21.2.1 用配方法解一元二次方程

《21.2.1 用配方法解一元二次方程》 　 一．选择题 1．用配方法解方程 x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2 2．用配方法解方程 x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（　　） A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7 3．把方程 x2﹣8x+3=0 化成（x+m）2=n 的形式，则 m，n 的值是（　　） A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19 4．用配方法解方程 x2+x=2，应把方程的两边同时（　　） A．加 B．加 C．减 D．减 5．已知 a2﹣2a+1=0，则 a2010 等于（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 6．一元二次方程 2x2+3x+1=0 用配方法解方程，配方结果是（　　） A． B． C． D． 7．将方程 3x2+6x﹣1=0 配方，变形正确的是（　　） A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0 8．已知方程 x2﹣6x+q=0 可以配方成（x﹣p）2=7 的形式，那么 x2﹣6x+q=2 可以配方成下列的（　　） A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9D．（x﹣p+2）2=5 　 二．填空题 9．一元二次方程 x2﹣2x+1=0 的根为______． 10．用配方法解方程 x2﹣4x﹣1=0 配方后得到方程______． 11．将方程 x2﹣4x﹣1=0 化为（x﹣m）2=n 的形式，其中 m，n 是常数，则 m+n=______． 12．如果一个三角形的三边均满足方程 x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是______． 13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则 k=______． 14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1 的两个根是______． 15．当 x=______时，代数式 的值是 0．16．方程 4x2﹣4x+1=0 的解 x1=x2=______． 17．解方程：9x2﹣6x+1=0， 解：9x2﹣6x+1=0， 所以（3x﹣1）2=0， 即 3x﹣1=0， 解得 x1=x2=______． 18．用配方法解一元二次方程 2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则 h=______，k=______． 　 三．解答题 19．用配方法解方程 （1）x2﹣6x﹣15=0 （2）3x2﹣2x﹣6=0 （3）x2=3﹣2x （4）（x+3）（x﹣1）=12． 20．证明：不论 x 为何实数，多项式 2x4﹣4x2﹣1 的值总大于 x4﹣2x2﹣3 的值． 21．分别按照下列条件，求 x 的值：分式 的值为零． 22．观察下列方程及其解的特征： （1）x+ =2 的解为 x1=x2=1； （2）x+ = 的解为 x1=2，x2= ； （3）x+ = 的解为 x1=3，x2= ； … 解答下列问题： （1）请猜想：方程 x+ = 的解为______； （2）请猜想：关于 x 的方程 x+ =______的解为 x1=a，x2= （a≠0）； （3）下面以解方程 x+ = 为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为 5x2﹣26x=﹣5． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）　 《21.2.1 用配方法解一元二次方程》 参考答案与试题解析 　 一．选择题 1．用配方法解方程 x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2 【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣6x=7， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 32，得 x2﹣6x+32=7+32， ∴（x﹣3）2=16； 故选 A． 　 2．用配方法解方程 x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（　　） A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7 【解答】解：由原方程，得 x2﹣4x=3， 在等式的两边同时加上一次项系数﹣4 的一半的平方，得 x2﹣4x+4=3+4，即 x2﹣4x+4=7， 配方，得 （x﹣2）2=7； 故选 D． 　 3．把方程 x2﹣8x+3=0 化成（x+m）2=n 的形式，则 m，n 的值是（　　） A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19 【解答】解：∵x2﹣8x+3=0 ∴x2﹣8x=﹣3 ∴x2﹣8x+16=﹣3+16∴（x﹣4）2=13 ∴m=﹣4，n=13 故选 C． 　 4．用配方法解方程 x2+x=2，应把方程的两边同时（　　） A．加 B．加 C．减 D．减 【解答】解：∵x2+x=2 ∴x2+x+ =2+ 故选：A． 　 5．已知 a2﹣2a+1=0，则 a2010 等于（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 【解答】解：由原方程，得（a﹣1）2=0， ∴a﹣1=0，即 a=1； ∴a2010=12010=1． 故选 A． 　 6．一元二次方程 2x2+3x+1=0 用配方法解方程，配方结果是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵2x2+3x+1=0 ∴2x2+3x=﹣1 2（x2+ x）=﹣1 2（x2+ x+ ）=﹣1+ ∴2（x+ ）2= 即 2（x+ ）2﹣ =0 故选 B． 　7．将方程 3x2+6x﹣1=0 配方，变形正确的是（　　） A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0 【解答】解：∵3x2+6x﹣1=0 ∴3（x2+2x）﹣1=0 ∴3（x2+2x+1﹣1）﹣1=0 ∴3（x2+2x+1）﹣3﹣1=0 ∴3（x+1）2﹣4=0 故选 C． 　 8．已知方程 x2﹣6x+q=0 可以配方成（x﹣p）2=7 的形式，那么 x2﹣6x+q=2 可以配方成下列的（　　） A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9D．（x﹣p+2）2=5 【解答】解：∵x2﹣6x+q=0 ∴x2﹣6x=﹣q ∴x2﹣6x+9=﹣q+9 ∴（x﹣3）2=9﹣q 据题意得 p=3，9﹣q=7 ∴p=3，q=2 ∴x2﹣6x+q=2 是 x2﹣6x+2=2 ∴x2﹣6x=0 ∴x2﹣6x+9=9 ∴（x﹣3）2=9 即（x﹣p）2=9 故选：B． 　 二．填空题 9．一元二次方程 x2﹣2x+1=0 的根为　x1=x2=1　． 【解答】解：∵x2﹣2x+1=0 ∴（x﹣1）2=0 ∴x1=x2=1． 　10．用配方法解方程 x2﹣4x﹣1=0 配方后得到方程　（x﹣2）2=5　． 【解答】解：把方程 x2﹣4x﹣1=0 的常数项移到等号的右边，得到 x2﹣4x=1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2﹣4x+4=1+4 配方得（x﹣2）2=5． 　 11．将方程 x2﹣4x﹣1=0 化为（x﹣m）2=n 的形式，其中 m，n 是常数，则 m+n=　7　． 【解答】解：x2﹣4x﹣1=0， 移项得：x2﹣4x=1， 配方得：x2﹣4x+4=1+4， （x﹣2）2=5， ∴m=2，n=5， ∴m+n=5+2=7， 故答案为：7． 　 12．如果一个三角形的三边均满足方程 x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是　 　． 【解答】解：由方程 x2﹣10x+25=0，得该方程有两个相等的实数根，即 5． 则此三角形的三边都是 5． 则该三角形的面积为 S= ×5×5×sin60°= ×5×5× = ． 　 13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则 k=　﹣2　． 【解答】解：∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内， ∴ ， 解得﹣ ＜x＜﹣ ； 又∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限的角平分线上， ∴5﹣k2=﹣2k﹣3，即 k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=4（不合题意，舍去），k2=﹣2． 故答案是：﹣2． 　14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1 的两个根是　x1=2+ ，x2=2﹣ 　． 【解答】解：由原方程，得 x2﹣4x+2=0， 移项，得 x2﹣4x=﹣2， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2﹣4x+4=﹣2+4， 配方，得 （x﹣2）2=2， ∴x=2± ， ∴x1=2+ ，x2=2﹣ ； 故答案是：∴x1=2+ ，x2=2﹣ ． 　 15．当 x=　﹣1　时，代数式 的值是 0． 【解答】解：由分式的值为零的条件得（x+2）2﹣1=0，x+3≠0， 由（x+2）2﹣1=0，得（x+2）2=1， ∴x=﹣1 或 x=﹣3， 由 x+3≠0，得 x≠﹣3． 综上，得 x=﹣1． 故空中填：﹣1． 　 16．方程 4x2﹣4x+1=0 的解 x1=x2=　 　． 【解答】解：∵4x2﹣4x+1=0 ∴（2x﹣1）2=0 ∴x1=x2= ． 　 17．解方程：9x2﹣6x+1=0， 解：9x2﹣6x+1=0，所以（3x﹣1）2=0， 即 3x﹣1=0， 解得 x1=x2=　 　． 【解答】解：据题意得 x1=x2= ． 　 18．用配方法解一元二次方程 2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则 h=　 　，k=　 　． 【解答】解：原方程可以化为： ， 移项，得 x2+ x=﹣ ， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2+ x+ =﹣ + ， 配方，得 （x+ ）2= 比较对应系数，有： ； 故答案是： 、 ． 　 三．解答题 19．用配方法解方程 （1）x2﹣6x﹣15=0 （2）3x2﹣2x﹣6=0 （3）x2=3﹣2x （4）（x+3）（x﹣1）=12． 【解答】解：（1）移项得：x2﹣6x=15，配方得：x2﹣6x+9=15+9， （x﹣3）2=24， 开方得：x﹣3=± ， x1=3+2 ，x2=3﹣2 ； （2）移先得：3x2﹣2x=6， x2﹣ x=2， 配方得：x2﹣ x+（ ）2=2+（ ）2， （x﹣ ）2= ， 开方得：x﹣ =± ， ， ； （3）x2+2x=3， 配方得：x2+2x+1=3+1 （x+1）2=4， 开方得：x=﹣1±2， x1=1，x2=﹣3； （4）整理得：x2+2x=15， 配方得：x2+2x+1=15+1， （x+1）2=16， 开方得：x=﹣1±4， x1=3，x2=﹣5． 　 20．证明：不论 x 为何实数，多项式 2x4﹣4x2﹣1 的值总大于 x4﹣2x2﹣3 的值． 【解答】解：2x4﹣4x2﹣1﹣（x4﹣2x2﹣3）=x4﹣2x2+2=（x2﹣1）2+1 ∵（x2﹣1）2≥0，∴（x2﹣1）2+1＞0， ∴不论 x 为何实数，多项式 2x4﹣4x2﹣1 的值总大于 x4﹣2x2﹣3 的值． 　 21．分别按照下列条件，求 x 的值：分式 的值为零． 【解答】解：根据题意得，x2﹣5x﹣6=0， 即（x+1）（x﹣6）=0， ∴x+1=0，x﹣6=0， 解得 x=﹣1 或 x=6， 又 x+1≠0， 解得 x≠﹣1， ∴x 的值是 6． 　 22．观察下列方程及其解的特征： （1）x+ =2 的解为 x1=x2=1； （2）x+ = 的解为 x1=2，x2= ； （3）x+ = 的解为 x1=3，x2= ； … 解答下列问题： （1）请猜想：方程 x+ = 的解为　x1=5， 　； （2）请猜想：关于 x 的方程 x+ =　 （或 ）　的解为 x1=a，x2= （a≠0）； （3）下面以解方程 x+ = 为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为 5x2﹣26x=﹣5． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 【解答】解：（1）x1=5， ； （2） （或 ）； （3）方程二次项系数化为 1，得 ． 配方得， ，即 ， 开方得， ， 解得 x1=5， ． 经检验，x1=5， 都是原方程的解．