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数学参考答案（文科）
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 B C A B A D D B A C D C
1．【解析】根据复数模的性质. 4 3 5| | | | 51 2 5
iz i
。
2.【解析】集合 ( 2,1)B ，所以 { 2,1,2}UA B （ ） ，有 3 个元素。
3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于 0，反过来不成立。
4.【解析】 3927 =3.14161250 ， 355 =3.141592113
， 22 =3.1428577
， 9.8684=3.14140096 ，故选 B。
5.【解析】 (1) 1 ( ( 1) 1)f f ，所以 ( 1) 3f 。
6.【解析】任意一个和 1 1ACC A 平行的平面，和线段 1A B ， 1B C 相交所得的 MN 都符合要求。
7.【解析】 1 1=1n
n ka n k n k
，由 k 是正数及反比例函数的单调性知 5 0k 且 6 0k ，故选 D。
8.【解析】 12 11 10 1320sum ，判断框在 12,11,10i 都满足条件， 9i 不满足，故选 B
9.【解析】 ( ) 1 ( ) 32 2f f ， ，故选 A。
10.【解析】 2 2 2 21 1 1 1 53 22 2 2 2 2AO BC AO AC AO AB AC AB
.
11.【解析】设点 0
0
1( , )P x x ，切线 l 方程为 2
00
1 2y x xx ，所以 0
0
2(2 ,0), (0, )A x B x ，
点 0
0
1( , )P x x 是 AB 中点，S 2AOB ,命题（1）（2）都正确。过原点作倾斜角等于15
和 75 的 2 条射线与曲线的交点为 ,M N ，由对称性知 OMN 是等边三角形，命题（3）
正确。过原点作 2 条夹角等于 45 的射线与曲线的交点为 ,M N ，当直线 OM 的倾斜角从 90 减少到 45 的过
程中， OM
ON 的值从 + 变化到 0 ，在这个过程中必然存在 OM
ON 的值为 2 和 2
2
的时刻，此时 OMN 是等腰
直角三角形，命题（4）正确.
12.【解析】令
' 2( ) 2 0f x x x ，得 1 20, 2x x ，在开区间 ( , 5)a a 内的最小值一定是
4(2) 3f
。
可求 4( 1) (2) 3f f ，所以 1 2
5 2
a
a
，得实数 a 的取值范围是[ 1,2) 。第 2 页 共 4 页
13.【答案】 7
25 【解析】 ， 为锐角
24 3sin 1 5 5
，
23 4sin( ) 1 5 5
2 24 3 7sin sin sin cos cos sin 5 5 25
14.【答案】 55 【解析】由已知三棱锥对棱相等，可以补形为长方体，设长方体的长宽高分别为 cba ,, ，
可得 110493625)(2 222 cba ， 55222 cba ， 554 2 R ， 55S 。
15.【答案】 7
30 【解析】由题设，奇函数 ( )f x 关于直线 1x 对称，所以函数是周期函数，且最小正周期 4T ，
所以 10 3 2 1 2 1 1 1 7( ) ( ) ( ) ( )3 10 3 10 3 10 3 10 30f f f f 。
16.【答案】 3 【解析】 21 sin sin 12S AB AC A AC A ，所以 2 1
sinAC A ，
根据余弦定理 2 2 2 2 5 4cos2 cos (5 4cos ) sin
ABC AB AC AB AC A A AC A
所以 2 4sin 4cos 16 sin( ) 5BC A A BC A ，可得 4 16 5BC ，解得 3BC 。
17.【解析】(1)设等比数列 na 的公比为 q ，因为 3 3 3
4 5 6 1 2 3 6 3 3 3( ) (1 )a a a q a a a S S q S q S
所以 3 631 9 27q q ，所以 3 1 1 1 12 4 7 1S a a a a ，所以 12n
na 。………………………5 分
（2）因为 1 2( 1) 2 1n na b n n ，所以 1(2 1) 2 (2 1)n
n nb a n n
因此 1 2= 1 2 2 ) (1 3 2 1) 2 1n n
nT n n （ . ………………………………………………10 分
18.【解析】（1）由题意，侧面 PAB 是等腰直角三角形， 3 2 2 2PB PM ，
作 / /MN BC 交 PC 于 N ,连接 DN .因为 2 2
33 2
PM MN MN
PB BC ,所以 2MN ,又 / / , / / , 2MN BC AD BC AD ,
所以 / / ,MN AD MN AD且 ,四边形 AMND 是平行四边形， / /AM DN
又 DN PCD 平面 ,所以 / /AM PCD平面 。…………………………………6 分
（2）由题设 / / , , AD/ /AD BC BC PBC PBC 平面 所以 平面 ,
因此点 D 到平面 PMC 的距离等于点 A 到平面 PBC 的距离。
由已知 AD PAB 平面 ,所以 BC PAB 平面 ,可得 PBC PAB平面 平面 ，
作 AN PB 于 N ，则 AN PBC 平面 ， AN 的长度就是点 A 到
平面 PBC 的距离。 PAB 是等腰直角三角形，所以 3 22AN ,
即点 D 到平面 PMC 的距离等于 3 22
。………………………………………………………………12 分
（如用等体积等其他方法求距离，正确即给满分）第 3 页 共 4 页
19.【解析】（1）根据正弦定理
2 2 2sin sin 2 2cossin sin
a A B a c bBb B B ac
所以 2 2 2 2( )a c b a c b ，整理得 2 2a b bc 。 …………………………………………………………4 分
（2）由（1）得 2 26 4 4 5c c ，根据角平分线定理 CA CB
AD BD ,可得 2, 3AD BD ; …………6 分
设 CD x ，由 ADC BDC ,得
2 24 16 9 36cos cos 04 6
x xADC BDC x x
， ……………10 分
解得 3 2x ，所以角平分线 CD 的长等于 3 2 。…………………………………………………………12 分
说明：第（1）小题用相似三角形证明给分，第（2）题角平分线定理也可以用面积比得到，过程正确均给
满分。
20.【解析】（1）连接 BD ，由题设 1 1 1 1/ / ,BB DD BB DD ,
所以四边形 1 1BB D D 是平行四边形，所以 1 1/ /BD B D .
由题设，四边形 ABCD 是等腰梯形，取 AD 中点 E ,连接 ,BE CE ,
因为 2, / /BC DE BC DE ,所以四边形 BCDE 是平行四边形，
2BE CD ,所以 AE DE BE ,得到
2ABD ,因此 AB BD .
又由题设， 1 1BB ABC BB BD 平面 ,又 1AB BB B
所以 1 1BD ABB A 平面 ,又 1 1/ /BD B D （已证）
所以 1 1 1 1B D ABB A 平面 ，而 1 1 1 1 1B D B C D 平面 ,因此 1 1 1 1 1B C D ABB A平面 平面 。…………………………6 分
（2）如图，平面 1 1BDD B 把多面体分成两部分，分别计算。
易求 2 3, 3ABD BCDS S .多面体 1 1 1ABD A B D
可分为一个三棱锥和一个三棱柱，多面体 1 1 1BCD B C D 可看成三棱柱 1 2 1BCD B C D 截去三棱锥 2 1 1 1C B C D .
1 2
1 1(2 3 2 2 3 2) ( 3 2 3 1) 7 33 3V V V .（如用补形为棱柱计算也可以）…………12 分
21.【解析】函数 ( )f x 的定义域是 (0, ) ，
（1） 1a 时， 21( ) 2ln ( 0)2f x x x x a ，求导得
2
' 2 2 ( 1)( 2)( ) 1 x x x xf x x x x x
，
令 ' ( ) 0f x 得 (0,1)x ，令 ' ( ) 0f x 得 (1 +x ， ），
所以 ( )f x 的单调递减区间是 (0,1) ，上单调递增区间是 (1, ) 。…………………………………………4 分
（2）
2
' 2 2( ) 1 ax xf x ax x x
，记 2( ) 2g x ax x ，若 ( )f x 在定义域内是单调函数，
则导函数在定义域内没有变号零点， ( )g x 在 (0, ) 没有变号的零点。
根据二次函数的性质， 0a 时， 1 2
21 8 0, 0a x x a ，一定有正根 1x ，第 4 页 共 4 页
在区间 10, )x（ 上 '( ) 0, ( ) 0, ( )g x f x f x 单调递减，
在区间 1 + )x （ ， 上 '( ) 0, ( ) 0, ( )g x f x f x 单调递增，不合题意。
当 0a 时，若 11 8 0 8a a ，此时 ( )f x 在定义域内是单调递减，符合题意；若 11 8 0 8a a > ，
此时有 3 4 3 4
1 20, 0x x x xa a ，则 ( )g x 有两个不相等的正根， ( )f x 有 2 个极值点，不是单调函数。
综上所述，若函数 ( )f x 在定义域内是单调函数，求实数 a 的取值范围是 1, ]8 （- 。 …………………12 分
22.【解析】（1）令 '( ) ( )=e cosxg x f x x ，则 ' ( ) sinxg x e x ，显然 'g ( )x 在 ( ,0)4
单调递增。
因为 ' ' 4 2(0) 1, ( ) 04 2g g e
，（因为
1 1
3 4 4 2 4 24 4 2 2 2e e e e
）
故存在唯一的 0 ,0)4x （- 使得 '
0( ) 0g x .所以当 0, )2x x（- 时， ' ( ) 0g x ，
当 0( ,0)x x 时， ' ( ) 0g x ，所以函数 ( )g x 在区间 0( , )2 x 上单调递减，在区间 0( ,0)x 上单调递增，
所以函数 ( )g x ，即 ' ( )f x 在区间 ( ,0)2
存在唯一的极小值点 0x ，且 0 ,0)4x （ 。…………………6 分
（2）当 ( , )2x 时， ' ( )=e cos 0xf x x ， ( )f x 单调递增， 2( ) 1 0 ( )= 02f e f e
，
2( ) ( ) ( 1) 02f f e e
，所以 ( )f x 在区间 ( , )2
上存在唯一的零点。
( 0)2x ， 时，由（1）当 0, )2x x（- 时， ' ( ) 0g x ， ( )g x 单调递减， 2( ) 02g e
，
0( ) ( ) 04g x g ，所以存在 1 0( , )2x x ，使得 1( ) 0g x 。
当 1( , )2x x ， '( ) ( ) 0g x f x ，当 '
1( ,0), ( ) ( ) 0,x x g x f x
所以 ( )f x 在 ,0)2
（- 先递增后递减， 2( )= 0 (0) 02f e f
， ， ( )f x 在 ,0)2
（- 没有零点；
因为 (0) 0f ，所以 0x 是 ( )f x 的第二个零点；
(0, )x 时， ' ( )=e cos 0xf x x ， ( )f x 单调递增， ( ) (0) 0f x f ，没有零点。
综上所述，当 ( , )x 时， ( )f x 有且只有两个零点。…………………………………………………12 分
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