人教A版数学必修4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时跟踪检测含解析.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 课时跟踪检测（二十三） 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 层级一　学业水平达标 ‎1．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．3‎ C．－ D．－3‎ 解析：选D　向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.‎ ‎2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ 解析：选B　由a⊥b得a·b＝0，‎ ‎∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，‎ ‎∴a＋b＝(3，－1)，‎ ‎∴|a＋b|＝＝.‎ ‎3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　)‎ A．－12 B．－6‎ C．6 D．12‎ 解析：选D　2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.‎ ‎4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选C　设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.‎ ‎5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：选A　由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.‎ ‎∴∠BAC＝90°，‎ 故△ABC是直角三角形．‎ ‎6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－，则a＝(1，－1)，故|a|＝.‎ 答案： ‎7．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.‎ 解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，‎ ‎∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，‎ ‎∴cos θ＝＝，∴θ＝.‎ 答案： ‎8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则向量b的坐标为________．‎ 解析：设b＝(x，y)(y≠0)，则依题意有解得故b＝.‎ 答案： ‎9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.‎ ‎(1)若a⊥b，求x的值；‎ ‎(2)若a∥b，求|a－b|.‎ 解：(1)若a⊥b，‎ 则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)‎ ‎＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，‎ 即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.‎ ‎(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，‎ 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.‎ 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，‎ a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.‎ 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，‎ a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.‎ 综上，|a－b|＝2或2.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．‎ ‎(1)求·及|＋|；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，‎ ‎∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.‎ ‎∵＋＝(－2，－6)，‎ ‎∴|＋|＝＝2.‎ ‎(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，‎ ‎∴(－t)·＝0，‎ ‎∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，‎ ‎∴t＝－1.‎ 层级二　应试能力达标 ‎1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．|a|＝|b|　　　　　　　　　 B．a·b＝ C．a－b与b垂直 D．a∥b 解析：选C　由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．‎ ‎2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　)‎ A．(－3,0) B．(2,0)‎ C．(3,0) D．(4,0)‎ 解析：选C　设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，‎ ‎∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，‎ 故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．‎ ‎3．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，‎ ‎∴x＞.‎ ‎4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥ (O 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 为坐标原点)，则点C的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设C(x，y)，则＝(x，y)．‎ 又＝(－3,1)，‎ ‎∴＝－＝(x＋3，y－1)．‎ ‎∵∥，‎ ‎∴5(x＋3)－0·(y－1)＝0，∴x＝－3.‎ ‎∵＝(0,5)，‎ ‎∴＝－＝(x，y－5)，＝－＝(3,4)．‎ ‎∵⊥，∴3x＋4(y－5)＝0，∴y＝，‎ ‎∴C点的坐标是.‎ ‎5．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ 解析：因为向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.‎ 因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以＝，即＝，所以＝，‎ 解得m＝2.‎ 答案：2‎ ‎6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为______．‎ 解析： ‎ 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．‎ 则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，‎ 设E(1，a)(0≤a≤1)．‎ 所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，‎ ‎·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 答案：1　1‎ ‎7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；‎ ‎(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.‎ 解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，‎ ‎∴x2＋y2＝20.‎ 由c∥a和|c|＝2，‎ 可得解得或 故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，‎ 即2a2＋3a·b－2b2＝0，‎ ‎∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，‎ ‎∴cos θ＝＝－1.‎ 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.‎ ‎8．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ (λ2≠λ)．‎ ‎(1)求·及在上的投影；‎ ‎(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；‎ ‎(3)求||的最小值．‎ 解：(1)·＝8，设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，‎ ‎∴在上的投影为||cos θ＝4×＝2.‎ ‎(2)＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)·－(1－λ)＝(λ－1)，所以A，B，C三点共线．‎ 当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.‎ ‎(3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)·＋λ2‎ ‎＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，‎ ‎∴当λ＝时，||取到最小值，为2.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎