，ｆ（ｘ）≤ ０恒成立，求实数 ｋ的取值范围．
２１．（１２分）
如图，设抛物线 Ｃ１：ｘ２ ＝４ｙ与抛物线 Ｃ２：ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）在第一
象限的交点为 Ｍ（ｔ，ｔ２
４），点 Ａ，Ｂ分别在抛物线 Ｃ２，Ｃ１ 上，ＡＭ，ＢＭ
分别与 Ｃ１，Ｃ２相切．
（１）当点 Ｍ的纵坐标为 ４时，求抛物线 Ｃ２的方程；
（２）若 ｔ∈ ［１，２］，求 △ＭＢＡ面积的取值范围．
（二）选考题：共 １０分。请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
２２［选修 ４－４：坐标系与参数方程］（１０分）
在平面 直 角 坐 标 系 ｘＯｙ中，直 线 ｌ的 参 数 方 程 为 ｘ＝ｔｃｏｓα，
ｙ＝１＋ｔｓｉｎα{ ，（其 中 ｔ为 参 数，
３π
４ ≤ α＜π）．在以原点 Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线 Ｃ的
极坐标方程为 ρｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓθ－２ρｓｉｎ２θ．设直线 ｌ与曲线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点．
（１）求曲线 Ｃ和直线 ｌ的直角坐标方程；
（２）已知点 Ｐ（０，１），求 １
｜ＰＡ｜＋ １
｜ＰＢ｜的最大值．
２３［选修 ４－５：不等式选讲］（１０分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｍ｜＋｜ｘ｜，ｘ∈ Ｒ．
（１）若不等式 ｆ（ｘ）≥ ｍ２对 ｘ∈ Ｒ恒成立，求实数 ｍ的取值范围；
（２）若（１）中实数 ｍ的最大值为 ｔ，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝ｔ（ａ，ｂ，ｃ均为正实数）．
证明：１
ａ ＋１
ｂ＋１
ｃ≥ ９．
）页４共（页４第卷试学数级年三高市埠蚌蚌埠市 ２０２０届高三年级第三次教学质量检查考试
数学（文史类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ
二、填空题：
１３．ｘ－ｙ＝０ １４．６ １５．能 １６．槡２
三、解答题：
１７．（１２分）
解：（１）由条件，ｃｏｓＣ－槡３
３ｓｉｎＣ ＝ ｂ
ａ，
则由正弦定理 ｃｏｓＣ－槡３
３ｓｉｎＣ ＝ｓｉｎＢ
ｓｉｎＡ， ２分…………………………………………
所以 ｓｉｎＡｃｏｓＣ－槡３
３ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＝ｓｉｎＢ ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣｃｏｓＡ，
即 －槡３
３ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＝ｓｉｎＣｃｏｓＡ， ４分……………………………………………………
又 ｓｉｎＣ ＞０，所以 ｔａｎＡ＝－槡３，Ａ＝２π
３． ６分………………………………………
（２）由（１）可知，∠ＢＡＣ ＝２π
３，而 Ｃ ＝ π
６，则 ∠ＡＢＣ ＝ π
６，
所以 ＡＢ ＝ＡＣ ＝２， ９分………………………………………………………………
在 △ＰＡＢ中，∠ＰＡＢ ＝ π
３，由余弦定理，
ＰＢ２ ＝ＰＡ２ ＋ＡＢ２ －２ＰＡ·ＡＢｃｏｓ∠ＰＡＢ ＝９＋４－６＝７
所以 ＰＢ ＝槡７． １２分…………………………………………………………………
１８（１２分）
（１）由题意，ｘ— ＝２２＋３１＋４０
３ ＝３１，ｙ— ＝０５＋０３＋００８
３ ＝２２
７５， ２分…………………
所以 ｂ∧ ＝
２２×０５＋３１×０３＋４０×００８－３×３１×２２
７５
２２２ ＋３１２ ＋４０２ －３×３１２ ＝ －３７８
１６２ ≈－００２３，
ａ∧ ＝２２
７５＋３７８
１６２ ×３１≈ １０，所求线性回归方程为 ｙ＝－００２３ｘ＋１０． ５分…………
（２）由（１）知，该网站 ２０岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为
－００２３×２０＋１０＝０５４，而 ２０００×０５４＝１０８０，
所以估计该网站 ２０岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为 １０８０人． ６分………
（３）按分层抽样，８人中年龄为 １８到 ２６岁的有 ５人，记为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，年龄为 ２７到 ３５岁
的有 ３人，记为甲，乙，丙，从 ８人中抽取 ２人，可能有（Ａ，Ｂ），（Ａ，Ｃ），（Ａ，Ｄ），（Ａ，Ｅ），
（Ａ，甲），（Ａ，乙），（Ａ，丙），（Ｂ，Ｃ），（Ｂ，Ｄ），（Ｂ，Ｅ），（Ｂ，甲），（Ｂ，乙），（Ｂ，丙），（Ｃ，
Ｄ），（Ｃ，Ｅ），（Ｃ，甲），（Ｃ，乙），（Ｃ，丙），（Ｄ，Ｅ），（Ｄ，甲），（Ｄ，乙），（Ｄ，丙），（Ｅ，甲），
（Ｅ，乙），（Ｅ，丙），（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共 ２８种情形． １０分…………………
其中 ２人均为 １８到 ２６岁的有 １０种，
）页４共（页１第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌所以抽取的两人年龄都在 １８到 ２６岁的概率为１０
２８＝ ５
１４． １２分………………………
１９．（１２分）
解：（１）取 ＡＤ的中点 Ｆ，连接 ＭＦ，ＢＦ
因为平面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１∥ 平面 ＡＢＥＤ，
平面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１∩ 平面 ＢＥＣ１Ｂ１ ＝Ｂ１Ｃ１，
平面 ＡＢＥＤ∩ 平面 ＢＥＣ１Ｂ１ ＝ＢＥ，
所以 Ｂ１Ｃ１∥ ＢＥ，同理可得，ＡＢ∥ Ａ１Ｂ１，
ＡＤ∥ Ａ１Ｄ１，而 ＡＡ１∥ ＢＢ１∥ ＤＤ１，
所以四边形 ＡＤＤ１Ａ１和 ＡＢＢ１Ａ１为平行四边形． ２分…………
又四边形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是菱形，Ｂ１Ｃ１∥ Ａ１Ｄ１，
所以 ＡＤ∥ ＢＥ，而点 Ｆ为 ＡＤ的中点，
所以 ＢＥ ＝ １
２Ａ１Ｂ１ ＝ １
２Ａ１Ｄ１ ＝ １
２ＡＤ ＝ＤＦ，
又 ＢＥ∥ ＤＦ，所以四边形 ＢＥＤＦ为平行四边形，从而 ＢＦ∥ ＤＥ．
点 Ｍ，Ｎ分别为 Ａ１Ｄ，ＢＢ１的中点，所以 ＭＦ ＝ １
２ＡＡ１ ＝ １
２ＢＢ１ ＝ＢＮ，
ＭＦ∥ ＡＡ１∥ ＢＮ，则四边形 ＭＮＢＦ是平行四边形，得 ＭＮ∥ ＢＦ， ４分……………
所以 ＭＮ∥ ＤＥ．
而 ＭＮ 平面 Ｃ１ＤＥ，ＤＥ 平面 Ｃ１ＤＥ，所以 ＭＮ∥ 平面 Ｃ１ＤＥ． ６分……………
（２）由（１）可知，ＭＮ∥ 平面 Ｃ１ＤＥ，所以点 Ｍ到平面 Ｃ１ＤＥ的距离与点 Ｎ到平面 Ｃ１ＤＥ
的距离相等，则三棱锥 Ｍ －Ｃ１ＤＥ的体积
ＶＭ－Ｃ１ＤＥ ＝ＶＮ－Ｃ１ＤＥ ＝ＶＤ－Ｃ１ＥＮ ８分……………………………………………………
由 ∠ＤＡＢ＝∠Ｄ１Ａ１Ｂ１ ＝６０°，ＡＢ＝Ａ１Ｂ１ ＝Ａ１Ｄ１ ＝ＡＤ＝２，得 △ＡＢＤ为正三角形，
而 Ｆ为 ＡＤ中点，所以 ＢＦ⊥ ＡＤ，从而 ＤＥ⊥ ＢＥ，且 ＢＦ ＝槡３．
又 ＡＡ１⊥ 平面 ＡＢＥＤ，得 ＡＡ１⊥ ＤＥ，从而 ＢＢ１⊥ ＤＥ，ＢＢ１∩ ＢＥ ＝Ｂ点，
所以 ＤＥ⊥ 平面 ＢＢ１Ｃ１Ｅ且 ＤＥ ＝ＢＦ ＝槡３． １０分…………………………………
Ｓ△Ｃ１ＥＮ ＝Ｓ梯形ＢＢ１Ｃ１Ｅ －Ｓ△ＢＮＥ －Ｓ△Ｂ１ＮＣ１ ＝１
２×（１＋２）×４－１
２×１×２－１
２×２×２＝３，
所以 ＶＭ－Ｃ１ＤＥ ＝ＶＤ－Ｃ１ＥＮ ＝ １
３Ｓ△Ｃ１ＥＮ·ＤＥ ＝ １
３ ×３×槡３ ＝槡３，
即三棱锥 Ｍ －Ｃ１ＤＥ的体积为槡３． １２分……………………………………………
２０．（１２分）
解：（１）由条件，ｘ∈ （０，＋∞），ｆ′（ｘ）＝ ａ
ｘ＋２ｘ－３＝２ｘ２ －３ｘ＋ａ
ｘ ．
令 ｇ（ｘ）＝２ｘ２ －３ｘ＋ａ，记 △ ＝９－８ａ．
当 ａ≥ ９
８时，△ ≤ ０，ｇ（ｘ）≥ ０恒成立，从而 ｆ′（ｘ）≥ ０，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调
递增，没有极值点． ３分………………………………………………………………
当 ０＜ａ＜ ９
８时，令 ｇ（ｘ）＝０，解得 ｘ＝３± ９－８槡 ａ
４ ，
且 ０＜３－ ９－８槡 ａ
４ ＜３＋ ９－８槡 ａ
４ ．
当 ｘ∈ （０，３－ ９－８槡 ａ
４ ）时，ｆ′（ｘ）＞０；当 ｘ∈ （３－ ９－８槡 ａ
４ ，３＋ ９－８槡 ａ
４ ）时，
ｆ′（ｘ）＜０；当 ｘ∈ （３＋ ９－８槡 ａ
４ ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０．
所以 ｆ（ｘ）在（０，３－ ９－８槡 ａ
４ ）和（３＋ ９－８槡 ａ
４ ，＋∞）上单调递增，
）页４共（页２第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌在（３－ ９－８槡 ａ
４ ，３＋ ９－８槡 ａ
４ ）上单调递减，极大值点为３－ ９－８槡 ａ
４ ，极小值点
为３＋ ９－８槡 ａ
４ ．
综上所述，当０＜ａ＜９
８时，极大值点为３－ ９－８槡 ａ
４ ，极小值点为３＋ ９－８槡 ａ
４ ；当
ａ≥ ９
８时，没有极值点． ６分…………………………………………………………
（２）当 ａ＝１时，ｆ′（ｘ）＝２ｘ２ －３ｘ＋１
ｘ ＝（ｘ－１）（２ｘ－１）
ｘ ，ｘ∈ ［１
ｅ，ｅ］．
对任意的 ｘ∈ ［１
ｅ，ｅ］，ｆ（ｘ）≤ ０恒成立，则 ｆ（ｘ）ｍａｘ≤ ０． ８分……………………
由（１）可知，当 ａ＝１时，ｆ（ｘ）在［１
ｅ，１
２］上单调递增，在［１
２，１］上单调递减，在
［１，ｅ］上单调递增，最大值为 ｆ（１
２）和 ｆ（ｅ）两者中较大者．
而 ｆ（１
２）＝ｋ－５
４ －ｌｎ２，ｆ（ｅ）＝ｋ＋ｅ２ －３ｅ＋１， １０分…………………………
ｆ（１
２）－ｆ（ｅ）＝－ｅ２ ＋３ｅ－９
４ －ｌｎ２＜０，所以 ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ｆ（ｅ）≤ ０，
解得 ｋ≤－ｅ２ ＋３ｅ－１． １２分…………………………………………………………
２１．（１２分）
解：（１）由条件，ｔ２
４ ＝４且 ｔ＞０，解得 ｔ＝４，即点 Ｍ（４，４）， ２分…………………………
代入抛物线 Ｃ２的方程，得 ８ｐ＝１６，所以 ｐ＝２，
则抛物线 Ｃ２的方程为 ｙ２ ＝４ｘ． ４分…………………………………………………
（２）将点 Ｍ（ｔ，ｔ２
４）代入抛物线 Ｃ２的方程，得 ｐ＝ ｔ３
３２．
设点 Ａ（ｘ１，ｙ１），直线 ＡＭ方程为 ｙ＝ｋ１（ｘ－ｔ）＋ｔ２
４，
联立方程 ｙ＝ｋ１（ｘ－ｔ）＋ｔ２
４，
ｘ２ ＝４{ ｙ
消去 ｙ，化简得 ｘ２ －４ｋ１ｘ＋４ｋ１ｔ－ｔ２ ＝０，
则 △ ＝１６ｋ２
１ －４（４ｋ１ｔ－ｔ２）＝０，解得 ｋ１ ＝ ｔ
２，
从而直线 ＡＭ的斜率为
ｙ１ －ｔ２
４
ｘ１ －ｔ ＝
ｙ１ －ｔ２
４
ｙ２
１
２ｐ－ｔ
＝
ｙ１ －ｔ２
４
１６ｙ２
１
ｔ３ －ｔ
＝ ｔ３
４（４ｙ１ ＋ｔ２）＝ ｔ
２，
解得 ｙ１ ＝－ｔ２
８，即点 Ａ（ｔ
４，－ｔ２
８）． ６分……………………………………………
设点 Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线 ＢＭ方程为 ｙ＝ｋ２（ｘ－ｔ）＋ｔ２
４，
联立方程 ｙ＝ｋ２（ｘ－ｔ）＋ｔ２
４，
ｙ２ ＝２{ ｐｘ
消去 ｘ，化简得 ｙ２ －２ｐ
ｋ２
ｙ－２ｐ（ｔ－ ｔ２
４ｋ２
）＝０，
则 △ ＝４ｐ２
ｋ２
２
＋８ｐ（ｔ－ ｔ２
４ｋ２
）＝０，代入 ｐ＝ ｔ３
３２，解得 ｋ２ ＝ ｔ
８，
）页４共（页３第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌从而直线 ＢＭ的斜率为
ｙ２ －ｔ２
４
ｘ２ －ｔ ＝
ｘ２
２
４ －ｔ２
４
ｘ２ －ｔ ＝ｘ２ ＋ｔ
４ ＝ ｔ
８，
解得 ｘ２ ＝－ ｔ
２，即点 Ｂ（－ ｔ
２，ｔ２
１６）． ８分……………………………………………
｜ＭＢ｜＝ （ｔ＋ ｔ
２）２ ＋（ｔ２
４ －ｔ２
１６）槡 ２ ＝３ｔ
１６ ６４＋ｔ槡 ２，
点 Ａ（ｔ
４，－ｔ２
８）到直线 ＢＭ：ｙ＝ ｔ
８ｘ＋ｔ２
８，即 ｔｘ－８ｙ＋ｔ２ ＝０的距离为
ｄ＝
ｔ２
４ ＋ｔ２ ＋ｔ２
ｔ２ ＋槡 ６４
＝ ９ｔ２
４ ｔ２ ＋槡 ６４
， １０分……………………………………………
故 △ＭＢＡ面积为 Ｓ△ＭＢＡ ＝ １
２｜ＭＢ｜·ｄ＝２７ｔ３
１２８，而 ｔ∈ ［１，２］，
所以 △ＭＢＡ面积的取值范围是［２７
１２８，２７
１６］． １２分……………………………………
２２（１０分）
（１）根据题意得，曲线 Ｃ的极坐标方程为 ρｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓθ－２ρｓｉｎ２θ，
ρｃｏｓ２θ＋ρｓｉｎ２θ＝２ｃｏｓθ，即 ρ２ ＝２ρｃｏｓθ，
所以曲线 Ｃ的直角坐标方程为 ｘ２ ＋ｙ２ ＝２ｘ，即（ｘ－１）２ ＋ｙ２ ＝１， ３分……………
直线 ｌ的普通方程为 ｔａｎα·ｘ－ｙ＋１＝０． ５分………………………………………
（２）联立直线 ｌ的参数方程与曲线 Ｃ的直角坐标方程，
将 ｘ＝ｔｃｏｓα，
ｙ＝１＋ｔｓｉｎ{ α 代入（ｘ－１）２ ＋ｙ２ ＝１，
化简，得 ｔ２ ＋２（ｓｉｎα－ｃｏｓα）ｔ＋１＝０． ７分……………………………………………
设点 Ａ，Ｂ所对应的参数分别为 ｔ１，ｔ２，
则 ｔ１ｔ２ ＝１，ｔ１ ＋ｔ２ ＝２（ｃｏｓα－ｓｉｎα）＝ 槡２２ｃｏｓ（α＋π
４），α∈ ３π
４，[ )π ，
由（１）可知，曲线 Ｃ是圆心（１，０），半径为 １的圆，点 Ｐ在圆外，
由直线参数方程参数的几何意义知，
１
｜ＰＡ｜＋ １
｜ＰＢ｜＝ １
｜ｔ１｜＋ １
｜ｔ２｜＝｜ｔ１｜＋｜ｔ２｜
｜ｔ１ｔ２｜ ＝｜ｔ１ ＋ｔ２｜≤ 槡２２，当且仅当 α＝３π
４
时取到．
即 １
｜ＰＡ｜＋ １
｜ＰＢ｜的最大值为 槡２２． １０分………………………………………………
２３．（１０分）
（１）由题意，ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｍ｜＋｜ｘ｜≥｜ｘ－ｍ－ｘ｜＝｜ｍ｜． ３分…………………………
只需 ｜ｍ｜≥ ｍ２，解得 －１≤ ｍ≤ １． ５分………………………………………………
（２）由（１）可知，ａ＋ｂ＋ｃ＝１，
所以 １
ａ ＋１
ｂ＋１
ｃ ＝ａ＋ｂ＋ｃ
ａ ＋ａ＋ｂ＋ｃ
ｂ ＋ａ＋ｂ＋ｃ
ｃ ７分…………………………
＝１＋ ｂ
ａ ＋ ｃ
ａ ＋ａ
ｂ＋１＋ ｃ
ｂ＋ａ
ｃ＋ ｂ
ｃ＋１
＝３＋（ｂ
ａ ＋ａ
ｂ）＋（ｃ
ａ ＋ａ
ｃ）＋（ｃ
ｂ＋ ｂ
ｃ）≥ ３＋２＋２＋２＝９
当且仅当 ａ＝ｂ＝ｃ＝ １
３时等号成立． １０分…………………………………………
（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
）页４共（页４第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌
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