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蚌埠市 ２０２０届高三年级第三次教学质量检查考试
数 学（理工类）
本试卷满分 １５０分，考试时间 １２０分钟
注意事项：
１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。。
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
１已知集合 Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－５ｘ＜－４｝，集合 Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≤０｝，则 Ａ∩（瓓ＲＢ）＝
Ａ（－１，０） Ｂ（－１，４） Ｃ（１，４） Ｄ（０，４）
２已知 ｉ为虚数单位，则复数（２－ｉ）２的共轭复数为
Ａ５－４ｉ Ｂ５＋４ｉ Ｃ３－４ｉ Ｄ３＋４ｉ
３已知等差数列｛ａｎ｝中，前 ｎ项和 Ｓｎ满足 Ｓ１０－Ｓ３＝４２，则 ａ７的值是
Ａ３ Ｂ６ Ｃ７ Ｄ９
４在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前
一时期相比较的增长率 ２０２０年 ２月 ２９日人民网发布了我国 ２０１９年国民经济和社会发展
统计公报图表，根据 ２０１９年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是
Ａ２０１９年我国居民每月消费价格与 ２０１８年同期相比有涨有跌
Ｂ２０１９年我国居民每月消费价格中 ２月消费价格最高
Ｃ２０１９年我国居民每月消费价格逐月递增
Ｄ２０１９年我国居民每月消费价格 ３月份较 ２月份有所下降
５已知双曲线 Ｃ：ｘ２
ａ２ －ｙ２
ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）离心率为 ３，则双曲线 Ｃ的渐近线方程为
Ａｙ＝±槡２
２ｘ Ｂｙ 槡＝± ２ｘ Ｃｙ 槡＝±２２ｘ Ｄｙ＝±槡２
４ｘ
）页４共（页１第卷试学数级年三高市埠蚌６已知向量ａ，ｂ的夹角为２π
３，ａ＝（１，２），ａ·（ａ＋２ｂ）＝０，则｜ｂ｜等于
槡 槡Ａ ５ Ｂ２５ Ｃ槡１５
３ Ｄ 槡２ １５
３
７劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体
验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动
服务他人、服务社会的情怀。学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠
人”李阿姨给同学们传授织补技艺。高一年级有 ６个班，李阿姨每周一到周五只有下午第 ２
节课的时间可以给同学们上课，所以必须安排有两个班合班上课，高一年级 ６个班“缝纫体
验课”的不同上课顺序有
Ａ６００种 Ｂ３６００种 Ｃ１２００种 Ｄ１８００种
８函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ的图象是由函数 ｇ（ｘ）＝ｃｏｓ（２ｘ－φ）（０≤φ≤π）的图象向右平移 π
６个单
位长度后得到，则下列是函数 ｙ＝ｇ（ｘ）的图象的对称轴方程的为
Ａｘ＝π
１２ Ｂｘ＝π
６ Ｃｘ＝π
３ Ｄｘ＝０
９已知椭圆ｘ２
ａ２ ＋ｙ２
ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为 ３
５，左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，过左焦点 Ｆ１ 作直
线与椭圆在第一象限交点为 Ｐ，若△ＰＦ１Ｆ２为等腰三角形，则直线 ＰＦ１的斜率为
Ａ 槡４２
７ Ｂ 槡７２
８ 槡Ｃ４５ Ｄ 槡８２
７
１０已知函数 ｆ（ｘ）的图象如图所示，则函数 ｆ（ｘ）的解析式可能是
Ａｙ＝ｘ（１－｜ｘ｜）
Ｂｙ＝ｘ
４ｃｏｓ π
２( )ｘ
Ｃｙ＝ｘ
４ｓｉｎ（πｘ）
Ｄｙ＝｜ｘ｜（１－ｘ）（ｘ＋１）
１１开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐
两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套
餐的价格是每份 １５元，面食套餐的价格是每份 １０元，如果小明当天选择了某种套餐，她
第二天会有 ８０％的可能性换另一种类型的套餐，假如第 １天小明选择了米饭套餐，第 ｎ天
选择米饭套餐的概率 ｐｎ，给出以下论述：
① 小明同学第二天一定选择面食套餐；② ｐ３＝０６８；
③ ｐｎ＝０２ｐｎ－１＋０８（１－ｐｎ－１）（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）；
④ 前 ｎ天小明同学午餐花费的总费用数学期望为２５
２ｎ＋２５
１６－２５
１６ －( )３
５
ｎ
．
其中正确的是：
Ａ②④ Ｂ①②③ Ｃ③④ Ｄ②③④
１２已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｘ
ｅｘ－１＋ｘ－ｌｎ（ａｘ）－２（ａ＞０），若函数 ｆ（ｘ）在区间（０，＋∞）内存在零点，则
实数 ａ的取值范围是
Ａ（０，１］ Ｂ［１，＋∞） Ｃ（０，ｅ］ Ｄ［ｅ，＋∞）
）页４共（页２第卷试学数级年三高市埠蚌二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分。
１３已知命题 ｐ：ｘ∈Ｒ，使得 ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋１＞ｍ，若命题 ｐ是假命题，则实数 ｍ的取值范围是
．
１４已知函数 ｆ（ｘ）＝
２ｘ－１
２，ｘ＜１，
ｌｏｇ２（ｘ＋１
２），ｘ≥１{ ，
若 ｆ（ａ）＝２，则 ａ＝ ．
１５已知 ｘ＋１( )ｘ ２ｘ＋ａ( )ｘ
５
的展开式中各项系数和为 ２，则其展开式中
常数项是 ．
１６如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如
图所示的直角三角形演化而成．设其中的第一个直角△ＯＡ１Ａ２ 是等
腰三角形，且 Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝… ＝ＡｎＡｎ＋１ ＝１，则 ＯＡ２ 槡＝ ２，ＯＡ３ 槡＝ ３，…
ＯＡｎ＝槡ｎ，现将△ＯＡ１Ａ２沿 ＯＡ２翻折成△ＯＰＡ２，则当四面体 ＯＰＡ２Ａ３体
积最大时，它的侧面有 个直角三角形；当 ＰＡ３ ＝１时，四
面体 ＯＰＡ２Ａ３外接球的体积为 ．
三、解答题：共 ７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 １７～２１题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 ６０分。
１７（１２分）
在△ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，它的外接圆半径为 槡２３
３，
且 ｃｓｉｎＡ＝４ｓｉｎＢ 槡－ ３ａｃｏｓＣ．
（１）求角 Ａ的大小；
（２）求△ＡＢＣ周长的最大值．
１８（１２分）
随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动
支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一 随着人们消费观念的进
步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世———蚂蚁花呗
这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费
群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求 为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者
年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取
１００人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如下图所示．
（１）由大数据可知，在 １８到 ４４岁之间各年龄段使用花呗“赊购”的人数百分比 ｙ与年龄 ｘ
成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年
龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比 ｙ与年龄 ｘ的线性回归方程（回归直线
方程的斜率和截距保留两位有效数字）；
）页４共（页３第卷试学数级年三高市埠蚌（２）该网站年龄为 ２０岁的注册用户共有 ２０００人，试估算该网站 ２０岁的注册用户中使用
花呗“赊购”的人数；
（３）已知该网站中年龄段在 １８－２６岁和 ２７－３５岁的注册用户人数相同．现从 １８到 ３５岁
之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取 ８人，再从这 ８人中简单随
机抽取 ２人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在 １８到 ２６岁
之间的概率．
参考公式：ｂ∧ ＝
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘｉｙｉ－ｎｘ—·ｙ—
∑
ｎ
ｉ＝１
ｘ２
ｉ－ｎｘ—２
，ａ∧ ＝ｙ— －ｂ∧ｘ—．
１９（１２分）
如图四棱柱 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝ＡＢ
＝２ＢＣ，Ｍ为 Ａ１Ｄ的中点．
（１）证明：ＣＭ∥平面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ；
（２）若四边形 Ａ１ＡＢＢ１是菱形，且面 Ａ１ＡＢＢ１⊥面 ＡＢＣＤ，
∠Ｂ１ＢＡ＝π
３，求二面角 Ａ１－ＣＭ－Ａ的余弦值．
２０（１２分）
已知抛物线 Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，直线 ｙ＝ｋｘ＋２与抛物线 Ｃ交于 Ａ，Ｂ两点，若 ｋ
＝１，则｜｜ＢＦ｜－｜ＡＦ 槡｜｜＝４３．
（１）求抛物线 Ｃ的方程；
（２）分别过点 Ａ，Ｂ作抛物线 Ｃ的切线 ｌ１，ｌ２，若 ｌ１，ｌ２分别交 ｘ轴于点 Ｍ，Ｎ，求四边形 ＡＢＮＭ
面积的最小值．
２１（１２分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）
ｘ ．
（１）分析函数 ｆ（ｘ）的单调性；
（２）证明：１＋１
２＋… ＋ １
ｎ( )－１ｌｎ３≤ｌｎｎ２＋ｎ( )２ ，ｎ≥２．
（二）选考题：共 １０分。请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
２２［选修 ４—４：坐标系与参数方程］（１０分）
在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｘ＝ｔｃｏｓα，
ｙ＝１＋ｔｓｉｎα{ ，（其中 ｔ为参数，３π
４≤α＜
π）．在以原点 Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线 Ｃ的极坐标方
程为 ρｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓθ－２ρｓｉｎ２θ．设直线 ｌ与曲线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点．
（１）求曲线 Ｃ和直线 ｌ的直角坐标方程；
（２）已知点 Ｐ（０，１），求 １
｜ＰＡ｜＋ １
｜ＰＢ｜的最大值．
２３［选修 ４－５：不等式选讲］（１０分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｍ｜＋｜ｘ｜，ｘ∈Ｒ．
（１）若不等式 ｆ（ｘ）≥ｍ２对ｘ∈Ｒ恒成立，求实数 ｍ的取值范围；
（２）若（１）中实数 ｍ的最大值为 ｔ，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝ｔ，（ａ，ｂ，ｃ均为正实数）．
证明：１
ａ＋１
ｂ＋１
ｃ≥９．
）页４共（页４第卷试学数级年三高市埠蚌蚌埠市 ２０２０届高三年级第三次教学质量检查考试
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ
二、填空题：
１３ ９
４，＋[ )∞ １４７
２ １５４０ １６４，４
３π（第一空 ２分，第二空 ３分）
三、解答题：
１７（１２分）
（１）由条件和正弦定理得，ｃ＝ 槡４３
３ ｓｉｎＣ，ａ＝ 槡４３
３ ｓｉｎＡ．
代入 ｃｓｉｎＡ＝４ｓｉｎＢ 槡－ ３ａｃｏｓＣ，化简得：
ｓｉｎＣｓｉｎＡ 槡＝ ３（ｓｉｎＢ－ｓｉｎＡｃｏｓＣ）， ２分……………………………………………………
∴ｓｉｎＣｓｉｎＡ 槡＝ ３ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ） 槡－ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ
∴ｓｉｎＣｓｉｎＡ 槡＝ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ 槡＋ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ 槡－ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ
即 ｓｉｎＣｓｉｎＡ 槡＝ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ， ４分……………………………………………………………
∵Ｃ∈（０，π） ∴ｓｉｎＣ≠０
∴ｓｉｎＡ 槡＝ ３ｃｏｓＡ，即 ｔａｎＡ 槡＝ ３，又 Ａ∈（０，π），∴Ａ＝π
３． ６分……………………………
（２）由 ａ
ｓｉｎＡ＝２Ｒ知 ａ＝２，由余弦定理得
ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓπ
３＝４，即（ｂ＋ｃ）２－３ｂｃ＝４， ８分…………………………………………
∴３ｂｃ＝（ｂ＋ｃ）２－４≤３ ｂ＋ｃ( )２
２
∴（ｂ＋ｃ）２≤１６， １０分………………………………
∴ｂ＋ｃ≤４，等号成立当且仅当 ｂ＝ｃ＝２．
∴（ａ＋ｂ＋ｃ）ｍａｘ＝６ 即△ＡＢＣ周长的最大值为 ６． １２分………………………………
１８（１２分）
（１）由题意，ｘ— ＝２２＋３１＋４０
３ ＝３１，ｙ— ＝０５＋０３＋００８
３ ＝２２
７５， ２分…………………………
所以 ｂ∧ ＝
２２×０５＋３１×０３＋４０×００８－３×３１×２２
７５
２２２＋３１２＋４０２－３×３１２ ＝－３７８
１６２ ≈ －００２３，
ａ∧ ＝２２
７５＋３７８
１６２×３１≈１０，所求线性回归方程为 ｙ＝－００２３ｘ＋１０． ５分………………
（２）由（１）知，该网站 ２０岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为
－００２３×２０＋１０＝０５４，而 ２０００×０５４＝１０８０，
所以可估计该网站 ２０岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为 １０８０人． ７分……
（３）依题意，随机抽取 ８人，年龄在 １８到 ２６岁之间有 ５人，年龄在 ２７－３５之间有 ３人，所
以抽取的两人年龄都在 １８到 ２６岁的概率为Ｃ２
５
Ｃ２
８
＝１０
２８＝５
１４． １２分………………………
１９（１２分）
（１）取 ＡＡ１的中点 Ｎ，连接 ＭＮ，ＢＮ，
∵Ｍ为 Ａ１Ｄ的中点，∴ＭＮ∥ＡＤ且 ＭＮ＝１
２ＡＤ
）页４共（页１第案答考参学数级年三高市埠蚌又 ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ＝１
２ＡＤ，所以 ＭＮ∥ＢＣ且 ＭＮ＝ＢＣ，
所以四边形 ＭＮＢＣ是平行四边形， ２分…………………………………………………
从而 ＣＭ∥ＢＮ，又 ＢＮ平面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ，ＣＭ平面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ，
所以 ＣＭ∥平面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ． ４分……………………………………………………………
（２）取 Ａ１Ｂ１的中点 Ｐ，连接 ＡＰ，ＡＢ１
∵四边形 ＡＡ１Ｂ１Ｂ为菱形，又∠Ｂ１ＢＡ＝π
３，易知 ＡＰ⊥ＡＢ．
又面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ⊥面 ＡＢＣＤ，面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ∩面 ＡＢＣＤ＝ＡＢ，ＡＤ⊥ＡＢ
∴ＡＤ⊥平面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ，ＡＤ⊥ＡＰ
故 ＡＢ，ＡＤ，ＡＰ两两垂直 ６分………………………………………………………………
以 Ａ为原点，ＡＢ，ＡＤ，ＡＰ所在直线分别为 ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系 Ａ－ｘｙｚ（如图所
示），不妨设 ＡＢ＝４．
则 Ａ（０，０，０），Ｄ（０，４，０），Ｃ（４，２，０），Ａ１（－２，０，槡２３），Ｍ（－１，２，槡３），
Ａ１Ｍ→ ＝（１，２， 槡－ ３），ＣＭ→ ＝（－５，０，槡３），ＡＣ→ ＝（４，２，０） ８分……………………………
设平面 Ａ１ＣＭ的法向量为ｍ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
由
ｍ·Ａ１Ｍ→ ＝０
ｍ·ＣＭ→{ ＝０
，得 ｘ＋２ｙ 槡－ ３ｚ＝０
－５ｘ 槡＋ ３ｚ{ ＝０
，
可得平面 Ａ１ＣＭ的一个法向量ｍ ＝ １，２，槡５３( )３ ， ９分…
设平面 ＡＣＭ的法向量为ｎ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），
由
ｎ·ＡＣ→ ＝０
ｎ·ＣＭ→{ ＝０
，得
４ｘ１＋２ｙ１＝０
－５ｘ１ 槡＋ ３ｚ１{ ＝０，
可得平面 ＡＣＭ的一个法向量ｎ＝ １，－２，槡５３( )３ ． １０分…………………………………
∴ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ ｍ·ｎ
｜ｍ｜·｜ｎ｜＝
１－４＋２５
３
１＋４＋２５
槡 ３· １＋４＋２５
槡 ３
＝２
５ １１分…………………
所以二面角 Ａ１－ＣＭ－Ａ的余弦值为 ２
５． １２分…………………………………………
２０（１２分）
（１）抛物线 ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ（０，ｐ
２），
设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则 ＡＢ方程 ｙ＝ｋｘ＋２与抛物线方程联立，
整理得 ｘ２－２ｐｋｘ－４ｐ＝０，ｘ１＋ｘ２＝２ｐｋ，ｘ１ｘ２＝－４ｐ， ２分………………………………
｜ｘ１－ｘ２｜＝ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ ４ｐ２ｋ２＋１６槡 ｐ
若 ｋ＝１，｜｜ＢＦ｜－｜ＡＦ｜｜＝｜ｙ１－ｙ２｜＝ｋ｜ｘ１－ｘ２｜＝ ４ｐ２＋１６槡 ｐ 槡＝４３， ４分……………
∴ｐ＝２，即抛物线 Ｃ的方程为 ｘ２＝４ｙ． ６分………………………………………………
（２）（方法一）
由（１）知 ｙ＝ｘ２
４且 ｘ１＋ｘ２＝４ｋ，ｘ１ｘ２＝－８，｜ｘ１－ｘ２｜＝４ ｋ２槡 ＋２，ｙ′＝１
２ｘ，
所以切线 ｌ１的方程为 ｙ－ｙ１＝１
２ｘ１（ｘ－ｘ１）即 ｙ＝１
２ｘ１ｘ－１
４ｘ２
１，①
同理切线 ｌ２的方程为 ｙ＝１
２ｘ２ｘ－１
４ｘ２
２，②
联立①②得 ｘ＝ｘ１＋ｘ２
２ ，ｙ＝１
４ｘ１ｘ２＝－２
）页４共（页２第案答考参学数级年三高市埠蚌即切线 ｌ１与 ｌ２的交点为 Ｐ ｘ１＋ｘ２
２ ，( )－２，
由切线 ｌ１：ｙ＝１
２ｘ１ｘ－１
４ｘ２
１，得 Ｍ ｘ１
２，( )０，同理可得 Ｎ ｘ２
２，( )０， ８分……………………
∴Ｓ△ＰＭＮ ＝１
２×２× ｘ１
２－ｘ２
２ ＝１
２｜ｘ１－ｘ２｜＝２ ｋ２槡 ＋２
又∵｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜＝４ １＋ｋ槡 ２ ｋ２槡 ＋２，
点 Ｐ到直线 ＡＢ的距离为 ｄ＝
ｋ（ｘ１＋ｘ２）
２ ＋４
１＋ｋ槡 ２
＝｜２ｋ２＋４｜
１＋ｋ槡 ２
∴Ｓ△ＰＡＢ ＝１
２｜ＡＢ｜ｄ＝４ ｋ２槡 ＋２｜ｋ２＋２｜， １０分……………………………………………
∴四边形 ＡＢＮＭ的面积
Ｓ＝Ｓ△ＰＡＢ －Ｓ△ＰＭＮ ＝４ ｋ２槡 ＋２（ｋ２＋２）－２ ｋ２槡 ＋２＝２ ｋ２槡 ＋２（２ｋ２＋３）
令 ｔ＝ ｋ２槡 ＋２≥槡２，则 Ｓ＝４ｔ３－２ｔ，
ｔ≥槡２时，Ｓ′＝１２ｔ２－２＞０成立，Ｓ单调递增，
∴当 ｔ 槡＝ ２，即 ｋ＝０时，四边形 ＡＢＮＭ的面积的最小值为 槡６２ １２分…………………
（方法二）
由（１）知 ｙ＝ｘ２
４且 ｘ１＋ｘ２＝４ｋ，ｘ１ｘ２＝－８，｜ｘ１－ｘ２｜＝４ ｋ２槡 ＋２，ｙ′＝１
２ｘ，
所以切线 ｌ１的方程为 ｙ－ｙ１＝１
２ｘ１（ｘ－ｘ１）即 ｙ＝１
２ｘ１ｘ－１
４ｘ２
１，
同理切线 ｌ２的方程为 ｙ＝１
２ｘ２ｘ－１
４ｘ２
２，
由切线 ｌ１：ｙ＝１
２ｘ１ｘ－１
４ｘ２
１，得 Ｍ ｘ１
２，( )０，同理可得 Ｎ ｘ２
２，( )０， ８分……………………
记直线 ＡＢ：ｙ＝ｋｘ＋２与 ｙ轴交点 Ｔ（０，２），
∴Ｓ△ＯＡＢ ＝Ｓ△ＯＴＡ＋Ｓ△ＯＴＢ ＝１
２｜ＯＴ｜（｜ｘ１｜＋｜ｘ２｜）＝１
２｜ＯＴ｜｜ｘ１－ｘ２｜＝｜ｘ１－ｘ２｜，
Ｓ△ＯＡＭ ＝１
２｜ＯＭ｜·｜ｙ１｜＝１
２
ｘ１
２ ｜ｙ１｜＝１
１６｜ｘ３
１｜，同理 Ｓ△ＯＢＮ ＝１
１６｜ｘ３
２｜，
∴四边形 ＡＢＮＭ的面积
Ｓ＝Ｓ△ＯＡＢ ＋Ｓ△ＯＡＭ ＋Ｓ△ＯＢＮ
＝｜ｘ１－ｘ２｜＋１
１６｜ｘ３
１－ｘ３
２｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＋１
１６｜ｘ１－ｘ２｜｜ｘ２
１＋ｘ１ｘ２＋ｘ２
２｜
＝１
１６｜ｘ１－ｘ２｜３－１
２｜ｘ１－ｘ２｜ １０分………………………………………………………
记 ｔ＝｜ｘ１－ｘ２｜≥ 槡４２，则 Ｓ＝１
１６ｔ３－１
２ｔ
∵Ｓ′＝３
１６ｔ２－１
２＞０，Ｓ单调递增，
∴当 ｔ 槡＝４２即 ｋ＝０时，四边形 ＡＢＮＭ面积的最小值为 槡６２． １２分……………………
２１（１２分）
（１）由题意得：ｆ（ｘ）的定义域为（－１，０）∪（０，＋∞），且 ｆ′（ｘ）＝
ｘ
１＋ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）
ｘ２ ，
令 ｇ（ｘ）＝ ｘ
１＋ｘ－ｌｎ（１＋ｘ），则 ｇ′（ｘ）＝ －ｘ
（１＋ｘ）２，ｘ∈（－１，０）时，ｇ′（ｘ）＞０；
ｘ∈（０，＋∞）时，ｇ′（ｘ）＜０．即 ｇ（ｘ）在（－１，０）上单调递增，在（０，＋∞）上单调递减．
）页４共（页３第案答考参学数级年三高市埠蚌因为 ｇ（０）＝０，则在（－１，０）和（０，＋∞）上 ｇ（ｘ）＜０．
因为 ｘ２＞０，所以在（－１，０）和（０，＋∞）上 ｆ′（ｘ）＜０，
即函数 ｆ（ｘ）在区间（－１，０）和（０，＋∞）上单调递减． ４分……………………………
（２）由（１）可知，当 ０＜ｘ≤２时，ｆ（ｘ）≥ｆ（２）＝ｌｎ３
２，即 ｌｎ（ｘ＋１）≥ｌｎ３
２ｘ， ６分………………
当 ｎ≥２时，０＜ ２
ｎ－１≤２，则 ｌｎ１＋ ２
ｎ( )－１≥ ｌｎ３
ｎ－１，
即 ｌｎ１＋ ２
ｎ( )－１ ＝ｌｎ（ｎ＋１）－ｌｎ（ｎ－１）≥ ｌｎ３
ｎ－１，所以
ｌｎ（ｎ＋１）－ｌｎ（ｎ－１）＋ｌｎｎ－ｌｎ（ｎ－２）＋… ＋ｌｎ４－ｌｎ２＋ｌｎ３－ｌｎ１
≥ｌｎ３ １
ｎ－１＋ １
ｎ－２＋… ＋１
２( )＋１
整理得：ｌｎ（ｎ＋１）＋ｌｎｎ－ｌｎ２－ｌｎ１≥ｌｎ３ １
ｎ－１＋ １
ｎ－２＋… ＋１
２( )＋１，
即 １＋１
２＋… ＋ １
ｎ( )－１ｌｎ３≤ｌｎｎ２＋ｎ( )２ ，ｎ≥２，不等式得证． １２分………………………
２２（１０分）
（１）根据题意得，曲线 Ｃ的极坐标方程为 ρｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓθ－２ρｓｉｎ２θ，
ρｃｏｓ２θ＋ρｓｉｎ２θ＝２ｃｏｓθ，即 ρ２＝２ρｃｏｓθ，
所以曲线 Ｃ的直角坐标方程为 ｘ２＋ｙ２＝２ｘ，即（ｘ－１）２＋ｙ２＝１， ３分…………………
直线 ｌ的普通方程为 ｔａｎα·ｘ－ｙ＋１＝０． ５分……………………………………………
（２）联立直线 ｌ的参数方程与曲线 Ｃ的直角坐标方程，
将 ｘ＝ｔｃｏｓα，
ｙ＝１＋ｔｓｉｎ{ α 代入（ｘ－１）２＋ｙ２＝１，
化简，得 ｔ２＋２（ｓｉｎα－ｃｏｓα）ｔ＋１＝０． ７分………………………………………………
设点 Ａ，Ｂ所对应的参数分别为 ｔ１，ｔ２，
则 ｔ１ｔ２＝１，ｔ１＋ｔ２＝２（ｃｏｓα－ｓｉｎα） 槡＝２２ｃｏｓ（α＋π
４），α∈ ３π
４，[ )π ，
由（１）可知，曲线 Ｃ是圆心（１，０），半径为 １的圆，点 Ｐ在圆外，
由直线参数方程参数的几何意义知，
１
｜ＰＡ｜＋ １
｜ＰＢ｜＝ １
｜ｔ１｜＋ １
｜ｔ２｜＝｜ｔ１｜＋｜ｔ２｜
｜ｔ１ｔ２｜ ＝｜ｔ１＋ｔ２｜≤ 槡２２，当且仅当 α＝３π
４时取到．
即 １
｜ＰＡ｜＋ １
｜ＰＢ｜的最大值为 槡２２． １０分…………………………………………………
２３．（１０分）
（１）由题意，ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｍ｜＋｜ｘ｜≥｜ｘ－ｍ－ｘ｜＝｜ｍ｜． ３分…………………………………
只需｜ｍ｜≥ｍ２，解得 －１≤ｍ≤１． ５分………………………………………………………
（２）由（１）可知，ａ＋ｂ＋ｃ＝１，
所以 １
ａ＋１
ｂ＋１
ｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ
ａ ＋ａ＋ｂ＋ｃ
ｂ ＋ａ＋ｂ＋ｃ
ｃ ７分……………………………………
＝１＋ｂ
ａ＋ｃ
ａ＋ａ
ｂ＋１＋ｃ
ｂ＋ａ
ｃ＋ｂ
ｃ＋１
＝３＋（ｂ
ａ＋ａ
ｂ）＋（ｃ
ａ＋ａ
ｃ）＋（ｃ
ｂ＋ｂ
ｃ）≥３＋２＋２＋２＝９
当且仅当 ａ＝ｂ＝ｃ＝１
３时等号成立． １０分………………………………………………
（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
）页４共（页４第案答考参学数级年三高市埠蚌
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