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第四章圆与方程章末质量检测(有解析新人教A版必修2)

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y W.Com章末质量检测(四) 圆的方程
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.圆心坐标为(1,-1),半径长为2的圆的标准方程是( )
A.(x-1)2+(y+1)2=2  B.(x+1)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y+1)2=4  D.(x+1)2+(y-1)2=4
解析:由圆心坐标和半径长可知圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=4.
答案:C
2.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )
A.以(1,-2)为圆心,11为半径的圆
B.以(1,2)为圆心,11为半径的圆
C.以(-1,-2)为圆心,11为半径的圆
D.以(-1,2)为圆心,11为半径的圆
解析:原方程可化为(x+1)2+(y-2)2=11,所以表示以(-1,2)为圆心,11为半径的圆.
答案:D
3.直线l:y=kx+12与圆C:x2+y2=1的位置关系是( )
A.相交或相切 B.相交或相离
C.相切          D.相交
解析:方法一 圆C的圆心(0,0)到直线y=kx+12的距离d=12kk2+1,
∵d2=14k2k2+1<14<1,∴所判断的位置关系为相交.
方法二 直线l:y=kx+12过定点-12,0,而点-12,0在圆C:x2+y2=1内部,故直线l与圆C相交.
答案:D
4.设圆x2+y2-8x-9=0的弦AB的中点为P(5,2),则直线AB的方程为( )
A.2x-5y=0    B.2x-y-8=0
C.x+2y-9=0  D.5x-2y-21=0
解析:因为x2+y2-8x-9=0可化为(x-4)2+y2=25,
所以圆心为C(4,0),故kPC=2-05-4=2.
又PC⊥AB,所以kAB=-12.
故AB所在的直线方程为y-2=-12(x-5).
即x+2y-9=0.选C.
答案:C
5.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△EOF(O是原点)的面积为( )
A.32      B.34
C.25  D.655
解析:圆(x-2)2+(y+3)2=9的圆心为(2,-3),半径r=3,圆心到直线的距离d=|2+6-3|1+4=5,弦长为29-5=4,原点到直线的距离为|0+0-3|1+4=355,所以S=12×4×355=655.
答案:D
6.关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法:
①OP的中点坐标为12,1,32;
②点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3);
③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3);
④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3).
其中正确说法的个数是( )
A.2  B.3
C.4  D.1
解析:①显然正确;点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故②错;点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故③错;④显然正确.
答案:A
7.若a∈-2,0,1,54,则方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0表示圆的个数为( )
A.0  B.1
C.2  D.3
解析:由(3a)2+a2-452a2+a-1>0得a<1,所以a只能取-2与0,所以方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0表示圆的个数为2.
答案:C
8.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12    B.2或-12
C.-2或-12  D.2或12
解析:由3x+4y=b得y=-34x+b4,代入x2+y2-2x-2y+1=0,并化简得25x2-2(4+3b)x+b2-8b+16=0,Δ=4(4+3b)2-4×25(b2-8b+16)=0,解得b=2或12.
答案:D
9.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )
A.相离  B.外切
C.相交  D.内切
解析:圆x2+y2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径为1,圆x2+y2+4y=0的标准方程为x2+(y+2)2=4,圆心为(0,-2),半径为2.∴圆心距d=?1-0?2+?0+2?2=5<1+2=3,且5>2-1=1,∴两圆相交.
答案:C
10.已知点P(x,y)满足x2+y2-2y=0,则u=y+1x的取值范围是( )
A.[-3,3]
B.(-∞,-3]∪[3,+∞)
C.-33,33
D.-∞,-33∪33,+∞
解析:圆x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,
 
u=y+1x表示圆上的点P(x,y)与A(0,-1)连线的斜率,如图,
由|CD|=1,|AC|=2,可得∠CAD=30°,
则kAD=3,同理kAE=-3,
则u∈(-∞,-3]∪[3,+∞).故选B.
答案:B
11.若M={(x,y)|x2+y2≤4)},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是( )
A.(0,2-1]  B.(0,1]
C.(0,2-2]    D.[0,2]
解析:∵M∩N=N,∴(x-1)2+(y-1)2=r2在x2+y2=4的内部.
∴d≤2-r,即2≤2-r,∴0<r≤2-2.
答案:C
12.若过点A(0,-1)的直线l与圆x2+(y-3)2=4的圆心的距离为d,则d的取值范围为( )
A.[0,4]  B.[0,3]
C.[0,2]  D.[0,1]
解析:圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3),半径为2,点A(0,-1)在圆外,则当直线l经过圆心时,d最小,当直线l垂直于点A与圆心的连线时,d最大,即d的最小值为0,最大值为02+?3+1?2=4,所以d∈[0,4].
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知圆O的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________.
解析:由题意,知点M在圆O内,MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大,最大距离为?2-3?2+?3-4?2+5=5+2.
答案:5+2
14.两圆x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的公共弦的长为________.
解析:题中两圆方程相减,得两圆的公共弦所在的直线方程为x-y-3=0,∴圆x2+y2=5的圆心(0,0)到该直线的距离d=|-3|1+?-1?2=32.设公共弦的长为l,
则l=25-322=2.
答案:2
15.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为________.
解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,
所以圆心到直线2x-y=0的距离d=2a5=455,
解得a=2,
所以圆C的半径r=|CM|=4+5=3,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
16.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间为________h.
 
解析:如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区,可求得|MN|=20,∴时间为1 h.
答案:1
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2),B(3,-2)的圆的标准方程.
解析:有两种方法.
方法一 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则2a-b-3=0,?5-a?2+?2-b?2=r2,?3-a?2+?-2-b?2=r2,解得a=2,b=1,r=10.
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
方法二 因为圆过A,B两点,所以圆心一定在AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为y=-12(x-4),
则y=-12?x-4?,2x-y-3=0,解得x=2,y=1,
即圆心为(2,1),r=?5-2?2+?2-1?2=10.
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
18.(12分)求圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程.
解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则圆心是-D2,-E2,
由题意知,-D2=-E2,2-D+E+F=0,10+3D-E+F=0,解得D=E=-4,F=-2,
即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.
 
19.(12分)如图,正四棱锥P-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为6,M,N分别为AB,BC的中点,以O为原点,射线OM,ON,OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E,F分别为PA,PB的中点,求A,B,C,D,E,F的坐标.
解析:∵正四棱锥P-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为6,
∴OB=2,OP=PB2-OB2=6-2=2,
∴由上可得A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2).
又∵E,F分别为PA,PB的中点,
∴由中点坐标公式可得E12,-12,1,F12,12,1.
20.(12分)求一个动点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程.
解析:设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(x0,y0).
由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点,
所以x=x0+32,y=y02,
于是有x0=2x-3,y0=2y.
因为点P在圆x2+y2=1上移动,
所以点P的坐标满足方程x20+y20=1,
则(2x-3)2+4y2=1,
整理得x-322+y2=14.
所以点M的轨迹方程为x-322+y2=14.
21.(12分)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0相交于A,B两点,求AB所在的直线方程和公共弦AB的长.
解析:由圆C1的方程减去圆C2的方程,整理,得方程3x-4y+6=0,又由于方程3x-4y+6=0是由两圆相减得到的,即两圆交点的坐标一定是方程3x-4y+6=0的解.因为两点确定一条直线,故3x-4y+6=0是两圆公共弦AB所在的直线方程.
∵圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,
∴圆心为C1(-1,3),半径r=3,
∴圆心C1到直线AB的距离d=|-3-12+6|25=95,
∴|AB|=2r2-d2=29-952=245.
∴AB所在的直线方程为3x-4y+6=0,公共弦AB的长为245.
22.(12分)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.
解析:(1)设圆A的半径为r,
∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,
∴r=|-1+4+7|5=25,
∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)当直线l与x轴垂直时,
则直线l的方程x=-2,
此时有|MN|=219,即x=-2符合题意.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k(x+2),
即kx-y+2k=0.
∵Q是MN的中点,∴AQ⊥MN,∴|AQ|2+12|MN|2=r2.
又∵|MN|=219,r=25,∴|AQ|=20-19=1.
解方程|AQ|=|k-2|k2+1=1,得k=34,
∴此时直线l的方程为y-0=34(x+2),即3x-4y+6=0.
综上所得,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.

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