南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考
数学试卷2020.1.14
一、填空题
1.已知集合 A＝ {-1，0，2}， B＝ {-1，1，2}， 则 A∩B =________.
2.已知复数 z 满足(1+ i) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.
3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.
4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.
5.已知等差数列{an} 的公差 d 不为 0 ，且 a1，a2，a4 成等比数列，则的值为_____.
6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.
7.在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1＝AB＝2 ，则三枝锥 A1 - BB1C1 的体积为______.
8.已如函数.若当 x ＝时，函数 f (x) 取得最大值，则w 的最小值为______.
9. 已 知 函 数 f (x) ＝ (m - 2)x2 + (m - 8)x (m ÎR ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x Î R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.
10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A，B 分别在双曲线C : x2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.
11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.
12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若，则 BD 的最小值为______.
13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C1 : x2 + y 2 ＝ 8 与圆C2 : x2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A，B 两点.若圆C1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______.
14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x) + 2af (x)+1- a2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是______.
二、解答题
15. (本小题满分 14 分)
如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^ 平面 ABC ， PC ^ AB ， D， E 分别为 BC， AC 的中点。
求证: (1) AB / / 平面 PDE ;
(2)平面 PAB ^ 平面 PAC .
16. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中，已知AC＝4，BC＝3，cosB＝－ 。
(1)求sin A 的值:
(2)求 的值。
17. (本小题满分 14 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E :的焦距为 4 ，两条准线间的距离为8 ， A， B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。
(1)求椭圆 E 的标准方程:
(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC ＝ 4 ，点 M ， N 分别在边 BC，CD 上， AM 与
BN 相交于第一象限内的点 P .
①若 M ， N 分别是 BC，CD 的中点，证明:点 P 在椭圆 E 上;
②若点 P 在椭圆 E 上，证明: 为定值，并求出该定值。
18. (本小题满分 16 分)
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，
小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋转q 到三角形A1B1C1 ，且 .顺次连结 A， A1，B，B1，C，C1，A ，得到六边形徽标 AA1BB1CC1 .
(1)当q ＝ 时，求六边形徽标的面积;
(2)求六边形微标的周长的最大值.
19. (本小题满分 16 分)
已知数列{an}满足： a1 ＝ 1， 且当 n ³ 2 时，
（1）若 l ＝ 1， 证明：数列{a2n-1}是等差数列；
（2）若 l ＝ 2.
①设 ，求数列{bn} 的通项公式；
②设，证明：对于任意的 p， mÎ N *，当 p > m， 都有 p ³ Cm.
20. (本小题满分 16 分)
设函数，其中 e 为自然对数的底数.
（1）当 a ＝ 0 时，求函数 f (x) 的单调减区间；
（2）已知函数 f (x) 的导函数 f ¢(x) 有三个零点 x1， x2， x3(x1 < x2 < x3).
①求 a 的取值范围；
②若 m1， m2(m1 < m2) 是函数 f (x) 的两个零点，证明： x1 < m1 < x1 +1.
21．【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
已知，向量是矩阵的属于特征值3 的一个特征向量．
（1）求矩阵；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点（2,2），求点P的坐标．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t 为参数），椭圆C 的
参数方程为 ( 为参数)．求椭圆C 上的点到直线l的距离的最大值
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10 分）
已知a，b，c都是正实数，且．
证明： ．
22．(本小题满分10 分)
如图，在直四棱柱中ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2 ， ．
（1）求二面角C1－B1C－D1的余弦值；
（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．
23．(本小题满分10 分)
一只口袋装有形状、大小完全相同的5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1 只.
现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1 只球.
（1）当n=3时，求恰好取到3 次红球的概率；
（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量
求Y的数学期望（用n表示）
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