高中数学考点《平面向量》专项训练题

1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档； 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档； 3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现. 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2 是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→ |＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝ a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x＋y x＋y. 4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是OP→ ＝λ1OA→ ＋λ2OB→ (其中 λ1＋λ2＝ 1). (2)三角形中线向量公式：若 P 为△OAB 的边 AB 的中点，则向量OP→ 与向量OA→ ，OB→ 的关系是OP→ ＝ 1 2(OA→ ＋OB→ ). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝0⇔G(xA＋xB＋xC 3 ， yA＋yB＋yC 3 ). 热点一　平面向量的有关运算 【例 1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量 a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则 m＝________. 专题二 第 3 讲　平面向量 三角函数、解三角形、平面向量与数列 考向预测 知识与技巧的梳理 热点题型(2)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝ 1 2AB，BE＝ 2 3BC.若DE→ ＝λ1AB→ ＋λ2AC→ (λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋ λ2 的值为________. 解析　(1)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得 a⊥b，所以 a·b＝m×1＋1×2＝0，得 m＝－2. (2)DE→ ＝DB→ ＋BE→ ＝ 1 2AB→ ＋2 3BC→ ＝ 1 2AB→ ＋ 2 3(AC→ －AB→ )＝－ 1 6AB→ ＋ 2 3AC→ ，∵DE→ ＝λ1AB→ ＋λ2AC→ ， ∴λ1＝－ 1 6，λ2＝ 2 3，因此 λ1＋λ2＝ 1 2. 答案　(1)－2　(2) 1 2 探究提高　对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过 程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系. 【训练 1】(2017·衡阳二模)如图，正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若AC→ ＝λAM→ ＋μBN→ ，则 λ＋μ ＝(　　) A.2 B. 8 3 C. 6 5 D. 8 5 解析　法一　如图以 AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1， AM→ ＝(1， 1 2 )，BN→ ＝ (－1 2，1)，AC→ ＝(1，1). ∵AC→ ＝λAM→ ＋μBN→ ＝λ(1， 1 2 )＋μ(－1 2，1)＝(λ－μ 2，λ 2＋μ)， ∴{λ－1 2μ＝1， λ 2＋μ＝1， 解之得{λ＝6 5， μ＝2 5， 故 λ＋μ＝ 8 5. 法二　以AB→ ，AD→ 作为基底，∵M，N 分别为 BC，CD 的中点， ∴AM→ ＝AB→ ＋BM→ ＝AB→ ＋1 2AD→ ，BN→ ＝BC→ ＋CN→ ＝AD→ － 1 2AB→ ， 因此AC→ ＝λAM→ ＋μBN→ ＝(λ－μ 2 )AB→ ＋(λ 2 ＋μ)AD→ ，又AC→ ＝AB→ ＋AD→ ，因此{λ－μ 2＝1， λ 2＋μ＝1， 解得 λ＝ 6 5且 μ＝ 2 5.所以 λ＋μ＝ 8 5. 答案　D 热点二　平面向量的数量积 命题角度 1　平面向量数量积的运算 【例 2－1】(1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1＝OA→ ·OB→ ，I2＝OB→ ·OC→ ，I3＝OC→ ·OD→ ，则(　　) A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2 C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3 (2)(2016·山东卷)已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝1 3.若 n⊥(tm＋n)，则实数 t 的值为(　　) A.4 B.－4 C. 9 4 D.－ 9 4 解析　(1)如图所示，四边形 ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得 AO