宜昌市部分示范高中教学协作体 2019 年秋 9 月联考
高三（理科）数学
(全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟)
一、选择题(12*5=60 分)
1. i 是虚数单位，z(2-i)=5i，|z|=（ ）
A． B. C.2 D.
2.全集 ,集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.命题“矩形的对角线相等”的否定及真假，描述正确的是（）
A、矩形的对角线都不相等，真 B、矩形的对角线都不相等，假
C、矩形的对角线不都相等，真 D、矩形的对角线不都相等，假
4. 如果 x，y 是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也
不必要条件
5.小波一星期的总开支分布如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,则小波一星期的鸡蛋
开支占总开支的百分比为( )
A. B. C. D .
2 3 5
}6,5,4,3,2,1,0{=U }1
6|{ NxNxA ∈+∈= =ACU
}6,5,4,3,2{ }6,5,4,3{ }6,4,3{ }5,4,3{
1% 2% 3% 5%6．椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A．2 B． C． D．
7.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则 ( )
A. B. C. D.
8.定义在 R 上的奇函数 满足 ，若 ，则 的值
是（ ）
A.0 B.1 C.505 D.2020
9.函数 的零点的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.函数 在区间(-2,m)上有最大值，则 m 的取值范围是（ ）
A. （-1,+∞) B.（-1,1] C.（-1,2) D.（-1,2]
11.已知函数 是定义在 R 上的函数，且满足 其中 是
的导函数，设 ， ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12.若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为 9，
当其外接球表面积最小时，它的高为( )
A. B. C. D.
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
2
3 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
3 2 2
5
1
1
xy x
+= − ( )3,2 1 0ax y+ + = a =
2 2− 1
2
− 1
2
)(xf )1()1( xfxf −=+ 1)1( =f )2020(f
xxxxxf sin)1()( 2 +−+=
xxxf 3)( 3 −=
)(xf 0)()( ' >+ xfxf )(' xf )(xf
)0(fa = )2(ln2 fb = )1(efc = cba ,,
abc >> cba >> bac >> acb >>
3 2 2 2 3 3 3二、填空题(4*5=20 分)
13.计算：
14.幂函数 在 上增函数，则 =
15.函数 的最大值为 3，则
16. 在一段线路中有 4 个自动控制的常用开关 A、B、C、D，如图连接在一起。假
定在 2019 年 9 月份开关 A，D 能够闭合的概率都是 0.7，开
关 B，C 能够闭合的概率都是 0.8，则在 9 月份这段线路能正
常工作的概率为
三、解答题
17.(12 分) 设函数 与 的定义域是 且 , 是偶函数, 是奇函数,
且
（1）求 和 的解析式.
（2）求 的值
18.(12 分)如图直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，截面 AB1C1⊥平面 AA1B1B.（12 分）
（1）求证：A1B1⊥B1C1
=⋅+÷− −
4log3log4)8log125
1(log 32
2
1
2
22 2
)22( −−−= mxmmy ),0( +∞ m
2sin2cos)( 2 +−−= xaxxf =a
( )f x ( )g x x R∈ 1x ≠ ± ( )f x ( )g x
1( ) ( ) 1f x g x x
+ = −
( )f x ( )g x
)4()3()2()2
1()3
1()4
1( gggggg +++++（2）记二面角 A-B1C1-A1 的大小为 ，直线 AC1 与平面 A1B1C1 所成的角为 ，
试比较 与 的大小
19 .(12 分)如图所示，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)均在抛物线上．（12 分）
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程．
（2）若直线 PA 和 PB 的倾斜角互补，求 y1＋y 2 的值及直线 AB 的斜率．
20.(12 分)2018 年 12 月 18 日上午 10 时,在人民大会堂举行了庆祝改革开放 40 周年大会.40
年众志成城,40 年砥砺奋进,40 年春风化雨,中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史
诗.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放 40 年变化的老照片,并从众多
照片中抽取了 100 张照片参加“改革开放 40 年图片展”,其作者年龄集中在[25,85]之间,根
据统计结果,做出频率分布直方图如下:
α β
α β（1）求这 100 位作者年龄的样本平均数 和样本方差 (同一组数据用该区间的中点值作代
表);
（2）由频率分 布直方图可以认为,作者年龄 服从正态分布 ,其中 近似为样本平均
数 , 近似为样本方差 .
(i)利用该正态分布，求 ;
(ii)央视媒体平台从年龄在[45,55]和[65,75]的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了 7 人
参加“纪念改革开放 40 年图片展”表彰大会,现要从中选出 3 人作为代表发言,设这 3 位发言
者的年龄落在区间[45,55]的人数是 Y,求变量 Y 的分布列和数学期望.
附: ,若 ,则 ,
21.(12 分)已知函数 (其中常数 ).
（1）求函数 的定义域及单调区间;
（2）若存在实数 ,使得不等 成立,求 的取值范围.
选做题(10 分)
( ) xef x x a
= − 0a <
( )f x
( ],0x a∈ ( ) 1
2f x ≤ a22. 已知直线 l 的极坐标方程是 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程是 ,（ 为参数）.
（1）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长;
（2）从极点作曲线 C 的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.
23.已知 .若函数 的最小值为 2.
（1）求 的值;
（2）证明:
πsin( ) 03
ρ θ − =
2cos
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
α
0, 0, 0a b c> > > ( )f x x a x b c= + + − +
a b c+ +
1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +宜昌市部分示范高中教学协作体 2019 年秋 9 月联考
高三（理科）数学参考答案
1-12 DCDCC DBABD AA
13、20； 14、 3； 15、 ； 16、 0.9676
17.(1)∵
①
∴ 1 分
∵ 是偶函数， 是奇函数
∴ ② 3 分
①②相加得 ， 5 分 进而 6 分
（2）∵ ∴ 9 分
∴ 10 分
∴
12 分
18（1）提示：在平面 AA1B1B 内作 A1D⊥AB1，
易证 B1C1⊥A1D , B1C1⊥A1A,(3 分)
从而 B1C1⊥AA1B1B,所以 B1C1⊥A1B1 （6 分）
（2）提示： = ∠AB1A1, =∠AC1A1 8 分
设 AA1=a,AB1=b,AC1=c, 则 a（1）设抛物线解析式为 ，把（1，2）代入得 ，
∴抛物线解析式为 3 分，准线方程为
4 分
（2）∵直线 PA 和 PB 的倾斜角互补
∴ ,5 分∴
7 分
∴ ，∴
9 分
12 分
20（1）这 位作者年龄的样本平均数 和样本方差 分别为
2 分
5
分
（2）.(i)由 1 知, ,从而
;8 分
(ii)根据分层抽样的原理,可知这 人中年龄在 内有 人,在 内有 人,
故 可能的取值为 ,
,
10 分
所以 的分布列为
0 1 2 3
pxy 22 = 2=p
xy 42 = 1−=x
0=+ PBPA kk 014/
2
14/
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1 =−
−+−
−=−
−+−
−
y
y
y
y
x
y
x
y
02
1
2
1
21
=+++ yy 421 −=+ yy
14
4/4/ 12
2
1
2
2
12
12
12 −=+=−
−=−
−=
yyyy
yy
xx
yyk AB所以 的数学期望为
12 分
21. 解析：
（1）.函数 的定义域为 . 1 分
.
由 ,解得 .
由 ,解得 且 .
所以 的单调递增区间为 ,单调递减 区间为 . 4 分
（2）.有题意可知, 且 在 上的最小值小于等于 时,存在实数
,使得不等式 成立. 5 分
若 即 时,
, , 的变化情况如下表:
极小值
所以 在 上的最小值为 .
则 ,得 . 9 分
若 即 时, 在 是单调递减,
在 上的最小值为 .
( )f x { }|x x a≠
( ) ( )
( )2
1'
x xe x a ef x
x a
− − ⋅=
−
( )
( )2
1xe x a
x a
− + =
−
( )' 0f x > 1x a> +
( )' 0f x < 1x a< + x a≠
( )f x ( )1,a + +∞ ( ) ( ), , , 1a a a−∞ +
0a < ( ) xef x x a
= − ( ],0a 1
2
( ],0x a∈ ( ) 1
2f x ≤
1 0a + < 1a < −
x ( )f x ( )'f x
x ( ), 1a a + 1a + ( )1,0a +
( )'f x − 0 +
( )f x
( )f x ( ],0a ( ) 11 af a e ++ =
1 1
2
ae + ≤ 1ln 12a ≤ −
1 0a + ≥ 1a ≥ − ( )f x ( ],0a
( )f x ( ],0a ( ) 10f a
= −由 得 (舍).
综上所述, 即为所求. 12 分
22 答案
（1）.由题意可知,直线 l 的直角坐标系方程是 ,1 分
曲线 C 的普通方程是 , 2 分
则圆心 C 到直线 l 的距离 , 3 分
故所求的弦长是 . 5 分
（2）.从极点作曲线 C 的弦,弦的中点的轨迹 的参数方程为 ,（ 为参数）,
且 ,其普通方程为 , 8 分
极坐标方程为 ,化简得 . 10 分
23 答案
（1）.∵
当且仅当 时,等号成立, 3 分
∴ 的最小值为 ,∴ . 5 分
（2）.由 1 可知, ,且 都是正数,
所以
9 分
1 1
2a
− ≤ 2a ≤ −
1ln 12a ≤ −
3y x=
2 2( 2) 4x y+ − =
2 1
3 1
d = =
+
22 2 1 2 3− =
'C cos
1 sin
x
y
α
α
=
= +
α
3π 3π[0, ) ( ,2π)2 2
α ∈ ∪ 2 2( 1) 1( 0)x y y+ − = ≠
2 2 sin 0ρ ρ θ− = 2sin ( 0)ρ θ ρ= ≠
( ) ( ) ( )f x x a x b c x a x b c a b c a b c= + + − + ≥ + − − + = + + = + +
a x b− ≤ ≤
( )f x a b c+ + 2a b c+ + =
2a b c+ + = , ,a b c
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1
4 a b b c c aa b b c c a a b b c c a
+ + = + + + + + + + + + + + + +
1 34
b c a b b c c a a b a c
a b b c c a b c c a a b
+ + + + + + = + + + + + + + + + + + +
( )1 93 2 2 24 4
≥ + + + =当且仅当 时,取等号,所以 得证 10 分
1a b c= = = 1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +
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