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第三章直线与方程章末质量检测(有解析新人教A版必修2)

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网 w wW.tt z y w.cOm章末质量检测(三) 直线与方程
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角为( )
A.45° B.135°
C.90°    D.60°
解析:∵A(2,0),B(5,3),∴直线AB的斜率k=3-05-2=1.
设直线AB的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),
则tanθ=1,∴θ=45°.故选A.
答案:A
2.经过点A(2,-1),B(-4,5)的直线的一般式方程为( )
A.x+y+1=0  B.x-y+1=0
C.x-y-1=0  D.x+y-1=0
解析:因为直线过A(2,-1),B(-4,5),所以由直线方程的两点式得直线方程为y-?-1?5-?-1?=x-2-4-2,化为一般式得x+y-1=0.
答案:D
3.直线-x2+y3=-1在x轴,y轴上的截距分别为( )
A.2,3        B.-2,3
C.-2,-3  D.2,-3
解析:由-x2+y3=-1得x2+y-3=1,则在x轴,y轴上的截距分别为2,-3.
答案:D
4.已知两点A(-2,0),B(0,4),则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A.2x+y=0     B.2x-y+4=0
C.x+2y-3=0  D.x-2y+5=0
解析:kAB=4-00-?-2?=2,AB的中点为(-1,2),
∴所求直线方程为y-2=-12(x+1),即x+2y-3=0.
答案:C
5.已知三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一点,则坐标(m,n)可能是( )
A.(1,-3)  B.(3,-1)
C.(-3,1)  D.(-1,3)
解析:由y=2x,x+y=3,得x=1,y=2.由三条直线相交于一点,
可知m×1+n×2+5=0
即m+2n+5=0,结合选项可知A项正确.
答案:A
6.两平行直线3x+2y-3=0和6x+4y+1=0之间的距离是( )
A.4    B.21313
C.51323  D.71326
解析:6x+4y+1=0可化为3x+2y+12=0,则由两条平行直线间的距离公式得d=12-?-3?32+22=71326.
答案:D
7.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为( )
A.(3,0)     B.(-3,0)
C.(0,-3)  D.(0,3)
解析:因为l1∥l2,且l1的斜率为2,
所以l2的斜率为2.
又l2过点(-1,1),
所以l2的方程为y-1=2(x+1),
整理即得:y=2x+3,
令x=0,得y=3,
所以P点坐标为(0,3).
答案:D
8.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值是( )
A.-3      B.2
C.-3或2  D.3或-2
解析:由直线l1与l2平行,可得a?a+1?=2×3,a×1≠2,解得a=-3.
答案:A
9.等腰Rt△ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( )
A.(2,0)或(4,6)  B.(2,0)或(6,4)
C.(4,6)        D.(0,2)
解析:设B点坐标为(x,y),根据题意可得
kAC•kBC=-1,|BC|=|AC|,
即3-43-0•y-3x-3=-1,?x-3?2+?y-3?2=?0-3?2+?4-3?2,
整理可得x=2,y=0,或x=4,y=6,故B(2,0)或B(4,6).
答案:A
10.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到直线l的距离为10,则直线l的方程是( )
A.3x+y+4=0  B.3x-y+4=0
C.3x-y-4=0  D.x-3y-4=0
解析:由7x+5y-24=0,x-y=0得交点坐标为(2,2),
当直线l的斜率不存在时,易知不满足题意.
∴直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,
∵点(5,1)到直线l的距离为10,
∴|5k-1+2-2k|k2+?-1?2=10,解得k=3.
∴直线l的方程为3x-y-4=0.
答案:C
11.若直线ax+2y=0和2x+(a+1)y+1=0垂直,则实数a的值为( )
A.-12   B.12
C.0     D.-2
解析:由2a+2(a+1)=0解得a=-12.
答案:A
12.如图,在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a,正确的是( )
 
解析:假定y=ax与y=x+a中的一条直线的图象正确,验证另一条是否合适.
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,△OAB的面积为12,则直线l的方程为__________________.
解析:方法一 设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),
则有3a+2b=1,且12ab=12.
解得a=6,b=4.
所以所求直线l的方程为x6+y4=1,
即2x+3y-12=0.
方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
令x=0,得y=2-3k;
令y=0,得x=3-2k.
所以S△OAB=12(2-3k)3-2k=12,解得k=-23.
故所求直线方程为y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0.
答案:2x+3y-12=0
14.已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是2,则直线l1的方程为________.
解析:因为l1与l2:x+y-1=0平行,
所以可设l1的方程为x+y+b=0(b≠-1).
又因为l1与l2的距离是2,
所以|b+1|12+12=2,
解得b=1或b=-3,
即l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
答案:x+y+1=0或x+y-3=0
15.设直线l经过点A(-1,1),则当点B(2,-1)与直线l的距离最远时,直线l的方程为______________.
解析:设点B(2,-1)到直线l的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l垂直于直线AB,kl=-1kAB=32,
∴直线l的方程为y-1=32(x+1),即3x-2y+5=0.
答案:3x-2y+5=0
16.已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P-45,-15且总与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围是________________.
解析:
 
如图所示,当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时,l的斜率逐渐变大,当直线l垂直于x轴时,l无斜率,再转动时斜率为负值并逐渐变大直到等于PB的斜率,所以直线l的斜率k≥kPA=37或k≤kPB=-116,即k≥37或k≤-116.
答案:-∞,-116∪37,+∞
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(0,3),C(2,4),边AC的中点为D,求AC边上中线BD所在的直线方程并化为一般式.
解析:因为A(4,1),C(2,4),
所以AC边的中点D的坐标为3,52,
又B(0,3),由直线两点式,得中线BD所在的直线方程为x-30-3=y-523-52,即x+6y-18=0.
18.(12分)求经过直线l1:2x+3y-5=0,l2:3x-2y-3=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.
解析:由2x+3y-5=0,3x-2y-3=0,得x=1913,y=913,
由平行于2x+y-3=0,可得直线的斜率为-2,
∴直线方程为y-913=-2x-1913,
即26x+13y-47=0.
19.(12分)过点M(2,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,试求△ABO的面积S最小时直线l的方程.
解析:设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),
∵点M(2,1)在直线l上,
∴2a+1b=1,即a+2b=ab,∴b=aa-2,
∵a>0,b>0,∴a>2,
∴△ABO的面积S=12ab=12•a2a-2=12•?a-2?2+4?a-2?+4a-2=12?a-2?+4a-2+4,
又a>2,∴(a-2)+4a-2=a-2-2a-22+4≥4,
当且仅当a-2=2a-2,即a=4,b=2时等号成立,
∴当a=4,b=2时,Smin=4,
∴直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.
20.(12分)求直线l1:x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线l2的方程.
解析:由x-y-2=0,3x-y+3=0得x=-52,y=-92,∴l1与l相交,且交点坐标为-52,-92,则此点也在直线l2上.
在l1上取一点P(0,-2),设它关于直线l的对称点为Q(x0,y0),
则y0+2x0-0×3=-1,3×x02-y0-22+3=0,解得x0=-3,y0=-1,
∴点Q(-3,-1),
又点Q在l2上,
∴直线l2的方程为y+1-92+1=x+3-52+3,即7x+y+22=0.
21.(12分)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使:
(1)l1与l2相交于点P(m,-1);
(2)l1∥l2;
(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
解析:(1)由条件知m2-8+n=0,且2m-m-1=0,
∴m=1,n=7.
(2)由m•m-8×2=0,得m=±4.
又8×(-1)-n•m≠0,则m=4,n≠-2,或m=-4,n≠2.
即m=4,n≠-2时,或m=-4,n≠2时,l1∥l2.
(3)当且仅当m•2+8•m=0,
即m=0时,l1⊥l2.
又-n8=-1,∴n=8,
即m=0,n=8时,l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1.
22.(12分)(1)已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0,求证:不论m为何实数,此直线必过定点;
(2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线的方程.
解析:(1)证明:直线方程可写为m(x-2y-3)+2x+y+4=0,
由x-2y-3=0,2x+y+4=0得x=-1,y=-2,
∴点(-1,-2)适合方程(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0,
因此,直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0过定点(-1,-2).
(2)设过点(-1,-2)所引的直线与x轴、y轴分别交于A(a,0),B(0,b)点,
∵(-1,-2)是线段AB的中点,
∴a+02=-1,0+b2=-2,解得a=-2,b=-4,
∴所求直线方程为x-2+y-4=1,即2x+y+4=0.

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