河南省豫西名校2019-2020高二上学期第一次联考数学试卷（PDF版附答案）.pdf

高二数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 豫西名校 2019—2020 学年上期第一次联考 高二数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B D B C B D C D A 1．【解析】在 ABC△ 中，由正弦定理得 sin sin a b A B= ，所以 3 2 sinsin 4 2 3sin sin 3 a Bb A π π ⋅⋅= = = . 2．【解析】 5 6 32 a a a+ = +∵ ， 4 4 42 2a d a d a d∴ + + = + + − ，解得： 4 2a = ， ( )1 7 7 4 7 7 142 a aS a+∴ = = = 3．【解析】设竹竿与地面所成的角为 α ，影子长为 x m．由正弦定理，得 2 =sin 60 sin(120 ) x α− ，所以 4 3 sin(120 )3x α= °− ，因为 30 120 120α° < ° − < ° ，所以当 120 90α° − = ° ，即 30α = °时， x 有最大值，故竹竿与地面所成的角为 30° 时，影子最长． 4．【解析】因为 ( ) 4 5 7 1 3a a a a q+ = + ＝ q4， ( ) 8 9 11 1 3a a a a q+ = + ，所以 q8+q4＝ 20，所以 q4＝ 4 或 q4＝- 5（舍），所以 q2＝ 2， 1 3a a+ 2 1 1a a q= + = 13a ＝ 1，所以 1a 1 3= ． 5．【解析】因为 26 2na n= − ，所以数列 { }na 是以 1 24a = 为首项，公差 2d = − 的等差数列， 所以 ( ) 2 1 1 252n n nna d n nS −= + = − + ，由二次函数的性质可得：当 13n = 或 12时， nS 最大 . 6．【解析】在 ABC△ 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，已知 2 cos cosb c B b C= + ，由正弦 定理得 ( )2sin sin cos sin cos sin sinB C B B C B C A= + = + = ，由正弦定理有 2b a= ，故 2.a b = 7．【解析】数列 { }na 中， 1 2 1n na a+ = + ，故 ( )1 1 2 1n na a+ + = + ，因为 1 1a = ，故 1 1 2 0a + = ≠ ， 故 1 0na + ≠ ，所以 1 1 21 n n a a + + =+ ，所以 { }1na + 为等比数列，公比为 2 ，首项为 2 ，所以高二数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 1 2n na + = ，即 2 1n na = − ，故 6 63a = . 8．【解析】 ∵ sin sin a c A C= ， 4 sin 3 cosc A a C∴ = 变形为： 4sin sin 3sin cosC A A C= ， 又 A∵ 为三角形的内角， sin 0A∴ ≠ ， 4 sin 3 cosC C∴ = ，即 3tan 4C = ， C∵ 为三角形的内角，可得： 3sin 5C = ， 4b=∵ ， 1 1 310 sin 42 2 5S ab C a= = = × × × ， ∴解得 25 3a = ． 9．【解析】设等差数列 { }na 的公差为 ( )0d d ≠ ，由题意， ( ) ( )( ) 1 2 1 1 1 3 3 9 2 1 1 4 1 a d a d a d a d + = + − = + − + − ，解得 1 1 2 a d =  = ． ∴ 5 5 4 25 1 252S × ×= × + = ． 10．【解析】∵ sin2 2 sin 0b A a B+ = ，∴由正弦定理可得 sin sin2 2sin sin 0B A A B+ = ， 即 2sin sin cos 2sin sin 0B A A A B+ = .由于 sin sin 0B A ≠ ，∴ 2cos 2A = − ∵ 0 A π< < ，∴ 3 4A π= .又 2b c= ，由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 2 5a b c bc A c c c c= + − = + + = ，∴ 5 5 c a = . 11．【答案】 D 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列， 3 1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 153N = + + + + + + + + = ， 4 1 (1 2 3 4+ +14 15 16) 344N = + + + + + =⋯ ， 5 1 (1 2 3 4 23 24 25) 655N = + + + + + + + =⋯ ， …， 2 2 2 21 1 (1 ) ( 1)(1 2 3 4 5 ) 2 2n n n n nN nn n + +∴ = + + + + + …+ = × = ． 故 2 9 9(9 1) 9 41 3692N += = × = ． 高二数学参考答案 第 3 页（共 7 页） 12．【解析】 2A C=∵ ，由正弦定理 sin sin c a C A= ，即 sin sin 2 2sin cos c a a C C C C= = ， ( ) 1cos 2 2 1 a nC c n +∴ = = − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 2 2 1 1 4cos 2 2 1 2 1 n n na b c nC ab n n n + + − −+ − += = =+ + ， ( ) ( ) 1 4 2 1 2 1 n n n n + +∴ =− + ，解得 5n = ，由大边对大角定理可知角 C 是最小角， 所以 6 3cos 2 4 4C = =× . 二、填空题 13． 1− 14．- 8 15． 9π 16． 3 32       ， 13．【解析】法一：令 1n = ，则 3 2 1 5 1 4a a a= − = − = ； 令 2n = ，则 4 3 2 4 5 1a a a= − = − = − ； 令 3n = ，则 5 4 3 1 4 5a a a= − = − − = − ；令 4n = ，则 ( )6 5 4 5 1 4a a a= − = − − − = − ； 令 5n = ，则 ( )7 6 5 4 5 1a a a= − = − − − = ；令 6n = ，则 ( )8 7 6 1 4 5a a a= − = − − = ∴数列 { }na 为周期为 6 的周期数列， 2020 336 6 4 4 1a a a× +∴ = = = − . 法二： 2 1 *( )n n na a a n N+ += − ∈ ①， 3 2 1n n na a a+ + += − ②，① +②得 3 2 1 2 1n n n n n na a a a a a+ + + + ++ = − + − ， 3n na a+∴ = − ， 6 3n n na a a+ +∴ = − = ， { }na∴ 周期为 6， 2020 336 6 4 4a a a× +∴ = = ， ∴由 1 21, 5a a= = ，得 3 44 1a a= = −, ． 14．【解析】等差数列 { }na 的公差 2d = ， 1a ， 3a ， 4a 成等比数列，可得 2 3 1 4a a a= ，即为 2 1 1 1( 4) ( 6)a a a+ = + ，解得 1 8a = − ，则 8 18 ( 8) 8 7 2 82S = × − + × × × = − ． 15．【解析】由正弦定理知： cos cos 2 sin cos 2 sin cos 2b A a B R B A R A B+ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ， 即 ( ) 1sin sinA B C R+ = = ， 2 2cos 3C = ， 1sin 3C = ，即 3R = .故 2 9S Rπ π= = . 高二数学参考答案 第 4 页（共 7 页） 16．【解析】由 3( cos cos ) 2 sina B b A c C+ = 及余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 3( )2 2 a c b b c aa bac bc + − + −⋅ + ⋅ = 2 sinc C ，即 3 2 sinc c C= ，所以 3sin 2C = ．又 ABC△ 为锐角三角形，所以 3C π= ．由正弦定理可得 sin 3 sin 2sin b Cc B B= = ．由 0 2B π< < 且 20 3 2Bπ π< − < 可得 6 2Bπ π< < ，所以 1 sin 12 B< < ，所以 3 3 32 2 sin B< < ，即 3 32 c< < ．故 c 的取值范围为 3( , 3)2 ． 三、解答题 17．【解析】 （ 1）设等差数列 { }na 的公差为 d 由题意可得： 1 1 1 1 3 6 5 3 3 a d a d a d a d + + + =  + = + ，解得 1 1 1 a d   = ． 所以数列 { }na 的通项公式为 1 1na n n= + − = ……（ 5 分） （ 2）由（ 1）知 ( )1 2n n nS += ， 因为 ka ， 3ka ， 2kS 成等比数列，所以 2 3 2k k ka a S= ⋅ ，即 ( )29 2 1k k k k= ⋅ + 解得 4k = ． ……（ 10 分） 18．【解析】 （ 1）当 2n ≥ 时，由 1 1nS − − ， nS ， 1nS + 成等差数列得： 1 12 1n n nS S S− += − + ， 即 1 1 1n n n nS S S S− +− = − − ，即 1 1n na a += − ( )2n ≥ ， 则 1 1n na a+ − = ( )2n ≥ ，又 2 1 1a a− = ， 故数列 { }na 是公差为 1 的等差数列．……（ 6 分） 高二数学参考答案 第 5 页（共 7 页） （ 2）由（ 1）知数列 { }na 的公差为 1， 由 0nS = ， 1 4nS + = 得 1 4na + = ，即 1 4a n+ = ① 由 0nS = 得 ( ) 1 1 02 n nna −+ = ，即 1 1 02 na −+ = ② 可解得： 7n = ．……（ 12 分） 19．【解析】 （ 1）等差数列 { }na 的公差设为 d ，前 n 项和为 nS ， 由 4 32S = ， 13 221S = ． 得 14 6 32a d+ = ， 113 78 221a d+ = ，解得 1 5a = ， 2d = ， 得 ( )2 1 25 3n n na + − = += . ……（ 4 分） （ 2）由 1 2 3n n nb b a n+ − = = + ， 可得 ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1n n nb b b b b b b b −= + − + − + … + − ( ) 13 5 7 2 1 (2 4) ( 2)2n n n n n= + + +…+ + = ⋅ + = + ，所以 1 1 1 1 2 2nb n n  = − +  ， 故数列 1 nb       前 n 项和： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n  = − + − + − + + − + − − + +  ⋯ 1 3 1 1 2 2 1 2n n  = − − + +  ．……（ 12 分） 20．【解析】 （ 1）因为 cos cos cos 2 2 sin cosC A B A B+ = ， 所以 cos( ) cos cos 2 2 sin cosA B A B A B− + + = ， 即 sin sin 2 2 sin cosA B A B= ，因为 sin 0A ≠ ，所以 sin 2 2 cos 0B B= > ， 高二数学参考答案 第 6 页（共 7 页） 又因为 2 2sin cos 1B B+ = ，解得： 1cos 3B = . ……（ 6 分） （ 2）∵ 2a c+ = ，可得 2c a= − ， 由余弦定理可得： 2 2 2 2 2 22 cos 3b a c ac B a c ac= + − = + − 2 2 22 8 4(2 ) (2 ) ( 1)3 3 3a a a a a= + − − − == − + ， ∵ 0 2a< < ，∴ 2 3 23 b≤ < ， 所以 b 的取值范围为 2 3 ,23      .……（ 12 分） 21．【解析】 （ 1） ∵点 ( ), nn S 在函数 ( ) 21 1 2 2f x x x= + 的图象上， 21 1 2 2nS n n∴ = + 当 2n ≥ 时， ( ) ( )2 1 1 11 12 2nS n n− = − + − ，② ①-②得 na n= . 当 1n = 时， 1 1 1a S= = ，符合上式， ( )* na n n∴ = ∈N ．……（ 4 分） （ 2）由（ 1）得 ( )2 1 1 2n na a n n+ = + 1 1 1 2 2n n  = − +  ， 1 3 2 4 2 1 1 1 n n n T a a a a a a + ∴ = + + +⋯ 1 1 1 1 1 112 3 2 4 2n n  = − + − + + − +  ⋯ 3 1 1 1 4 2 1 2n n  = − + + +  ． ( )( )1 1 01 3n nT T n n∵ + − = >+ + ， ∴数列 { }nT 单调递增， 所以数列 { }nT 中的最小项为： 1 1 3T =高二数学参考答案 第 7 页（共 7 页） 要使不等式 ( )1 log 13n aT a> − 对任意正整数 n 恒成立，只需 ( )1 1 log 13 3 a a> − ， 即 ( )log 1 loga aa a− < ，解得 10 2a< < ， 即实数 a 的取值范围为 10, 2      .……（ 12 分） 22．【解析】 （ 1） , ,a b c∵ 依次成等差数列，且公差为 2 ， 2b a c b∴ − = − = ， 2b c∴ = − ， 4a c= − ， 2 3ACB π∠ =∵ ，由余弦定理得： ( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 2 4 22 1cos 3 2 2 2 4 2 c c ca b c ab c c π − + − −+ −= = = −− − ， 整理得： 2 9 14 0c c− + = ，解得： 7c = 或 2c = 又 4 0a c= − > ，则 4c > ， 7c∴ = .……（ 6 分） （ 2）设 B θ= ，外接圆的半径为 R ，则 2Rπ π= ，解得： 1R = ， 由正弦定理可得： 2 2sin sin sin a b c RA B C= = = = ， 22sin sinsin 33 b a c ππθ θ ∴ = = =  −   可得： 2sinb θ= ， 2sin 3a θπ = −   ， 3c = ， 所以 ABC△ 的周长 ( ) 2sin 2sin 33f a b c πθ θ θ = + + = + − +   2sin 2sin cos 2cos sin 3 sin 3 cos 3 2sin 33 3 3 π π πθ θ θ θ θ θ = + − + = + + = + +   ， 又 0, 3 πθ  ∈   ， 2 3 3 3 π π πθ∴ < + < ， ∴当 3 2 π πθ + = ，即 6 πθ = 时， ( )f θ 取得最大值 2 3+ .……（ 12 分）