数学答案.pdf

宁波“十校” 数学参考答案 第 1 页 共 3 页 宁波“十校”2020 届高三 3 月联考 数学参考答案 一、选择题： 二、填空题： 11．1 12．14 13． 217 14−， 14． 38, 6 15． ,2]−（ ， 1[ 5, ]2− 16．0，2 17．16 三、解答题： 18．解： （1） ( ) sin cos 2 sin( )4f x x x x = + = + ,……2 分 ( ) 2 sin( )4f x x + = + + 因为 ()fx为奇函数，所以sin( ) 04  +=， 4 k+= ，……4 分 3702 44      = ， ……6 分 （2） ( ) 2 2f  = ， 2 1 32 sin( ) sin( ) cos( )4 2 4 2 4 2     + = + = + = ， ， ……9 分 26( ) 2 sin[( ) ] sin( ) cos( )3 4 3 2 4 2 4f        + = + + = + + + ……12 分 当 3cos( )42  += 时， ( ) 23f  +=， 当 3cos( )42  + = − 时， 2()32f  + = − ……14 分 19．解： （1）证明：在 APB 和 CPB 中， ,,APB CPB PA PC PB PB =  = = , APB CPB   , AB BC= ABC 为等腰直角三角形……3 分 取 AC 的中点O ，连接 ,OB OP，则 ,OP AC OB AC⊥⊥, AC PBO⊥面 , PB PBO 面 , PB AC⊥ ……6 分 （2） ,AC PBO B PO A⊥  − −面 二面角 为直二面角，作 DT OP T⊥ 于 ,则 ,DT PAC⊥ 平面 连 接TA，则 DAT 为 AD 和平面 PAC 所成的角。……8 分 设 2PB = ,则 PAC 的边长为 4， 22BA BC== ……10 分 12, 2 3, 2PBO PB OB OP DT = = = =中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B C D C A D B D 宁波“十校” 数学参考答案 第 2 页 共 3 页 4, 2 2, 2APB PA AB BP = = =中， D 为 PB 的中点， 11AD= ,……13 分 在 Rt ADT 中， 11sin 22 DTDAT AD = = ,故 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值 11 22 …15 分 20．解： （1） 4 3 24,a a S== 1 1, 1, na d a n = =  = ……2 分 1nnTb+=， -1 1 1nnTb− + = ……4 分 得 1 1 2b = ， 1 1 2nnbb−= ， 1 2 n nb =（ ）……6 分 （2）①当 2nm= 时，则 2 11 11()4 21 mm k nm kk WW k== = = + − ， 1 11[1 ( ) ]1 1 1 144( ) [1 ( ) ]14 3 4 31 4 mm km k= − = = −  −  ，……9 分 当 2k  时 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 kk k k k k k =  = − − − − − + − − + − 12 1 1 ( 2 1 2 3) 2 1 21 mm kk k k m k==   + − − − = − − ， 112133nW m n  + −  + 成立。……13 分 ②当 21nm=−时， 2 1 2 1 3n m mW W W n−=   + 成立。 综上①②得： 1 3nWn+.……15 分 21．解： （1）证明：设 22 0 0 1 1(2 ,2 ), (2 ,2 )B pt pt C pt pt ，则直线 BC 的方程为 0 1 0 1( ) 2y t t x pt t= + − ……2 分 由 (0, )Aa在 BC 可知， 01 2 att p=− ……3 分 又 2 2x py= 在 B 处的切线的方程为 2 0022y t x pt=−， 令 0y = 可得 0px pt= 即 0( ,0)P pt 0 AP ak pt = − ……5 分 直线CQ 的方程为 2 1 1 1 1 0 2 ( 2 ) 2 ( 2 )ay pt x pt t x ptpt− = − − = − 令 0y = 可得 1Qx pt= 即 1( ,0)Q pt 0 1 2AQ BP ak t kpt = − = = 即 //AQ BP ……7 分 （2）设 BP 和CQ 相交于点T 则 1 PQTSS= 由（1）可知，四边形 AQTP 为平行四边形……9 分 1 1 0 11| || | | |22PQT AQP Q PS S S OA x x ap t t = = = − = − ……11 分 宁波“十校” 数学参考答案 第 3 页 共 3 页 2 1 0 11| || | 2 | |22OBC B CS S OA x x a p t t= = − = − ……13 分 12 11,22SS  = =即存在 ……15 分 22．解： （Ⅰ）求导得 ( ) ( 1)xxf x xe x x e−− = − − = − + ，……2 分 由 ( ) 0fx  ，解得 0x  ，……4 分 又因为函数 ()fx的定义域为 R ，故函数 ()fx在区间( ,0)− 上单调递增，在区间(0, )+ 上单调递减.……5 分 （Ⅱ）①因为函数 ()gx的定义域为 R ，则 2 20x x a+ +  恒成立，故 4 4 0a = −  ， 即 1a  .……7 分 ②又 22 2 2 2 2 ( 2 ) 2( 1)( 1) ( 2) 2( 1)() ( 2 ) ( 2 ) x x xe x x a x e x a e xgx x x a x x a + + − + + + − − + == + + + + ，……9 分 则 ( ) 0gx = 等价于 22 2( 1) 2 ( )xa x e x f x−− = + − = ， 由(Ⅰ)知， 2 ( )y f x= 在( ,0)− 上递增，在(0, )+ 上递减, 故函数 存在极小值，必有 2 2 (0) 2af−  = ，即14a.……11 分 又 3 3 5 9 5 92 ( 1) 1 2,2 ( ) 22 4 41.64 f a f a ee − = −  − = −  −  − ，故对任意 (1,4)a ， 存在 12 3( 1,0), (0, )2xx −  使 ( ) 0gx = ，即 2 2 ( ), 1,2ia f x i− = = ， 因此， 在 12( , ),( , )xx− + 上递增，在 12( , )xx 上递减，……13 分 所以，极小值 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 11() 2( 1)2 2 2 ( ) x x xe e eb g x xx x a x x f x ++= = = = ++ + + + . 记函数 3( ) ,02( 1) 2 xeh x xx=  + ，则 2( ) 0 2( 1) xxehx x  = + ，即 ()hx 在 3(0, )2 上递增， 故 3(0) ( ) ( )2h h x h，即 13 2 5 5 eb e e   ， 所以， 13 25be .……15 分