高中数学考点《直线与圆》专项训练题

1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点； 2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线 问题，多为选择题、填空题． 1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．若给出的直线方程中存在 字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝|C1－C2| A2＋B2． (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 ． 3．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为 r． (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为 r＝ D2＋E2－4F 2 ． 4．直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：dr⇔相离． (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关系：Δ>0⇔相交； Δ＝0⇔相切；Δ0，b>0)． ∵点 P(2，3)在直线 l 上． 专题四 第 1 讲　直线与圆 解析几何 考向预测 知识与技巧的梳理 热点题型∴2 a＋3 b＝1，则 ab＝3a＋2b≥2 6ab， 故 ab≥24，当且仅当 3a＝2b(即 a＝4，b＝6)时取等号． 因此 S△AOB＝1 2ab≥12，即 S△AOB 的最小值为 12． 答案　12 探究提高　1．求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检 验，排除两条直线重合的可能性． 2．求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是 否符合题意． 【训练 1】 (2017·贵阳质检)已知直线 l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0⇔m＝1 或 m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要 条件． 答案　A　 热点二　圆的方程 【例 2】 (2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆 x2 16＋y2 4＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方 程为________． 解析　由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过顶 点(0，2)，(0，－2)，(4，0)． 设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2， 则有{m2＋4＝r2， （4－m）2＝r2，解得{m＝3 2， r2＝25 4 ， 所以圆的标准方程为(x－3 2 )2 ＋y2＝25 4 ． 答案　(x－3 2 )2 ＋y2＝25 4 探究提高　1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法求圆的方程． 【训练 2】圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 3，则圆 C 的 标准方程为________． 解析　设圆心(a，a 2 )(a>0)，半径为 a． 由勾股定理得( 3)2＋(a 2 )2 ＝a2，解得 a＝2． 所以圆心为(2，1)，半径为 2，所以圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4． 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝4 热点三　直线与圆的位置关系 【例 3】 (1) (2017·郑州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1，0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． (2)(2017·菏泽二模)已知圆 C 的方程是 x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线 l：y＝a(x－3)被圆 C 截得的弦长最短时， 直线 l 方程为________． 解析　(1)直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点 P(2，－1)，当 AP 与直线 mx－y－2m－1＝0 垂直，即点 P(2，－1) 为切点时，圆的半径最大， ∴半径最大的圆的半径 r＝ （1－2）2＋（0＋1）2＝ 2． 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2． (2)圆 C 的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9， ∴圆 C 的圆心 C(4，1)，半径 r＝3． 又直线 l：y＝a(x－3)过定点 P(3，0)， 则当直线 y＝a(x－3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短． 因此 a·kCP＝a·1－0 4－3＝－1，∴a＝－1． 故所求直线 l 的方程为 y＝－(x－3)，即 x＋y－3＝0． 答案　(1)(x－1)2＋y2＝2，(2)x＋y－3＝0 探究提高　1．研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想 解题． 2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长l 2，构成直角三角形的 三边，利用其关系来处理． 【训练 3】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2＋y2－12x－14y＋60＝ 0 及其上一点 A(2，4)． (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|＝|OA|，求直线 l 的方程； (3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TA→ ＋TP→ ＝TQ→ ，求实数 t 的取值范围． 解　(1)圆 M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心 M(6，7)，半径 r＝5， 由题意，设圆 N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)， 且 （6－6）2＋（b－7）2＝b＋5． 解得 b＝1，∴圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．(2)∵kOA＝2，∴可设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，即 2x－y＋m＝0． 又|BC|＝|OA|＝ 22＋42＝2 5， 由题意，圆 M 的圆心 M(6，7)到直线 l 的距离为 d＝ 52－(|BC| 2 )2 ＝ 25－5＝2 5， 即 |2 × 6－7＋m| 22＋（－1）2＝2 5，解得 m＝5 或 m＝－15． ∴直线 l 的方程为 2x－y＋5＝0 或 2x－y－15＝0． (3)由TA→ ＋TP→ ＝TQ→ ，则四边形 AQPT 为平行四边形， 又∵P，Q 为圆 M 上的两点，∴|PQ|≤2r＝10． ∴|TA|＝|PQ|≤10，即 （t－2）2＋42≤10， 解得 2－2 21≤t≤2＋2 21． 故所求 t 的范围为[2－2 21，2＋2 21]．1．(2016·全国Ⅱ卷)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝(　　) A．－4 3 B．－3 4 C． 3 D．2 2．(2016·山东卷)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－ 1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 3．(2016·全国Ⅰ卷)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x 2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的 面积为________． 4．(2017·天津卷)设抛物线 y 2＝4x 的焦点为 F，准线为 l．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴 相切于点 A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为________． 1．(2017·昆明诊断)已知命题 p：“m＝－1”，命题 q：“直线 x－y＝0 与直线 x＋m2y＝0 互相垂直”，则命题 p 是命题 q 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 2．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 3．(2015·全国Ⅱ卷)已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A．5 3 B． 21 3 C．2 5 3 D．4 3 4．(2017·北京卷)已知点 P 在圆 x 2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则 AO→ ·AP→ 的最大值为 ________． 5．(2015·全国Ⅰ卷)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围； (2)若OM→ ·ON→ ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|． 1．(2017·汉中模拟)已知过点(－2，0)的直线与圆 C：x2＋y2－4x＝0 相切于点 P(P 在第一象限内)，则过点 P 且 （45 分钟）限时训练 经典常规题 高频易错题 精准预测题与直线 3x－y＝0 垂直的直线 l 的方程为(　　) A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C． 3x＋y－2＝0 D．x＋ 3y－6＝0 2．(2017·济南调研)若直线 x－y＋m＝0 被圆(x－1)2＋y2＝5 截得的弦长为 2 3，则 m 的值为(　　) A．1 B．－3 C．1 或－3 D．2 3．(2017·广安调研)过点(1，1)的直线 l 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9 相交于 A，B 两点，当|AB|＝4 时，直线 l 的方 程为________． 4．(2017·池州模拟)某学校有 2 500 名学生，其中高一 1 000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身 体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数分别为 a，b，且 直线 ax＋by＋8＝0 与以 A(1，－1)为圆心的圆交于 B，C 两点，且∠BAC＝120°，则圆 C 的方程为 ________． 5．已知点 A(3，3)，B(5，2)到直线 l 的距离相等，且直线 l 经过两直线 l1：3x－y－1＝0 和 l2：x＋y－3＝0 的 交点，求直线 l 的方程．参考答案 1．【解题思路】 点到直线距离公式 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 ． 【答案】　圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4)． 由题意，得 d＝|a＋4－1| a2＋1 ＝1，解得 a＝－4 3．故选 A． 2．【解题思路】 弦心距结合勾股定理求弦长，再根据半径关系判断圆与圆之间的位置关系． 【答案】　圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为 x2＋(y－a)2＝a2， 由题意，d＝ a 2 ，所以有 a2＝a2 2 ＋2，解得 a＝2． 所以圆 M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交．故选 B． 3．【解题思路】 利用弦心距结合勾股定理求弦长列方程求半径． 【答案】　圆 C 的标准方程为 x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为 C(0，a)， 点 C 到直线 y＝x＋2a 的距离为 d＝|0－a＋2a| 2 ＝|a| 2 ． 又由|AB|＝2 3，得(2 3 2 )2 ＋(|a| 2 )2 ＝a2＋2，解得 a2＝2，所以圆 C 的面积为 π(a2＋2)＝4π．故填 4π． 4．【解题思路】 利用向量处理夹角问题． 【答案】　由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C(－1，a)(a>0)，则 A(0，a)． 又 F(1，0)，所以AC→ ＝(－1，0)，AF→ ＝(1，－a)． 由题意知AC→ 与AF→ 的夹角为 120°，得 cos 120°＝ －1 1 × 1＋a2＝－1 2，解得 a＝ 3． 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1．故填(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1． 1．【解题思路】 ． 【答案】　“直线 x－y＝0 与直线 x＋m2y＝0 互相垂直”的充要条件是 1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1． ∴命题 p 是命题 q 的充分不必要条件．故求 A． 2．【解题思路】 过圆上一点作圆的切线有且只有一条． 【答案】　依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2 上，且为切点． ∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为1 2，所以切线的斜率 k＝－2． 故圆的切线方程为 y－1＝－2(x－3)，即 2x＋y－7＝0．故选 B． 3．【解题思路】 待定系数法求圆的方程． 【答案】　设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 经典常规题 高频易错题 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + =∴{1＋D＋F＝0， 3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0， ∴{D＝－2， E＝－4 3 3 ， F＝1， ∴△ABC 外接圆的圆心为(1，2 3 3 )， 因此圆心到原点的距离 d＝ 12＋(2 3 3 )2 ＝ 21 3 ．故选 B． 4．【解题思路】 设出 P 点坐标，直接利用向量数量积定义即可． 【答案】　由题意知，AO→ ＝(2，0)，令 P(x，y)，－1≤x≤1， 则AO→ ·AP→ ＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO→ ·AP→ 的最大值为 6．故填 6． 5．【解题思路】 (1)直线与圆相交，可得 d