文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
D
B
A
B
C
D
A
C
B
【解析】
1．由题知，当时，可得；当时，可得，故，所以 ，其子集的个数是，故选C．
2．，故z的虚部是1，故选C．
3．由逆否命题的定义知A项正确；若，时，，反之，若成立，一定可以得到，所以“”是“”的必要不充分条件，B错误；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词且否定结论，C正确；因为为假命题，所以p，q均为假命题，D正确，故选B．
4．依题意得，，∴．∴四边形ABCD的面积为，故选D．
5．因为，所以，所以，因为，所以，所以公差，所以，故选B．
6．，图象向右平移个单位长度，得到，由于得到的图象关于原点对称，故是奇函数，所以，，当时，，故选A．
7．设正方体的棱长为a，则三棱锥的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是，故选B．
8．依题意知，，则由此解得所以，故选C．
图1
9．如图1，作出点关于y轴的对称点．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点．故设反射光线为，即．∴圆心到直线的距离，解得或，故选D．
图2
10．如图2，设，则，，故．又，∴，解得．．∵在双曲线的一条渐近线上，∴，解得．由，得，即，∴，故选A．
图3
11．如图3，设，则，由题意可知解得，矩形花圃的面积，其最大值故其图象为C，故选C．
12．①函数的定义域是，，不满足函数奇偶性的定义，所以函数为非奇非偶函数，所以①错误；②取，，，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当时，，要使，即，即，令，，，得，所以在
上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图象有交点，在同一坐标系中画出这两个函数图象，可知他们只有一个交点，所以④是正确的，故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
4
7
【解析】
13．根据茎叶图中的数据，可知成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样的方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取 (人)．
14．在△ABC中，由余弦定理得，∵，， ，∴，即，，结合，解得．
15．由已知，得，则 ，∴，解得，即直线方程化为，故直线在y轴上的截距为．
16．设至少需要计算n次，由题意知，即，由，知．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1），所以应收集90位女生的样本数据．
…………………………………………………………（2分）
（2）由频率分布直方图得，
所以该校学生每周平均体育运动时间不少于4小时的概率的估计值为0.75．
…………………………………………………………（4分）
（3）由（2）知，300位学生中有人的每周平均体育运动时间不少于4小时，75人的每周平均体育运动时间少于4小时．
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，
所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得，
所以，在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． ………………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（1）证明：因为由题意知，
所以，，
所以． ……………………………………………………（6分）
（2）解：，
所以的通项公式为． ……………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：方法一：取AD的中点O，连接OP，OC，AC，
依题意，可知△PAD，△ACD均为正三角形，
所以，，
又，平面POC，平面POC，
所以平面POC，又平面POC，
所以． ………………………………………………………（4分）
方法二：连接AC，依题意，可知△PAD，△ACD均为正三角形，
又M为PC的中点，所以，，
又，平面AMD，平面AMD，
所以平面AMD，
又平面AMD，所以． …………………………………………（4分）
（2）解：点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离．
由（1）可知，
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD，即PO为三棱锥的高．
在Rt△POC中，，， …………………………………（6分）
在△PAC中，，，边PC上的高，
所以△PAC的面积．
设点D到平面PAC的距离为h，由，
得． ……………………………………………（10分）
又，
所以，解得，
所以点D到平面PAM的距离为． ……………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）椭圆W：的右顶点B的坐标为(2，0).
因为四边形OABC为菱形，
所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设，代入椭圆方程得，即．
所以菱形OABC的面积是．
……………………………………………………（5分）
（2）假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，
所以可设AC的方程为．
由消去y并整理得．
设，，
则，．
所以AC的中点为．
因为M为AC和OB的交点，
所以直线OB的斜率为．
因为，所以AC与OB不垂直，
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
……………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1），
由题意的解集是，
即的两根分别是，1．
将或代入方程，
得，
所以． ……………………………………………（4分）
（2）由题意在上恒成立，
可得．
设，
则．
令，得或(舍)，
当时，；
当时，，
所以当时，取得最大值，，
所以，所以a的取值范围是．
………………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）以极点为圆心的单位圆为与联立，得，
所以，
因为，所以或，
从而交点的极坐标为和． …………………………………（5分）
（2）曲线的直角坐标方程为，
玫瑰线极径的最大值为2，且可于取得，
连接O，，与垂直且交于点，
所以距离的最小值为， …………………………………………（8分）
此时，． …………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）由题设知，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
或或
解得函数的定义域为．
………………………………………………（5分）
（2）不等式，即，
∵时，恒有，
不等式解集是R，
∴，m的取值范围是． …………………………………（10分）
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