21.2.3 因式分解法解一元二次方程

《21.2.3 因式分解法解一元二次方程》 　 一、选择题 1．方程 x2﹣2x=0 的解为（　　） A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1= ，x2=2 2．一元二次方程 x（x﹣2）=2﹣x 的根是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 和 2 D．﹣1 和 2 3．若实数 x，y 满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则 x2+y2 的值为（　　） A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2 或﹣1 4．已知 x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0 且 x≠0），则 的值为（　　） A．6 B．﹣1 C．1 或﹣6 D．﹣1 或 6 5．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式 x2﹣x+1 的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．﹣1 或 7 D．以上全不正确 6．已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1=3，x2=﹣4，则二次三项式 x2﹣px+q 可分解为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x+3）（x+4） D．（x﹣3）（x﹣4） 　 二、填空题 7．方程 x（x﹣2）=0 的解为______． 8．方程（x﹣2）2=3（x﹣2）的解是______． 9．一元二次方程 x（x﹣6）=0 的两个实数根中较大的根是______． 10．若方程 x2﹣x=0 的两根为 x1，x2（x1＜x2），则 x2﹣x1=______． 11．若 x2﹣mx﹣15=（x+3）（x+n），则 nm 的值为______． 12．方程（x﹣2）2﹣25x2=0 用______法较简便，方程的根为 x1=______，x2=______． 13．用因式分解法解方程 x2﹣kx﹣16=0 时，得到的两根均整数，则 k 的值可以是______ （只写出 一个即可） 14．a※b 是新规定的一种运算法则：a※b=a2﹣b2，则方程（x+2）※5=0 的解为______． 15．三角形的每条边的长都是方程 x2﹣6x+8=0 的根，则三角形的周长是______． 　 三、解答题：16．用因式分解法解下列方程； ①（x+2）2﹣9=0 ②（2x﹣3）2=3（2x﹣3） ③x2﹣6x+9=0 ④（x+5）（x﹣1）=7． 17．用适当方法解下列方程： ①x2﹣2x=99 ②x2+8x=﹣16 ③x2+3x+1=0 ④5x（x+2）=4x+8． 18．已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0， …（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）； （2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 　《21.2.3 因式分解法解一元二次方程》 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．方程 x2﹣2x=0 的解为（　　） A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1= ，x2=2 【解答】解：x2﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0，x﹣2=0， x1=0，x2=2， 故选 C． 　 2．一元二次方程 x（x﹣2）=2﹣x 的根是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 和 2 D．﹣1 和 2 【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0， ∴（x﹣2）（x+1）=0， ∴x﹣2=0 或 x+1=0， ∴x1=2，x2=﹣1． 故选 D． 　 3．若实数 x，y 满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则 x2+y2 的值为（　　） A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2 或﹣1 【解答】解：∵（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0， ∴x2+y2+2=0 或 x2+y2﹣2=0， ∴x2+y2=﹣2（舍去）或 x2+y2=2， ∴x2+y2 的值为 2． 故选 B． 　4．已知 x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0 且 x≠0），则 的值为（　　） A．6 B．﹣1 C．1 或﹣6 D．﹣1 或 6 【解答】解：x2﹣5xy﹣6y2=0 （x﹣6y）（x+y）=0 x﹣6y=0，x+y=0 x=6y，x=﹣y 所以 的值为 6 或﹣1． 故选：D． 　 5．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式 x2﹣x+1 的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．﹣1 或 7 D．以上全不正确 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0， ∴x2﹣x+2=0 或 x2﹣x﹣6=0， ∴x2﹣x=﹣2 或 x2﹣x=6． 当 x2﹣x=﹣2 时， x2﹣x+2=0， b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当 x2﹣x=6 时， x2﹣x+1=7 故选 B． 　 6．已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1=3，x2=﹣4，则二次三项式 x2﹣px+q 可分解为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x+3）（x+4） D．（x﹣3）（x﹣4） 【解答】解：∵方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1=3，x2=﹣4， ∴二次三项式 x2+px+q=（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12， ∴p=1，q=﹣12， 则 x2﹣x﹣12=（x+3）（x﹣4）．故选 A 　 二、填空题 7．方程 x（x﹣2）=0 的解为　0 或 2　． 【解答】解：由 x（x﹣2）=0，得 x=0，x﹣2=0 解得 x1=0，x2=2． 　 8．方程（x﹣2）2=3（x﹣2）的解是　x1=2，x2=5　． 【解答】解：据题移项得， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0， ∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0， 解得 x1=2，x2=5． 　 9．一元二次方程 x（x﹣6）=0 的两个实数根中较大的根是　6　． 【解答】解：∵x=0 或 x﹣6=0， ∴x1=0，x2=6， ∴原方程较大的根为 6． 故答案为 6． 　 10．若方程 x2﹣x=0 的两根为 x1，x2（x1＜x2），则 x2﹣x1=　1　． 【解答】解：∵x2﹣x=0， ∴x（x﹣1）=0， ∵x1＜x2， ∴解得：x1=0，x2=1， 则 x2﹣x1=1﹣0=1． 故答案为：1． 　 11．若 x2﹣mx﹣15=（x+3）（x+n），则 nm 的值为　25　． 【解答】解：原式可化为 x2﹣mx﹣15=x2+（3+n）x+3n，∴ ， 解得 ， ∴nm=（﹣5）2=25． 故填 25． 　 12．方程（x﹣2）2﹣25x2=0 用　因式分解　法较简便，方程的根为 x1=　 　，x2=　﹣ 　． 【解答】解：分解因式得：（x﹣2+5x）（x﹣2﹣5x）=0， x﹣2+5x=0，x﹣2﹣5x=0， x1= ，x2=﹣ ， 即解此方程用因式分解法比较简便， 故答案为：因式分解， ；﹣ ． 　 13．用因式分解法解方程 x2﹣kx﹣16=0 时，得到的两根均整数，则 k 的值可以是　6（答案不唯一）　 （只写出一个即可） 【解答】解：由题意，得 ∵x2﹣kx﹣16=0， ∴（x﹣2）（x+8）=0 时， x2﹣kx﹣16=（x﹣2）（x+8）， x2﹣kx﹣16=x2+6x﹣16， ∴k=6． 故答案为：6． 　 14．a※b 是新规定的一种运算法则：a※b=a2﹣b2，则方程（x+2）※5=0 的解为　x1=﹣7，x2=3　． 【解答】解：由题中的新定义得：（x+2）※5=（x+2）2﹣52=0， 可得（x+7）（x﹣3）=0， 即 x+7=0 或 x﹣3=0， 解得：x1=﹣7，x2=3．故答案为：x1=﹣7，x2=3 　 15．三角形的每条边的长都是方程 x2﹣6x+8=0 的根，则三角形的周长是　6 或 12 或 10　． 【解答】解：由方程 x2﹣6x+8=0，得 x=2 或 4． 当三角形的三边是 2，2，2 时，则周长是 6； 当三角形的三边是 4，4，4 时，则周长是 12； 当三角形的三边长是 2，2，4 时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是 4，4，2 时，则三角形的周长是 4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是 6 或 12 或 10． 　 三、解答题： 16．用因式分解法解下列方程； ①（x+2）2﹣9=0 ②（2x﹣3）2=3（2x﹣3） ③x2﹣6x+9=0 ④（x+5）（x﹣1）=7． 【解答】解：①分解因式，得 （x+2+3）（x+2﹣3）=0， ∴x+5=0 或 x﹣1=0 ∴x1=﹣5，x2=1； ②移项，得 （2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）=0 提公因式，得 （2x﹣3）（2x﹣3﹣3）=0， ∴2x﹣3=0 或 2x﹣6=0 ∴x1= ，x2=3； ③由公式法，得 （x﹣3）2=0， ∴x﹣3=0∴x1=x2=3 （4）变形为： x2+4x﹣5=7， 移项，得 x2+4x﹣5﹣7=0， x2+4x﹣12=0 ∴（x+6）（x﹣2）=0， ∴x+6=0 或 x﹣2=0 ∴x1=﹣6，x2=2． 　 17．用适当方法解下列方程： ①x2﹣2x=99 ②x2+8x=﹣16 ③x2+3x+1=0 ④5x（x+2）=4x+8． 【解答】解：①x2﹣2x=99， x2﹣2x﹣99=0， （x﹣11）（x+9）=0， x﹣11=0，x+9=0， x1=11，x2=﹣9； ②x2+8x=﹣16， x2+8x+16=0， （x+4）2=0， x+4=0， x=﹣4， 即 x1=x2=﹣4； ③x2+3x+1=0， b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，x= ， x1= ，x2= ； ④5x（x+2）=4x+8 5x（x+2）﹣4（x+2）=0， （x+2）（5x﹣4）=0， x+2=0，5x﹣4=0， x1=﹣2，x2= ． 　 18．已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0， …（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）； （2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【解答】解：（1）①（x+1）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣1，x2=1 ②（x+2）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣2，x2=1； ③（x+3）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣3，x2=1； （n）（x+n）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣n，x2=1 （2）共同特点是： 都有一个根为 1；都有一个根为负整数； 两个根都是整数根等等．