数学（理科）参考答案.pdf

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. B 2. B 3. C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. A 9. D 10. B 11. D 12. C 12. 解析：当 π π π 4 6 2  −时，即 8 3  时， max( ) 1 3fx == ，解得 3 = ； 当 π π π 4 6 2  −时，即 80 3时， max π π( ) sin( )4 6 3fx = − = ， 令 π π( ) sin( )46g  =−， () 3h  = ， 如图，易知 ()yg= ， ()yh= 的图象有两个交点 11( , )Ay ， 22( , )By ， 所以方程 π πsin( )4 6 3 −=有两个实根 12， ， 又 8 8 8( ) 1 ( )3 9 3gh=  = ，所以易知有 12 8 3 ， 所以此时存在一个实数 1= 满足题设， 综上所述，存在两个正实数 满足题设，故应选 C. 二、填空题： 13. 3− 14. 63 15. 4 15 16. 4 3 16. 解析：由对称性不妨设 mn ，易知线段 MN 所在直线的方程为 1 2yx=−， 又 211 22x x x+  − ，点 P 必定不在曲线C 上， 不妨设 1( , )2P t t − ， ()m t n ，且过点 的直线l 与曲线 相切于点 2 0 0 0 1( , )2Q x x x+ ， 易知 0 |x x PQyk= = ，即 2 00 0 0 11( ) ( )221 x x t x xt + − − += − ，整理得 2 002 1 0x tx− − = ， （法一）显然 0 0x  ，所以 0 0 12tx x=−， 令 1()f x x x=− ， [ 1,0) (0,3]x− U ， 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 2 页 共 16页 如图，直线 2yt= 和函数 ()y f x= 的图象有两个交点， 又 ( 1) 0f −=，且 8(3) 3f = ，  802 3t，即 40 3t ， 40 3mn   ， ||mn− 的最大值为 4 3 ，故应填 ． （法二）由题意可知 013x−   ，令 2( ) 2 1f x x tx= − − ， 函数 ()fx在区间[ 1,3]− 上有两个零点， 则 2 ( 1) 2 0 (3) 8 6 0 13 4 4 0 ft ft t t − =   = − −    = + V ，解得 40 3t ， 40 3mn   ， 的最大值为 ，故应填 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ， 2 2 2+2a b c S−= . （1）求 cosC ； （2）若 cos sina B b A c+=， 5a = ，求b . 解：（1） 2 2 21= sin 22S ab C a b c S+ − =， ， 2 2 2 sina b c ab C + − = ， …………………………………………………………………2 分 在△ ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 sin sincos 2 2 2 a b c ab C CC ab ab +−= = = ， sin =2cosCC ， …………………………………………………………………………4 分 又 22sin +cos C=1C ， 2 55cos C=1 cosC= 5， ， 由于 (0,π)C ，则sin 0C  ，那么cosC>0，所以 5cosC= 5 . ………………………6 分 （2）（法一）在△ ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sinA B B A C+=，……………7 分 sin sin[π ( )] sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B A B= − + = + = + ， ………………………8 分 sin cos sin sin sin cos cos sinA B B A A B A B + = + ，即sin sin cos sinB A A B= ， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 3 页 共 16页 又 , (0,π)AB ， sin 0B，sin =cosAA ，得 4A = . ……………………………9 分 sin sin[π ( )] sin( )B A C A C= − + = + ， ……………………………………………10 分 2 5 2 2 5 3 10sin sin cos cos sin 2 5 2 5 10B A C A C = + =  +  = ， ………………11 分 在△ ABC 中，由正弦定理得 3 105sin 10 3sin 2 2 aBb A  = = = . ……………………………12 分 （法二） cos sina B b A c+=， 又 cos cosa B b A c+=， cos sin cos cosa B b A a B b A + = + ， …………………………………………………8 分 即sin cosAA= ，又 (0,π)A ， π 4A=. ……………………………………………9 分 在△ ABC 中，由正弦定理得 255sin 5 22sin 2 2 aCc A  = = = . ………………………10 分 cos cosb C A a C=+， 252 2 5 325c =  +  = . ………………………………………………………12 分 （法三）求 A 同法一或法二 在△ ABC 中，由正弦定理得 255sin 5 22sin 2 2 aCc A  = = = ， ………………………10 分 又由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ，得 2 2 3 0bb− − = ，解得 1b =− 或 3b = . 所以 3b = . ……………………………………………………………………………12 分 （余弦定理 2 2 2 2 cosa b c b A= + − ，得 2 4 3 0bb− + = ，解得 1b = 或 3b = . 因为当 1b = 时， 2 2 2+ -2 0a b c− =  ，不满足cosC>0 (不满足 2 2 2+ 2 2a b c S− = −  )，故舍去，所以 3b = ） 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三 角形问题，检验学生的数学知识运用能力. 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 4 页 共 16页 （第 18 题图） 18．（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，底面 ABCD 是平行四边形， 点 M ，N 分别在棱 1CC， 1AA上，且 1 2C M MC= ， 1 2A N NA= . （1）求证： 1 //NC 平面 BMD ； （2）若 1 3 2 2A A AB AD= = =， ， π 3DAB=，求二面角 N BD M−−的正弦值. 解：（1）证明：（法一）如图，连接 AC 交 BD 于点G ，连接 MG ．设 1CM的中点为 E ，连接 AE ．………2 分 ,GM是在△ ACE 边 ,CA CE 的中点，  //MG AE ， ……………………………………3 分 又 1 2C M MC= ， 1 2A N NA= ， 11//AA CC ， 四边形 1ANC E 是平行四边形，故 1 //NC AE ， 1 //NC GM ， …………………………………4 分 GM  平面 BMD ， 1 //NC 平面 BMD . …………………………………5 分 （法二）如图，设 E 是 1BB 上一点，且 12BE B E= ，连接 1EC . 设G 是 BE 的中点，连接GM . ……………………1 分 11//BE MC BE MC= ， ， 四边形 1BEC M 是平行四边形，故 1 //EC BM ， ……2 分 又 BM  平面 BMD ， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 5 页 共 16页  1 //EC 平面 BMD ， …………………………………3 分 同理可证 //NE AG ， //AG DM ，故 //NE DM ， //NE 平面 BMD ， …………………………………4 分 又 1EC NE ， 平面 1NEC ，且 1NE C E E= ， 平面 1 //NEC 平面 BMD ， 又 1NC  平面 1NEC ，所以 1 //NC 平面 BMD .……………5 分 （2）（法一）设二面角 N BD M−−为 ，二面角 N BD A−−为  ，根据对称性，二面角 M BD C−− 的大小与二面角 N BD A−−大小相等，故 π 2=− ， sin sin(π 2 ) sin2  = − = . 下面只需求二面角 M BD C−−的大小即可. ………7 分 由余弦定理得 2 2 2 2 cos 3BD AD AB AD AB DAB= + −   = ， 故 2 2 2AB AD BD=+， AD BD⊥ . ……………………8 分 四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 为直棱柱，  1DD ⊥ 底面 ABCD ， 1DD BD⊥ ， ……………………9 分 又 1,AD D D  平面 11ADD A ， 1AD D D D= ， BD⊥平面 11BDD B ， …………………………………10 分 ND  平面 11ADD A ， ND BD⊥， 所以二面角 N BD A−−的大小为 NDA ，即 NDA =， 在 Rt NAD 中， 12sin 22 AN ND = = = ， …………11 分 π 4 = ， π 2 = ， 二面角 N BD M−−的正弦值为1. …………………12 分 （法二）由余弦定理得 2 2 2 2 cos 3BD AD AB AD AB DAB= + −   = ， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 6 页 共 16页 故 2 2 2AB AD BD=+， AD BD⊥ . ……………………6 分 以 D 为坐标原点O ，以 1,,DA DC DD 分别为 , , x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意有 (0,0,0)D ， (0, 3,0)B ， ( 1, 3,1)M − ， (1, 3,1)N ， (0, 3,0)DB = ， ( 1, 3,1)DM =− ， (1, 3,1)DN = ，……7 分 设平面 MBD 的一个法向量为 ( , , )n x y z= ， 0 0 n DB n DM  = = ， 30 30 y x y z  = − + + = ， 令 1x = ，则 1z = ， 0y = ， (1,0,1)n= ，……………9 分 同理可得平面 NBD 的一个法向量为 (1,0, 1)m =−，……10 分 所以 0cos , 0 | || | 22 mnmn mn  = = =  ， ……………11 分 所以二面角 N BD M−−的大小为 π 2 ，正弦值为1. …12 分 【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力， 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力. 19．（本小题满分 12 分） 已知以 F 为焦点的抛物线 2: 2 ( 0)C y px p=过点 (1, 2)P − ，直线l 与C 交于 A ，B 两点，M 为 AB 中点，且OM OP OF+= uuur uuur uuur . （1）当 =3 时，求点 M 的坐标； （2）当 12OA OB= uur uuur 时，求直线 的方程. 解：（1）因为 (1, 2)P − 在 2 2y px= 上，代入方程可得 2p = ， 所以C 的方程为 2 4yx= ，焦点为 (1,0)F ， …………………………………2 分 设 00( , )M x y ，当 时，由 3OM OP OF+= uuur uuur uuur ，可得 (2,2)M ， ………………4 分 （2）（法一）设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ， 00( , )M x y ， 由OM OP OF+= uuur uuur uuur ，可得 00( 1, 2) ( ,0)xy + − = ，所以 0 =2y ， 所以 的斜率存在且斜率 12 1 2 1 2 0 42=1yyk x x y y y − = = =−+ ， ……………7 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 7 页 共 16页 可设l 方程为 y x b=+， 联立 2 4 y x b yx =+  = 得 22(2 4) 0x b x b+ − + = ， 224 4 =16 16 0b b b = − − − （2 ） ，可得 1b  ， ………………………………9 分 则 1242x x b+ = − ， 2 12x x b= ， 2 1 2 1 2 1 2( ) 4y y x x b x x b b= + + + = ， 所以 2 1 2 1 2 = 4 12OA OB x x y y b b = + + = uur uuur ， …………………………………11 分 解得 6b =− ，或 2b = （舍去）， 所以直线 的方程为 6yx=−. ……………………………………………12 分 （法二）设 的方程为 x my n=+， 11( , )A x y ， 22( , )B x y ， 00( , )M x y ， 联立 2 4 x my n yx =+  = 得 2 4 4 0y my n− − = ， 216 16 0mn = +  ， ………………6 分 则 124y y m+= ， 12 4y y n=− ， 2 1 2 1 2( ) 2 4 2x x m y y n m n+ = + + = + ， 所以 2(2 ,2 )M m n m+ ， …………………………………………………………7 分 由OM OP OF+= uuur uuur uuur ，得 2(2 1,2 2) ( ,0)m n m + + − = ，所以 1m = ， …………8 分 所以 的方程为 x y n=+， 由 16 16 0n = +  可得， 1n − ， ……………………………………………9 分 由 12 4y y n=− 得 2 212 12 () 16 yyx x n==， 所以 2 1 2 1 2 = 4 12OA OB x x y y n n = + − = uur uuur ， ………………………………………11 分 解得 6n = ，或 2n =− （舍去）， 所以直线 的方程为 6yx=−. ……………………………………………12 分 【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量 的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 20．（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 名患者的 相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位:天） ]2,0[ ]4,2( ]6,4( ]8,6( ]10,8( ]12,10( ]14,12( 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1） 求这 名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； 1000 x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 8 页 共 16页 （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 名患者中抽取 人，得到如下列联表. 请将列联表补 充完整，并根据列联表判断是否有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计 岁以上（含 岁） 100 岁以下 总计 （3）以这 名患者的潜伏期超过 天的频率，代替该地区 名患者潜伏期超过 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 20名患者， 其中潜伏期超过 天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附： 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK ++++ −= ，其中 dcban +++= . 解：（1） 5.4513151113092507310520538511000 1 =++++++= ）（x 天. ……………………………………………………………………………2 分 （2）根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计 50岁以上（含50岁） 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 则 21 25 10001080120 200)35554565( 2 2 = −=K 2.083 ， ………………………………………5 分 经查表，得 3.8412.0832 K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6 分 （3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 5 2 1000 400 = ， ……7 分 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ， 则 )5 2,02(~ BX , kk kCkXP −         == 02 02 5 3 5 2)( ， 0=k ，1， 2 ，…， 20， ………8 分 1000 200 50 50 50 55 200 1000 6 1 6 6 6 )( 0 2 kKP  0k深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 9 页 共 16页 由    −== +== )1()( )1()( kXPkXP kXPkXP 得                                          −− − − −+ + − kk k kk k kk k kk k CC CC 121 1 02 02 02 911 1 02 02 02 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 ， …………10 分 化简得    − −+ kk kk 3)12(2 )02(2)1(3 ，解得 5 42 5 37  k , 又 Nk ,所以 8=k ,即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人.…12 分 【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概 率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) e ln( 1)xf x a x= − − .（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数） （1）若 aR ，求函数 ()fx的极值点个数； （2）若函数 ()fx在区间(1,1+e )a− 上不单调，证明： 11 1 aaa++ . 解：（1）易知 ( 1)e() 1 xxafx x −− = − ， 1x  ， ………………………………………1 分 ①若 0a  ，则 ( ) 0fx  ，函数 在(1, )+ 上单调递增， 函数 无极值点，即函数 的极值点个数为0 ； ……………………2 分 ②若 0a  ， （法一）考虑函数 ( 1)e ( 1)xy x a x= − −  ， Q 1(1 ) e 0ay a a a a a++ = −  − = ， (1) 0ya= −  ， 函数 ( 1)e ( 1)xy x a x= − −  有零点 0x ，且 011xa  + ， e0xyx =， 函数 为单调递增函数， 函数 有唯一零点 ， 亦存在唯一零点 ， …………………………………4 分 当 0(1, )xx 时，易知 ( ) 0fx  ，即函数 在 0(1, )x 上单调递减， 当 0( , )xx + 时，易知 ( ) 0fx  ，即函数 在 0( , )x + 上单调递增， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 10 页 共 16页  函数 ()fx有极小值点 0x ，即函数 的极值点个数为1， ……………………5 分 综上所述，当 0a  时，函数 的极值点个数为0 ；当 0a  时，函数 的极值点个数为 . （法二）易知函数 exy = 的图象与 1 ay x= − ( 0)a  的图象有唯一交点 00( , )M x y ， 0 0 e 1 x a x= − ，且 0 1x  ，…………………………………………………………………3 分 当 0(1, )xx 时，易知 ( ) 0fx  ，即函数 在 0(1, )x 上单调递减， 当 0( , )xx + 时，易知 ( ) 0fx  ，即函数 在 0( , )x + 上单调递增， 函数 有极小值点 ，即函数 的极值点个数为 ， ……………………4 分 综上所述，当 时，函数 的极值点个数为 ；当 时，函数 的极值点个数为 . （注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分） （法三）对于 0a ，必存在 *n N ，使得 2 lnan a − ，即 2 lnna a− ， Q e1na−  ， 1 e 2 lne e e 0nana na aa a a−− + −−  −  − = ， 1eee(1 e ) 0e nana na na af −−+ − − − + =  ， 又 1 1e(1 ) =e 1 0 a aaafa a + +− + = −  ， 函数 ( 1)e() 1 xxafx x −− = − 有零点，不妨设其为 0x ， 显然 ( ) e ( 1)1 x af x xx  = − − 为递增函数， 为函数 ()fx 的唯一零点， …………………………………………………………4 分 当 时，易知 ，即函数 在 上单调递减， 当 时，易知 ，即函数 在 上单调递增， 函数 有极小值点 ，即函数 的极值点个数为 ， ……………………5 分 综上所述，当 时，函数 的极值点个数为 ；当 时，函数 的极值点个数为 . （2） Q函数 ()fx在区间(1,1+e )a− 上不单调， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页 存在 0 (1,1+e )ax − 为函数 ()fx的极值点， ……………………………………6 分 由（1）可知 0a  ，且 1+eee(1+e ) 0e aa a a af −− − − − =，即 1 +ee aa a−−  ， 两边取对数得1 +e lnaaa−−，即1+e lna aa− −， ………………………………7 分 （法一）欲证 11 1 aaa++ ，不妨考虑证 111+e ln1 a aaa −+  −+ ， 先证明一个熟知的不等式： e1x x+， 令 g( ) e 1xxx= − − ，则g ( ) e 1xx =−， g (0) 0 = ， 不难知道函数g( )x 的极小值（即最小值）为 g(0) 0= ， e 1 0x x− −  ，即 e1x x+， ……………………………………………………8 分 （思路 1：放缩思想） 11e=e1 a a a −  + ， 即 1 e1 a a −+ ， ………………………9 分 又 1 1 1ea a −  ， 11 e a a−  ， 11 lnaa− ，即 1 1 lnaa − ， ………………………11 分 ， . …………………………12 分 （思路 2：构造函数）令 1( ) ln 1aaa = + − ，则 22 1 1 1() aa a a a − = − = ， 不难知道，函数 ()a 有最小值 (1) 0 = ， ( ) 0a  ， …………………………10 分 当 0a  时， 1 e 1e01 ( 1)e a a a a aa − −−− = ++ ， …………………………………………11 分 11ln 1 e 01 aaaa −+ − + − + ，即 ， . …………………………………………………………………12 分 （法二）令 ( ) 1+e lnxF x x x−= − − ，则 1( ) e 1 0xFx x − = − − −  ， 函数 ()Fx为单调递减函数， 显然 (2) 2 ln2 2 0F  − −  ，且 ( ) 0Fa ， 02a， ①若01a，则 1 1 1 1 aa a a+  + ，即 11 1 aaa++ 成立； …………………………8 分 ②若12a，只需证 ， 不难证明 1 1 14 1 7 3a a a+++，只需证明 14 1+e ln73 a aa −−+ ， …………………………9 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页 令 14( ) e ln 173 aG a aa −= − + −+ ，12a，则 22 1 98 1 98( ) e (7 3) (7 3) aGa a a a a − = + −  −++ ， 当 时， 2 22 1 98 49 56 9 (7 3) (7 3) aa a a a a −+−=++ ， 显然函数 249 56 9y a a= − + 在[1,2] 上单调递增，且 (1) 2 0y =，  ( ) 0Ga  ，即函数 ()Ga为单调递增函数， ………………………………………10 分 当12a时， 2 1 2e 5( ) (1) 05 e 5eG a G − = − =  ，即 ( ) 0Ga  ， ………………11 分 14 1+e ln73 a aa −  −+ ，即 11 1 aaa++ ， 综上所述，必有 成立. …………………………………………………12 分 （法三）同（法二）得02a， ①若01a，则 1 1 1 1 aa a a+  + ，即 11 1 aaa++ 成立； …………………………8 分 ②若 ，只需证 111+e ln1 a aaa −+  −+ ， 令 11( ) e ln 11 aG a aaa −= + − + −+ ， ， 则 2 2 2 1 1 1( ) e e( 1) ( 1) aaaGa a a a −−− = − +  −++ ， 下证当 时， 2 1e0( 1) a a − −+ ，即证 2e ( 1)a a+，即证 2e1 a a+， ………9 分 令 2( ) e 1 a H a a= − − ， ， 则 21( ) e 12 a Ha =−，当 2ln2a = 时， ( ) 0Ha = ， 不难知道，函数 ()Ha在[1,2ln2) 上单调递减，在 (2ln2,2]上单调递增， 函数 ()Ha的最大值为 (1)H ，或 (2)H 中的较大值， 显然 (1) e 2 0H = −  ，且 (2) e 3 0H = −  ， 函数 的最大值小于 0 ，即 ( ) 0Ha ，亦即 ，…………………………10 分 ，即 ( ) 0Ga  ， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页 函数 11( ) e ln 11 aG a aaa −= + − + −+ ，12a单调递增， 易知 11(1) 02eG = −  ， ( ) 0Ga  ，即 111+e ln1 a aaa −+  −+ ，………………………11 分 当12a时，有 11 1 aaa++ 成立， 综上所述， 11 1 aaa++ . …………………………………………………………12 分 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题 的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性. 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 1C 的参数方程为    = +−= ,sin ,cos32   ty tx （t 为参数， 为倾斜角）， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为  sin4= ． （1）求 2C 的直角坐标方程； （2）直线 1C 与 2C 相交于 FE, 两个不同的点，点 P 的极坐标为(2 3,π) ，若 PFPEEF +=2 ， 求直线 的普通方程． 解：（1）由题意得， 2C 的极坐标方程为  sin4= ，所以  sin42 = ，………………1 分 又  sin,cos == yx ，………………2 分 代入上式化简可得， 0422 =−+ yyx ，………………3 分 所以 2C 的直角坐标方程 4)2( 22 =−+ yx ．………………4 分 （2）易得点 P 的直角坐标为 )0,32(− ， 将    = +−= ,sin ,cos32   ty tx 代入 2C 的直角坐标方程，可得 012)sin4cos34(2 =++− tt  ，………………5 分 22π(4 3cos 4sin ) 48=[8sin( )] 48 03   = + − + −  ， 解得 π 3sin( )32 + ，或 π 3sin( )32 +  − ， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页 不难知道 必为锐角，故 π 3sin( )32 + ， 所以 π π 2π 3 3 3 +  ，即 π0 3,………………6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1t ， 2t ，则  sin4cos3421 +=+tt ， 1221 =tt ，………………7 分 所以 1t 与 2t 同号， 由参数t 的几何意义可得， 1 2 1 2 π8 sin( )3PE PF t t t t + = + = + = + ， 22 1 2 1 2 1 2 π( ) 4 4 4sin ( ) 33EF t t t t t t = − = + − = + − ，………………8 分 所以 2 π π2 4 4sin ( ) 3 8 sin( )33 + − = + ， 两边平方化简并解得 πsin( ) 13 +=，所以 π 2 π6 k =+ ， k Z, 因为 π0 3，所以 π 6 = ，………………9 分 所以直线 1C 的参数方程为       = +−= ,2 1 ,2 332 ty tx 消去参数t ，可得直线 的普通方程为 0323 =+− yx ．………………10 分 【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的 几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养， 考察考生的化归与转化能力． 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 ,,a b c 为正数，且满足 1.a b c+ + = 证明： （1） 1 1 1 9abc+ +  ； （2） 8 .27ac bc ab abc+ + −  深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页 证明：（1）因为 ( )1 1 1 1 1 1a b ca b c a b c + + = + + + + 3 b a c a c b a b a c b c= + + + + + + 3 2 2 2 =9b a c a c b a b a c b c +  +  +  （当且仅当 1 3a b c= = = 时，等号成立）. ………………5 分 （2）（法一）因为 ,,a b c 为正数，且满足 1abc+ + = ， 所以 1c a b= − − ，且10a−，10b−，10c−， 所以 ac bc ab abc+ + − ()a b ab c ab= + − + ( ) 1a b ab a b ab= + − − − +（ ） ( 1)( 1)( )b a a b= − − + (1 )(1 )(1 )abc= − − − 3(1 ) (1 ) (1 ) 8 3 27 abc− + − + −= ， 所以 8 .27ac bc ab abc+ + −  （当且仅当 时，等号成立）. ………………10 分 （法二）因为 为正数，且满足 ， 所以 ，且 ， ， ， ( )1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc+ + − = − + + + + + − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1a b a c a bc a= − + − + − + − ( ) ( )11a b c bc= − − + + ( )( )( )1 1 1abc= − − − 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 16 页 共 16页 ( ) 33 8 3 27 abc− + +=  所以 8 .27ac bc ab abc+ + −  （当且仅当 1 3a b c= = = 时，等号成立）. ………………10 分 【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及 代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．