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邹城一中数学月考检测
一、单选题
1．已知 是第四象限角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知 ，则 ( ).
A. B. C. D.
3．函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ )的图象如图，则 φ=（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
5．已知向量 且 与 互相垂直，则 （ ）
A. B. C. . D. .
6．等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A.12 B.10 C.9 D.
7．等差数列 中，已知 ， ，则 的前 项和 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，边 ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且满足
，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．以下关于 的命题，正确的是
A．函数 在区间 上单调递增
3sin 5
α = − tan( )4
π α− =
5− 5 7− 7
tan 3α =
2 2
2
sin 2cos
sin cos sin
α α
α α α
+ =+
3
8
9
16
11
12
7
9
2
π
3
π−
6
π−
6
π
3
π
,a b 2
3
π 1, 2a b= = a b+ =
3 3 7 7
( ) ( )1 1 , 1 0a b= = − ， ， ka b+ a k =
1
3
1
2
1
3
− 1
2
−
{ }na 7 0a > 3 9 0a a+ < { }na n nS
4S 5S 6S 7S
ABC a b c A B C
( )cos 3 cosb C a c B= − 4BC BA⋅ = ac
12 11 10 9
( ) sin 2 cos2f x x x= −
( )f x 20, 3
π
α试卷第 2 页，总 4 页
B．直线 需是函数 图象的一条对称轴
C．点 是函数 图象的一个对称中心
D．将函数 图象向左平移需 个单位，可得到 的图象
10．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设
， ， ，则 的大小关系是( )
A． B．
C． D．
11．点 为 所在平面内一点， 则
的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．已知数列 中， ，若对于任意的
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知数列 为等差数列且 ，则 ______．
14．已知 ，则 _____．
15．已知向量 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数 的取
值范围为______．
16．在 中，角 的对边分别为 ， 且 面积为
，则面积 的最大值为_____．
三、解答题
8x
π= ( )y f x=
,04
π
( )y f x=
( )y f x=
8
π
2 sin 2y x=
( )f x ( , )−∞ +∞ ( ,0]−∞
4(log 7)a f= 1
2
(log 3)b f= 1.6(2 )c f= , ,a b c
c a b< < b c a< <
c b a< < a b c< <
O ABC△ ,
| | | |
AB ACOA OB OA OC AO
AB AC
λ ⋅ = ⋅ = +
ABC△
{ }na 1 12, ( ) 1,n n na n a a a n N ∗
+= − = + ∈
[ ] *2,2 ,a n N∈ − ∈ 21 2 11
na t atn
+ < + −+ t
( ] [ ), 2 1,−∞ − ∪ +∞ ( ] [ ), 2 2,−∞ − ∪ +∞
( ] [ ), 1 2,−∞ − ∪ +∞ [ ]2,2−
( ) 2 12 3f x x xf ′= + −
1( )3f ′ − =
( )4,2a = ( ),1b λ= 2a b+ a b− λ
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2b = ABC∆
( )2 2 23
12S b a c= − − S试卷第 3 页，总 4 页
17．设函数 ，其中 .已知 .
（1）求 ；
（2）将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），再将
得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最
值.
18．已知向量 ， ，函数
．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，内角 、 、 所对边的长分别是 、 、 ，若 ，
， ，求 的面积 .
19．已知数列 的前 项和为 ，且 2， ， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
π π( ) sin( ) cos( )3 2f x x xω ω= − + − 0 3ω< < π( ) 03f =
ω
( )y f x= 1
4
π
4
( )y g x= ( )g x π π[ , ]3 6
−
( )3sin , 2cosa x x= − ( )2cos ,cosb x x=
( ) 1( )f x a b x= ⋅ + ∈R
( )f x
ABC∆ A B C a b c ( ) 2f A =
4C
π
= 2c = ABC∆ ABCS∆
{ }na n nS na nS
{ }na
n nb n a= ⋅ { }nb n nT试卷第 4 页，总 4 页
20．数列 满足： ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求满足 的最小正整数 .
21．如图，已知菱形 的边长为 2， ，动点 满足
， .
（1）当 时，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
22．已知 是自然对数的底数，函数 与 的定义域都是
.
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）判断函数 零点个数;
（3）用 表示 的最小值，设 ， ，若函数
在 上为增函数，求实数 的取值范围．
{ }na 21 2
2 3 1
naa a n nn
+ +⋅⋅⋅+ = ++
*n∈N
{ }na
1
n
n
b a
= { }nb n nS 9
20nS > n
ABCD 120BAD∠ = ° ,M N
,BM BC DN DCλ µ= = , 0λ µ ≠
1
2
λ µ= = | |AM AN−
2AM AN = − •
1 1
λ µ+
e
2
( ) x
xf x e
= 1( ) ( )F x f x x x
= − +
(0, )+∞
( )f x (1, (1))f
( )F x
min{ , }m n ,m n 0x > 1( ) min ( ),g x f x x x
= −
2( ) ( )h x g x cx= − (0, )+∞ c试卷第 5 页，总 9 页
参考答案
1．D
【详解】因为 ，且 为第四象限角，则 ， ，故选 D.
所以 .
2．C
【详解】因为 ，所以 ，于是有
，故本题选 C.
3．B
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为|φ|＜ ，因此 ，故选 B.
4．B
【详解】
，因此， ，故选：B。
5．B
【详解】由题意， ，解得 .故答案为 B.
6．C
【详解】由等比中项的性质可得 ，
等比数列 的各项均为正数，则 ，
3sin 5
α = − α 4cos 5
α = 3tan 4
α = −
1 tantan 4 1 tan
π αα α
− − = +
31 4 731 4
− − = = + −
tan 3α = 2cos 0α ≠
2 2
2 2 2
22
2
2
2
sin 2cos
sin 2cos 2 11
sin cos sinsin cos sin tan tan 1
tancos
cos
2
α
α α
α α α
α α αα α α α α
α
+
+ += = =++ +
2 3 6 2
T π π π = − − =
2, 2T T
ππ ω= = =
sin 2 13
π ϕ × + =
2 2 ( ), 2 ( )3 2 6k k Z k k Z
π π πϕ π ϕ π+ = + ∈ = − + ∈
2
π
6
πϕ = −
( )22 2 22 2 22 2 cos 3a b a b a a b b a a b b
π+ = + = + ⋅ + = + ⋅ +
11 2 1 2 4 32
= + × × × − + = 3a b+ =
( ) ( ) ( )2
1 1 1 0ka b a ka a b k+ ⋅ = + ⋅ = + + − = 1
2k =试卷第 6 页，总 9 页
由对数的运算性质得
，故选：C.
7．C
【详解】∵等差数列 中， ，∴ ，即 .又 ，∴
的前 项和 的最小值为 .故答案选 C
8．A
【详解】在 中，
由正弦定理可得
化为：
即
在 中， ，故
,
可得 ，即 故选
9．D
A 选项， 函数先增后减，错误
B 选项， 不是函数对称轴，错误
C 选项， ，不是对称中心，错误
{ }na 3 9 0a a+ < 3 9 62 0a a a+ = < 6 0a < 7 0a > { }na
n nS 6S
ABC ( )3bcosC a c cosB= −
( )sin cos 3sin sin cosB C A C B= −
3sin cos sin cos sin cosA B C B B C∴ − = 3sin cos sin cos sin cosA B C B B C= +
( )sin sinB C A+ =
ABC sin 0A ≠ 1cos 3B =
4BC BA⋅ =
cos 4ac B = 12ac = A
( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4f x x x x
π= − = −
132 ( , )4 4 13 2
20, xx
π π ππ ∈ ⇒
− ∈ −
2 08 4x x
π π= ⇒ − =
24 4 4x x
π π π= ⇒ − =试卷第 7 页，总 9 页
D 选项，图象向左平移需 个单位得到 ，正确
故答案选 D
10．C
【详解】解： 是定义在 上的偶函数，
，
， ， ，
在 ， 上是增函数， 在 ， 上为减函数，
则 ，即 ，故选： ．
11．B
【详解】
,
所以 .
AO 在∠BAC 的角平分线上，
所以 AO 既在 BC 边的高上，也是∠BAC 的平分线，
所以△ABC 是等腰三角形.故选：B
12．B
【详解】
由题，
即
由累加法可得：
即
8
π
2 sin(2( ) ) 2 sin 28 4y x x
π π= + − =
( )f x ( , )−∞ +∞
1 2 2
2
(log 3) ( log 3) (log 3)b f f f∴ = = − =
2 2 4 42 log 4 log 3 log 9 log 7 1= > = > > 1.6 12 2> 1.6
4 20 log 7 log 3 2< < <
(−∞ 0] ∴ [0 )+∞
1.6
4 2(log 7) (log 3) (2 )f f f> > c b a< < C
, ) 0OA OB OA OC OA OB OC OA CB⋅ = ⋅ ∴ ⋅ − = ⋅ =
（
OA BC⊥
| | | |
AB ACAO
AB AC
λ = +
∴
( ) ( )1 11 1 1n n n n nn a a a na n a+ +− = + ⇒ = + +
( )1 1 1 1
1 1 1
n na a
n n n n n n
+ − = = −+ + +
1 1 1 2 1
11 1 1 2 1
n n n n na a a a a a a an n n n n
+ + − = − + − + + − + + + −
1 1 1 1 1 1 11 2 3 31 1 1 2 1
na
n n n n n n
+ = − + − + + − + = − 试卷第 9 页，总 9 页
求得 ，且 ．
16．
【详解】
，
由余弦定理 得： （当且仅当
时取等号）
本题正确结果：
17．解：
（1）因为 .
由题设知 ，所以 ，故 ，又 ，
所以 .……………………5 分
（2）由（1）得 .
将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得
……………………6 分
再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象
所以 .……………………7 分
1 11 1 11λ− < < + 2λ ≠
4 2 3−
( ) ( )2 2 23 3 12 cos sin12 12 2S b a c ac B ac B= − − = ⋅ − =
sin 3tan cos 3
BB B
∴ = = −
( )0,B π∈
5
6B
π∴ = 3cos 2B∴ = − 1sin 2B =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )2 28 3 2 3a c ac ac= + + ≥ + a c=
( )8 8 2 3
2 3
ac∴ ≤ = −
+
1 1sin 4 2 32 4S ac B ac∴ = = ≤ −
4 2 3−
( ) π π πsin cos 3sin3 2 6f x x x xω ω ω = − + − = −
π 03f =
π π π,3 6 k k Z
ω − = ∈ 1 3 ,2 k k Zω = + ∈ 0 3ω< <
1
2
ω =
( ) 1 π3sin 2 6f x x = −
( )y f x= 1
4
π3sin 2 6y x = −
π
4
( )y g x=
( ) π3sin 2 3g x x = + 试卷第 10 页，总 9 页
，……………………8 分
所以当 ，即 时， 取得最小值 ，……………………9 分
当 ，即 时， 取得最大值 . ……………………10 分
18．【详解】
（1）
……………………4 分
令 ， 解得
∴ 的增区间是 ， ……………………6 分
（2）
∵ ∴ 解得 ……………………8 分
又∵ ∴ 中，
由正弦定理 得 ……………………10 分
∴ ……………………12 分
19．【详解】
（1）当 时， ， ， ……………………1 分
由题意知 成等差数列，所以 ① ,
可得 ②
①-②得 ， ……………………4 分
所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
.……………………6 分
π π 2π2 ,3 3 3x + ∈ −
π π2 3 3x + = − π
3x = − ( )g x 3
2
−
π π2 3 2x + = π
12x = ( )g x 3
( ) 1f x a b= ⋅ + 22 3sin cos 2cos 1x x x= − +
3sin 2 cos2x x= − 2sin 2 6x
π = −
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ + k Z∈
6 3k x k
π ππ π- £ £ +
( )f x ,6 3k k
π ππ π − + k Z∈
( ) 2sin 2 26f A A
π = − =
0 A π< < 2 6 2A
π π− =
3A
π=
4C
π
= ABC∆ 5
12B
π=
sin sin
a c
A C
= sin 6sin
c Aa C
= =
1 sin2ABCS ac B∆ = 1 6 2 3 36 22 4 2
+ += × × × =
1n = 1 12 2a a= + 1 2a =
2, ,n na S 2 2n na S= +
1 12 2 2( )n na S n− −= + ≥
12 ( 2)n na a n−= ≥
{ }na
2n
na∴ =试卷第 11 页，总 9 页
（2）由（1）可得 ，用错位相减法得：
①
② ……………………8 分
①-②可得 .……………………12 分
20． 【详解】（1）∵ ．
n=1 时，可得 a1＝4，……………………1 分
n≥2 时， ．
与 ．
两式相减可得 ＝（2n﹣1）+1=2n，……………………4 分
∴ ．n=1 时，也满足，∴ .……………………6 分
（2） = ……………………8 分
∴Sn ，……………………10 分
又 ，可得 n>9，可得最小正整数 n 为 10．……………………12 分
21．【详解】
（1）当 时， 分别为 的中点，
此时易得 且 的夹角为 ，则
;……………………6 分
（2）
，故 .……………………13 分
22．【详解】
2n
nb n= ⋅
2 3 42 2 2 3 2 4 2 2n
nT n= + × + × + × +⋅⋅⋅+ ×
2 nT = 2 3 12 2 2 ( 1) 2 2n nn n ++ × +⋅⋅⋅+ − × + ×
1( 1) 2 2n
nT n += − ⋅ +
21 2
2 3 1
naa a n nn
+ +⋅⋅⋅+ = ++
211 2 1 12 3
naa a n nn
−+ +⋅⋅⋅+ = − + −
21 2
2 3 1
naa a n nn
+ +⋅⋅⋅+ = ++
1
na
n +
( )2 1na n n= + ( )2 1na n n= +
( )
1 1
2 1n
n
b a n n
= = +
1 1 1
2 1n n
− +
1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 2 3 1 2 1n n n
= − + − +…+ − = − + +
9
20nS >
1
2
λ µ= = ,M N ,BC CD
3AM AN = = ,AM AN 60
2( ) 3 2 3 3 cos60 3 3AM AN AM AN °− = − = − × × + =
( ) ( )AM AN AB BM AD DN⋅ = + ⋅ + AB AD AB DN BM AD BM DN= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
1 12 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 ( )2 2
µ λ λ µ⇒ − = × × − + × + × + × × −
4( ) 2 2( )λ µ λµ λ µ λµ⇒ + = ⇒ + = 1 1 1
2
λ µ
λ µ λµ
++ = =试卷第 12 页，总 9 页
（1）∵ ，∴切线的斜率 ， .
∴函数 在点 处的切线方程为 .……………………3 分
（2）∵ ， ，∴ ， ，
，……………………5 分
∴ 存在零点 ，且 .∵ ，
∴当 时， ；当 时，由 得
.∴ 在 上是减函数.
∴若 ， ， ，则 .∴函数 只有一个零点 ，且
.……………………8 分
（3） ，故 ，……………9 分
∵函数 只有一个零点 ，∴ ，即 .∴ .
∴ 在 为增函数 在 ， 恒成立. ………………10 分
当 时 ，即 在区间 上恒成立.
设 ，只需 ，
， 在 单调递减，在 单调递增.
的最小值 ， .
当 时， ，由上述得 ，则 在 恒成
立. ……………………12 分
(2 )( ) x
x xf x e
−′ = 1(1)k f e
′= = 1(1)f e
=
( )f x 11, e
1y xe
=
1( ) ( )F x f x x x
= − + 2
( ) x
xf x e
= 1(1) 0F e
= > 2
4 3(2) 02F e
= − <
(1) (2) 0F F <
( )F x 0x 0 (1,2)x ∈
2
(2 ) 1( ) 1x
x xF x e x
′ −= − −
2x ≥ ( ) 0F x′ < 0 2x< <
2(2 )(2 ) 12
x xx x
+ − − ≤ =
2 2 2
1 1 1 1( ) 1 1 1 0xF x e x x x
′ ≤ − − < − − = − < ( )F x (0, )+∞
1 > 0x 2 0x > 1 2x x≠ ( ) ( )1 2F x F x≠ ( )F x 0x
0 (1,2)x ∈
0
2
0
1 ,0
( )
,x
x x xxg x
x x xe
− < ≤=
>
2
0
2
2
0
1 ,0
( )
,x
x cx x xxh x
x cx x xe
− − < ≤=
− >
( )F x 0x ( )0 0F x =
0
2
0
0
0
1
x
xx x e
− =
0
2
2 20
0 0 0
0
1
x
xx cx cxx e
− − = −
( )h x (0, )+∞ ( ) 0h x′⇔ ≥ ( )00, x ( )0 ,x +∞
0x x> (2 )( ) 2 0x
x xh x cxe
′ −= − ≥ 2
2 x
xc e
−≤ ( )0 ,x +∞
( )0
2( ) 2 x
xu x x xe
−= > min[ ( )]c u x≤
3( ) 2 x
xu x e
′ −= ( )u x ( )0 ,3x (3, )+∞
( )u x min 3
1[ ( )] (3) 2u x u e
= = − 3
1
2c e
≤ −
00 x x< <
2
1( ) 1 2h x cxx
′ = + − 0c < ( ) 0h x′ > ( )00, x试卷第 13 页，总 9 页
综上述，实数 的取值范围是 .……………………13 分c 3
1, 2e
−∞ −
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