数学（文科）试题 第 1 页（共 5 页）
安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试
数学（文科）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。
1. 已知集合 { | 2 1A x x 或 2 3}x ，集合 { 2, 1,1,2,3}B ，则集合 A B 中的元素
个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知复数 z 满足： i 3 4iz （i 为虚数单位），则 z
A. 4 3i B. 4 3i C. 4 3i D. 4 3i
3. 已知命题 :p 21, 2 log 1xx x ，则 p 为
A. 21, 2 log 1xx x B. 21, 2 log 1xx x
C. 21, 2 log 1xx x D. 21, 2 log 1xx x
4. 为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在
2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% ．2015 年
开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项
目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱
贫率见下表：
实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业
参加户占比 40% 40% 10% 10%
脱贫率 95% 95% 90% 90%
那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍
A. 7
5 B. 48
35 C. 47
35 D. 37
28
5. 已知首项为正数的等比数列{ }na 中， 2 4 7 94 14
9 9,2 2a a a a ，则 13a
A. 9
3
2 B. 12
3
2 C. 9
3
2 D. 12
3
2
6. 已知函数 sin( )3y x 的定义域为[ , ]a b ，值域为 1[ ,1]2 ，则b a 的值可能为
A. 3
B. C. 3
2
D. 2 数学（文科）试题 第 2 页（共 5 页）
7. 已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的右焦点为 F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆
与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点 3 3( , )2 2A ，则双曲线C 的方程为
A．
2
2 13
x y B．
2
2 13
yx C．
2 2
16 2
x y D．
2 2
12 6
x y
8. 《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，
对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响. 下图就是《易经》中记载的几何图形——
八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边
梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10 m ，代表阴阳太极图的圆的半径为 4 m ，则
每块八卦田的面积约为
A． 2114 m
B． 257 m
C． 254 m
D． 248 m
9. 锐角 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若sin 2 cos 04A B C （ ） （ ） ，
6, 3 1b c ，则角C 的大小为
A. 12
B. 6
C. 3
D. 5
12
10. 函数 sin | |y x x 在 [ 2 ,2 ]x 上的大致图象是
A． B．
C． D．
11. 若 定 义 在 R 上 的 增 函 数 ( 1)y f x 的 图 象 关 于 点 (1,0) 对 称 ， 且 (2) 2f ， 令
( ) ( ) 1g x f x ，则下列结论不．一定成立的是
A. (1) 0g B. (0) 1g
C. ( 1) (1) 0g g D. ( 1) (2) 2g g
x
y
O 22 x
y
O 22
x
y
O 22 x
y
O 22 数学（文科）试题 第 3 页（共 5 页）
12. 如图所示，棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 为线段 1AB 的中点， ,M N 分 别
为体对角线 1AC 和棱 1 1C D 上任意一点，则 2
2PM MN 的最小值为
A. 2
4 B. 2
2
C. 1 D. 2
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。
13. 已知平面向量 ,a b
，满足| | 1,| | 2a b
， 2
2 ( )b a a b
，则向量 ,a b
的夹角为 .
14. 已知函数 ( ) 2sin(2 ) 1, [0, ]6 2f x x x ，则使得 ( ) 0f x 的 x 的取值范围为 .
15. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
.
16. 已知点 P 为直线 4 0ax y 上一点， ,PA PB 是椭圆
2
2
2: 1xC ya
( 1)a 的两条切线，若恰好存在一点 P 使得 PA PB ，则椭圆C 的
离心率为 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17.（12 分）
已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1 *2 3 3 3 ( )n
n nS a n N .
（1）设
3
n
n n
ab ，求证：数列{ }nb 为等差数列，并求出数列{ }na 的通项公式；
（2）设
3
n n
n n
a ac n ， 1 2 3n nT c c c c ，求 nT ．
（第 15 题图）
33 1
4
正视图 侧视图
俯视图
P M
N
A
B C
D
1D1A
1B 1C 数学（文科）试题 第 4 页（共 5 页）
18.（12 分）
受“非洲猪瘟”的影响，10 月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨，
具体情形统计如下表所示：
自受影响后第 x 周 1 2 3 4 5
猪肉单价 y （元 / 斤） 16 18.5 20.6 23.7 26.2
（1）求猪肉单价 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ；
（2）当地有关部门已于 11 月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过30 元 / 斤，则释放进
口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？
参考数据：
5
1
340.6i i
i
x y
，参考公式： 1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
.
19.（12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAB 是等腰直角三角形，PA PB ，BC 平面 PAB ，
2, 5AB BC AD BD .
（1）求证： PA 平面 PBC ；
（2）求顶点C 到平面 PAD 的距离.
20.（12 分）
已知函数 ( ) ( cos ) 1x xf x e e x ，且曲线 ( )y f x 在 0x 处的切线经过点( 1, 2) ．
（1）求实数 的值；
（2）若函数 ( )( ) x
f xg x e ，试判断函数 ( )g x 的零点个数并证明．
P
A B
CD 数学（文科）试题 第 5 页（共 5 页）
21. （12 分）
已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，点 ( ,3)A a ，P 为抛物线C 上一动点，O 为坐标原点．
（1）若| | | |PA PF 的最小值为5 ，求实数 a 的值；
（2） 若 梯 形 OPMN 内 接 于抛 物 线 C ， OP MN∥ ， ,OM PN 的 交 点 恰 为 A ， 且
| | 5 13MN ，求直线 MN 的方程．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 cos
2 sin
x t
y t
（t 为参数， 为实数），
以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为
8sin ，曲线 1C 与曲线 2C 交于 ,A B 两点，线段 AB 的中点为 M .
（1）求线段 AB 长的最小值；
（2）求点 M 的轨迹方程.
23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）
已知非零实数 ,a b 满足 a b .
（1）求证： 3 3 2 22 2a b a b ab ；
（2）是否存在实数 ，使得 2 2
1 1( )b a
a b a b 恒成立？若存在，求出实数 的取值范
围；若不存在，请说明理由.
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