沪科版九年级数学上册单元测试题全套（含答案）

沪科版九年级数学上册单元测试题全套（含答案） （含期中期末试题，共 5 套） 第 21 章 达标检测卷 一、选择题(每题 4 分，共 40 分) 1．下列函数中，不是反比例函数的是(　　) A．x＝5 y B．y＝－k x(k≠0) C．y＝x－1 7 D．y＝－ 1 |x| 2．抛物线 y＝－x2 不具有的性质是(　　) A．开口向下 B．对称轴是 y 轴 C．与 y 轴不相交 D．最高点是原点 3．某公司举行年会，一共有 n 个人参加，若每两个人都要握手一次，握手的总次数为 y，则 y 与 n 之 间的函数表达式为(　　) A．y＝n2＋n B．y＝n2－n C．y＝1 2n2－1 2n D．y＝1 2n2＋1 2n 4．关于反比例函数 y＝2 x的说法正确的是(　　) A．图象经过点(1，1) B．图象的两个分支分布在第二、四象限 C．图象的两个分支关于 x 轴对称 D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当 y＞0 时，x 的取值范围是(　　)A．－1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＜－1 或 x＞2 6．函数 y＝a x与 y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 　　　　 7．二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象经过点(1，0)，则代数式 2－a－b 的值为(　　) A．－3 B．0 C．4 D．－4 8．若二次函数 y＝x2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2＋ bx＝5 的解为(　　) A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 9．把函数 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象对应的 函数表达式为 y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 10．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点(都不与正方形 ABCD 的 顶点重合)，且 AE＝BF＝CG＝DH，设四边形 EFGH 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大 致是(　　)　　 二、填空题(每题 5 分，共 20 分) 11．如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园 ABCD，设 AB 的长 为 x 米，则菜园的面积 y(平方米)与 x(米)的函数表达式为________．(不要求写出自变量 x 的取值范围) 　　　 12．如图，A 是反比例函数图象上的一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 P 在 x 轴上，△ABP 的面 积为 2，则这个反比例函数的表达式为________． 13．如图，A、B 是双曲线 y＝k x的一个分支上的两点，且点 B(a，b)在点 A 的右侧，则 b 的取值范围 是____________． 14．函数 y＝x2＋bx＋c 与 y＝x 的图象如图所示，现给出以下结论：①3b＋c＝－6；②抛物线的对称轴是直线 x＝3 2；③当 1＜x＜3 时，x2＋(b－1)x＋c＞0；④两函数图象交点间的距离是 2 2.其中正确结论的 序号有________． 三、解答题(15，16 题每题 10 分，17 题 12 分，18，19 题每题 14 分，20，21 题每题 15 分，共 90 分) 15．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋3 的对称轴是直线 x＝1. (1)求证：2a＋b＝0； (2)若关于 x 的方程 ax2＋bx－8＝0 的一个根为 4，求方程的另一个根． 16．人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．当车速为 50 千米/时 时，视野为 80 度．如果视野 f(度)是车速 v(千米/时)的反比例函数，求 f 与 v 之间的函数表达式，并计算当 车速为 100 千米/时时，视野的度数是多少？ 17．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A，B，C 三点，其 x≥0 的部分如图． (1)求该抛物对应的函数的表达式，并写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的 x＜0 的部分； (3)利用图象写出 x 为何值时，y＞0. 18．已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3(m 是常数). (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴都没有公共点； (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 19．反比例函数 y＝k x(k≠0)与一次函数 y＝mx＋b(m≠0)交于点 A(1，2k－1)． (1)求反比例函数的表达式；(2)若一次函数的图象与 x 轴交于点 B，且△AOB 的面积为 3，求一次函数的表达式． 20．某农户生产经销一种季节性农副产品，已知这种产品的成本价为 30 元/千克．市场调查发现，该产品 每天的销售量 w(千克)与销售价格 x(元/千克)有如下关系：w＝－x＋60.设这种产品每天的销售利润为 y(元)． (1)求 y 与 x 之间的函数表达式． (2)当销售价格定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)为了尽快将产品销售完，且该农户想要每天的销售利润达到 200 元，那么销售价格应该定为多少？ 21．如图，已知二次函数图象的顶点为 A(1，－3)，并经过点 C(2，0)． (1)求该二次函数的表达式； (2)直线 y＝3x 与该二次函数的图象交于点 B(非原点)，求点 B 的坐标和△AOB 的面积； (3)点 Q 在 x 轴上运动，求出所有使得△AOQ 是等腰三角形的点 Q 的坐标． 答案 一、1.D　2.C 3．C　点拨：y＝1 2n(n－1)＝1 2n2－1 2n. 4．D　点拨：对于函数 y＝2 x，当 x＝1 时，y＝2，故 A 不正确；∵2＞0，∴图象的两个分支分布在第 一、三象限，故 B 不正确；图象的两个分支是关于原点对称的，故 C 不正确；当 x＜0 时，图象分布在第 三象限， y 随 x 的增大而减小，故 D 正确． 5．D 6．D　点拨：当 a＞0 时，抛物线开口向上，双曲线的两个分支在第一、三象限；当 a＜0 时，抛物线开口向下，双曲线的两个分支在第二、四象限. 故选项 D 正确． 7．C　点拨：将点(1，0)的坐标代入 y＝ax2＋bx＋2，得 0＝a＋b＋2，故 a＋b＝－2，故 2－a－b＝2－ (－2)＝4. 8．D　点拨：∵二次函数 y＝x2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于 y 轴的直线，∴－b 2＝2， 解得 b＝－4，∴关于 x 的方程 x2＋bx＝5 为 x2－4x＝5，其解为 x1＝－1，x2＝5. 9．A　点拨：y＝x2－3x＋5 可变形为 y＝(x－3 2 )2 ＋11 4 ，所以原函数的表达式是 y＝(x＋3 2 )2 ＋19 4 ＝x2＋ 3x＋7，所以 b＝3，c＝7. 10．B　点拨：由已知可得题图中四个直角三角形全等，面积相等，AE＝x，AH＝1－x，所以 y＝1－ 4×1 2x(1－x)＝2x2－2x＋1，所以图象为开口向上，对称轴是直线 x＝1 2的抛物线的一部分，故选 B. 二、11.y＝－1 2x2＋15x 12．y＝4 x　点拨：设这个反比例函数的表达式为 y＝k x，点 A 的坐标为(m，n)，m＞0，n＞0，则 mn＝ k.在△ABP 中，AB＝ m，AB 边上的高为 n，所以 1 2mn＝2，所以 k＝mn＝4，所以这个反比例函数的表达 式为 y＝4 x. 13．0＜b＜2 14．①②④　点拨：把点(3，3)的坐标代入 y＝x2＋bx＋c 中，可得 3b＋c＝－6；点(0，3)和点(3，3) 都在抛物线上，所以抛物线的对称轴是直线 x＝3 2；从两函数的图象可以看出，当 1＜x＜3 时，抛物线在直 线的下方，即 x2＋bx＋c＜x，所以 x2＋(b－1)x＋c＜0；两函数图象的两个交点分别是(1，1)和(3，3)，这 两点到原点的距离分别为 2和 3 2，所以这两点之间的距离是 3 2－ 2＝2 2.故①②④正确． 三、15.(1)证明：由抛物线 y＝ax2＋bx＋3 的对称轴为直线 x＝1，得－ b 2a＝1.∴2a＋b＝0. (2)解：抛物线 y＝ax2＋bx－8 与抛物线 y＝ax2＋bx＋3 有相同的对称轴，且方程 ax2＋bx－8＝0 的一 个根为 4. 设 ax2＋bx－8＝0 的另一个根为 x2，则满足：4＋x2＝－b a. ∵2a＋b＝0，即 b＝－2a，∴4＋x2＝2，∴x2＝－2. 16．解：由题意，可设 f 与 v 之间的函数表达式为 f＝k v(k≠0)． ∵当 v＝50 时，f＝80，∴80＝ k 50.解得 k＝4 000， ∴f＝4 000 v . 当 v＝100 时，f＝4 000 100 ＝40. ∴当车速为 100 千米/时时，视野为 40 度． 17．解：(1)由抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)，得方程组{2＝c， 0＝16a＋4b＋c， －3＝25a＋5b＋c， 解得{a＝－1 2， 푏 ＝3 2， 푐 ＝2， 所以该抛物线对应的函数表达式为 y＝－1 2x2＋3 2x＋2，其顶点坐标为(3 2， 25 8 ). (2)如图所示．　 (第 17 题) (3)由图象可知，当－1＜x＜4 时，y＞0. 18．(1)证明：因为(－2m)2－4(m2＋3)＝－12＜0， 所以方程 x2－2mx＋m2＋3＝0 没有实数根， 所以不论 m 为何值，函数 y＝x2－2mx＋m2＋3 的图象与 x 轴都没有公共点． (2)解：设把函数 y＝x2－2mx＋m2＋3 的图象沿 y 轴向下平移 a(a＞0)个单位长度，则所得图象对应的 函数表达式为 y＝x2－2mx＋m2＋3－a. 由得到的函数图象与 x 轴只有一个公共点，可知方程 x2－2mx＋m2＋3－a＝0 有两个相等的实数根， 所以(－2m)2－4(m2＋3－a)＝0.解得 a＝3. 所以把函数 y＝x2－2mx＋m2＋3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，得到的函数的图象与 x 轴只有 一个公共点． 19．解：(1)∵反比例函数 y＝k x(k≠0)的图象过点 A(1，2k－1)，∴k 1＝2k－1，解得 k＝1.∴反比例函数 的表达式为 y＝1 x.(第 19 题) (2)如图，∵A(1，2k－1)，k＝1， ∴点 A(1，1)，点 A 到 x 轴的距离 AM＝1. 由题意知 S△AOB＝1 2OB·AM＝3，∴1 2OB×1＝3，即 OB＝6. 故 B(6，0)或 B′(－6，0)． ①当一次函数的图象过点 A(1，1)，B(6，0)时， {m＋b＝1， 6푚 ＋b＝0.解得{m＝－1 5， 푏 ＝6 5. ∴一次函数的表达式为 y＝－1 5x＋6 5. ②当一次函数的图象过点 A(1，1)，B′(－6，0)时， {m＋b＝1， －6m＋b＝0.解得{m＝1 7， 푏 ＝6 7. ∴一次函数的表达式为 y＝1 7x＋6 7. 综上可知，一次函数的表达式为 y＝－1 5x＋6 5或 y＝1 7x＋6 7. 20．解：(1)y 与 x 之间的函数表达式为 y＝w(x－30)＝(－x＋60)(x－30)＝－x2＋90x－1 800. (2)∵y＝－x2＋90x－1 800＝－(x－45)2＋225， ∴当销售价格定为 45 元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是 225 元． (3)令 y＝200，则－(x－45)2＋225＝200， 解得 x1＝50，x2＝40. 对于 w＝－x＋60，w 随着 x 的增大而减小，∴当 x＝40 时，销售量 w 更大． 故销售价格应该定为 40 元/千克． 21．解：(1)由二次函数图象的顶点为 A(1，－3)可设该二次函数的表达式为 y＝a(x－1)2－3. ∵其图象过点 C(2，0)，∴0＝a－3，解得 a＝3， ∴该二次函数的表达式为 y＝3(x－1)2－3＝3x2－6x. (2)解{y＝3x， 푦 ＝3x2－6x，得{x1＝0， 푦 1＝0，{x2＝3， 푦 2＝9， ∴点 B 的坐标为(3，9)． 由 A(1，－3)，B(3，9)可求得直线 AB 对应的函数表达式为 y＝6x－9.令 y＝0，得 x＝3 2. 设直线 AB 与 x 轴的交点为 D，则 OD＝3 2， ∴S△AOB＝S△BOD＋S△AOD＝1 2×3 2×9＋1 2×3 2×3＝9. (第 21 题) (3)△AOQ 是等腰三角形分以下三种情况： ①AO＝AQ，此时点 Q 与点 C 重合， ∴点 Q 的坐标为(2，0)． ②OQ＝OA. 由 A(1，－3)可求得 OA＝ 10， ∴OQ＝ 10， ∴此时点 Q 的坐标为(－ 10，0)或( 10，0)． ③QO＝QA，如图所示，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，则 AQ＝x，OE＝1，AE＝3. 设 OQ＝x，则 AQ＝x，EQ＝x－1.在 Rt△AEQ 中，AQ2＝EQ2＋AE2， ∴x2＝(x－1)2＋32，解得 x＝5，∴此时点 Q 的坐标为(5，0)． 综上，满足题意的点 Q 的坐标为(2，0)或(－ 10，0)或( 10，0)或(5，0)． 第 22 章 达标检测卷 一、选择题(每题 4 分，共 40 分) 1．若m＋n n ＝5 2，则m n等于(　　) A.5 2 B.2 3 C.2 5 D.3 2 2．若两个相似多边形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为(　　) A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶1 3．如图，在△ABC 中，若 DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则 AC 的长为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 (第 3 题) (第 4 题) 4．如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形与△ABC 相似的是(　　) 　　　　 5．如图，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD(第 5 题) 6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上，若测得 BE＝20 m，CE＝10 m，CD ＝20 m，则河的宽度 AB 等于(　　) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m (第 6 题) (第 7 题) 7．如图，△ABO 是由△A′B′O 经过位似变换得到的，若点 P′(m，n)在△A′B′O 上，则点 P′经过位似变换 后的对应点 P 的坐标为(　　) A．(2m，n) B．(m，n) C．(m，2n) D．(2m，2n) 8．如图，点 E 为▱ABCD 的 AD 边上一点，且 AE∶ED＝1∶3，点 F 为 AB 的中点，EF 交 AC 于点 G，则 AG∶GC 等于(　　) A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3 　　　 (第 8 题) (第 9 题) (第 10 题) 9．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在△ABC 内，顶点 D，G 分 别在 AB，AC 上，AD＝AG，DG＝6，则点 F 到 BC 的距离为(　　) A．1 B．2 C．12 2－6 D．6 2－610．如图，在钝角三角形 ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形 ABE 和等 腰直角三角形 ACF，EM 平分 ∠AEB 交 AB 于点 M，取 BC 的中点 D，AC 的中点 N，连接 DN，DE，DF. 下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝1 3S 四边形 ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确的结论有(　　) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每题 5 分，共 20 分) 11．假期，爸爸带小明去 A 地旅游．小明想知道 A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为 1∶500 000 的地图上测得所居住的城市距 A 地 32 cm，则小明所居住的城市与 A 地的实际距离为________km. 12．如图，已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点，且 PB＝3，BF⊥BP，垂足是点 B，若在射线 BF 上找一点 M，使以点 B，M，C 为顶点的三角形与△ABP 相似，则 BM 的长为________． (第 12 题) (第 13 题) (第 14 题) 13．如图，过原点 O 的直线与反比例函数 y1，y2 的图象在第一象限内分别交于点 A，B，且 A 为 OB 的中 点，若函数 y1＝1 x，则 y2 与 x 的函数表达式是____________． 14．如图，正△ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正△AB1C1，△ABC 与△AB1C1 公共部分的 面积记为 S1，再以正△AB1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正△AB2C2，△AB1C1 与△AB2C2 公共部分的面积 记为 S2，…，依次类推，则 Sn＝________.(用含 n 的式子表示) 三、解答题(16 题 10 分，19、20 题每题 14 分，21 题 16 分，其余每题 12 分，共 90 分) 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5， 2)． (1)请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； (2)将△A1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点 A 2，B2，C2，请画出 △A2B2C2； (3)求△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积比，即 S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝________．(不写解答过程，直接 写出结果) 16．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且AD AB＝CE CB.求证：DE∥AC. 17．如图，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边 AB 上找一点 N(不含 A，B)，使 得△CDM 与△MAN 相似？若能，请求出 AN 的长；若不能，请说明理由． 18．如图，一条河的两岸 BC 与 DE 互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景 观灯的间隔都是 10 m，在与河岸 DE 的距离为 16 m 的 A 处(AD⊥DE)看对岸 BC，看到对岸 BC 上的两个 景观灯的灯杆恰好被河岸 DE 上两个景观灯的灯杆遮住．河岸 DE 上的两个景观灯之间有 1 个景观灯，河 岸 BC 上被遮住的两个景观灯之间有 4 个景观灯，求这条河的宽度．19．如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝24，BC＝12，点 E 沿 BC 边从点 B 开始向点 C 以每秒 2 个 单位长度的速度运动；点 F 沿 CD 边从点 C 开始向点 D 以每秒 4 个单位长度的速度运动．如果 E，F 同时 出发，用 t(0≤t≤6)秒表示运动的时间． 请解答下列问题： (1)当 t 为何值时，△CEF 是等腰直角三角形？ (2)当 t 为何值时，以点 E，C，F 为顶点的三角形与△ACD 相似？ 20．如图所示，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 DC，CB 上的点，且 DE＝CF，以 AE 为边作正方形 AEHG，HE 与 BC 交于点 Q，连接 DF. (1)求证：△ADE≌△DCF； (2)若 E 是 CD 的中点，求证：Q 为 CF 的中点； (3)连接 AQ，设 S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断 S1＋S2＝S3 是否成立？并 说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝mx2－8mx＋4m＋2(m＞0)与 y 轴的交点为 A，与 x 轴的交点 分别为 B(x1，0)，C(x2，0)，且 x2－x1＝4.直线 AD∥x 轴，在 x 轴上有一动点 E(t，0)，过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P，Q. (1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当 0＜t≤8 时，求△APC 面积的最大值； (3)当 t＞2 时，是否存在点 P，使以 A，P，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．若存在，求出此时 t 的 值；若不存在，请说明理由． 答案 一、1.D　2.B3．C　点拨：因为 DE∥BC，所以 AE∶AC＝AD∶AB＝3∶9＝1∶3，则 AC＝6. 4．A 5．A　点拨：因为△ABC∽△DBA，所以AB DB＝BC BA＝AC DA.所以 AB2＝BC·BD，AB·AD＝AC·DB. 6．B　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE. ∴AB DC＝BE CE.即AB 20 ＝20 10，∴AB＝40 m. 7．D　点拨：将△A′B′O 经过位似变换得到△ABO，由题图可知，点 O 是位似中心，位似比为 A′B′∶AB＝ 1∶2，所以点 P′(m，n)经过位似变换后的对应点 P 的坐标为(2m，2n)． 8 ． B 　 点 拨 ： 延 长 FE ， CD 交 于 点 H ， ∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴ AB∥CD ， 易 证 △AFE∽△DHE，∴AE DE＝AF HD，即1 3＝AF HD，∴HD＝3AF.易证△AFG∽△CHG，∴AG GC＝AF HC＝ AF 3AF＋2AF＝ 1 5.故选 B. 9．D　点拨：如图，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF 交 BC 于点 H，∵AB＝AC，AD ＝ AG ， ∴ AD ∶ AB ＝ AG∶AC. 又 ∠BAC ＝ ∠DAG ， ∴ △ ADG ∽ △ ABC. ∴ ∠ ADG ＝ ∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形 DEFG 是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴ BM＝1 2BC＝6.∴AM＝ AB2－BM2＝12 2.∵DG∥BC，∴ AN AM＝DG BC.即 AN 12 2 ＝ 6 12.∴AN＝6 2.∴MN＝AM －AN＝6 2.∴FH＝MN－GF＝6 2－6.故选 D. 10．D　点拨：∵△ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB， ∴EM 是 AB 边上的中线．∴EM＝1 2AB. ∵点 D、点 N 分别是 BC，AC 的中点，∴DN 是△ABC 的中位线． ∴DN＝1 2AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确． ∵DN∥AB，∴△CDN∽△CBA. ∴S△CND∶S△CAB＝(DN∶AB)2＝1∶4. ∴S△CND＝1 3S 四边形 ABDN.②正确． 连接 DM，FN，则 DM 是△ABC 的中位线，∴DM＝1 2AC，DM∥AC. ∴四边形 AMDN 是平行四边形． ∴∠AMD＝∠AND. ∴∠EMD＝∠FND. ∵FN 是 AC 边上的中线，∴FN＝1 2AC. ∴DM＝FN，∴△DEM≌△FDN. ∴DE＝DF.③正确． ∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋ ∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝ 90°. ∴DE⊥DF.④正确．故选 D. 二、11.160　点拨：设小明所居住的城市与 A 地的实际距离为 x km，根据题意可列比例式为 1 500 000＝ 32 x × 105，解得 x＝160. 12.16 3 或 3　点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP 时，BM∶AB＝ BC∶BP，得 BM＝4×4÷3＝16 3 ；当△CBM∽△ABP 时，BM∶BP＝CB∶AB，得 BM＝4×3÷4＝3. 13．y2＝4 x　点拨：如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于 D，则 S△AOC＝1 2，△AOC∽△ BOD，∴S △ 퐴푂퐶 푆 △ 퐵푂퐷＝(OA OB )2 .∵点 A 为 OB 的中点，∴S △ 퐴푂퐶 푆 △ 퐵푂퐷＝(1 2 )2 ＝1 4，∴S△BOD＝2.设 y2 与 x 的函 数表达式是 y2＝k x(k≠0)，则1 2|k|＝2，∴k＝±4.∵函数 y 2 的图象在第一、三象限，∴k＞0，∴k＝4，∴y 2 与 x 的函数表达式是 y2＝4 x. (第 13 题) 14. 3 2 ×(3 4 )n 　点拨：在正△ABC 中，AB1⊥BC，∴BB1＝1 2BC＝1.在 Rt△ABB1 中，AB1＝ AB2－BB12＝ 22－12＝ 3， 根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B 的面积为 S，∴S1 푆 ＝( 3 2 )2 .∴S1＝3 4S. 同理可得：S2＝3 4S1，S3＝3 4S2，S4＝3 4S3，…. 又∵S＝1 2×1× 3＝ 3 2 ， ∴S1＝3 4S＝ 3 2 ×3 4，S2＝3 4S1＝ 3 2 ×(3 4 )2 . S3＝3 4S2＝ 3 2 ×(3 4 )3 ，S4＝3 4S3＝ 3 2 ×(3 4 )4 ，…， Sn＝ 3 2 ×(3 4 )n . 三、15.分析：(1)根据关于 x 轴对称的两点的坐标特征得出对应点的位置，进而得出答案； (2)将△A1B1C1 三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2 得出各点坐标，进而得出答案； (3)利用相似图形的性质得出相似比，进而得出答案． 解：(1)如图：△A1B1C1 即为所求； (2)如图：△A2B2C2 即为所求； (3)1∶4 16．证明：∵AD AB＝CE CB，∴BD AB＝BE BC 又∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC， ∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC.17．解：分两种情况讨论：(1)若△CDM∽△MAN，则DM AN＝CD MA. ∵正方形 ABCD 的边长为 a，M 是 AD 的中点，∴AN＝1 4a. (2)若△CDM∽△NAM，则CD NA＝DM AM.∵正方形 ABCD 的边长为 a，M 是 AD 的中点，∴AN＝a，即 N 点与 B 点重合，不合题意．所以，能在边 AB 上找一点 N(不含 A，B)，使得△CDM 与△MAN 相似，此 时 AN＝1 4a. 18．解：由题意可得 DE∥BC，所以AD AB＝AE AC. 又因为∠DAE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC. 所以AD AB＝DE BC，即 AD AD＋DB＝DE BC. 因为 AD＝16 m，BC＝50 m，DE＝20 m， 所以 16 16＋DB＝20 50.解得 DB＝24 m. 答：这条河的宽度为 24 m. 19．解：(1)由题意可知 BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t. 因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以 CE＝CF， 所以 12－2t＝4t，解得 t＝2， 所以当 t＝2 时，△CEF 是等腰直角三角形． (2)根据题意，可分为两种情况： ①若△EFC∽△ACD，则EC AD＝FC CD， 所以12－2t 12 ＝4t 24.解得 t＝3， 即当 t＝3 时，△EFC∽△ACD. ②若△FEC∽△ACD，则FC AD＝EC CD， 所以4t 12＝12－2t 24 .解得 t＝1.2， 即当 t＝1.2 时，△FEC∽△ACD. 因此，当 t 为 3 或 1.2 时，以点 E，C，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．20．(1)证明：由 AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，得△ADE≌△DCF. (2)证明：因为四边形 AEHG 是正方形， 所以∠AEH＝90°，所以∠QEC＋∠AED＝90°. 又因为∠AED＋∠EAD＝90°，所以∠EAD＝∠QEC. 因为∠ADE＝∠C＝90°，所以△ECQ∽△ADE， 所以CQ DE＝EC AD. 因为 E 是 CD 的中点，所以 EC＝DE＝1 2AD，所以EC AD＝1 2. 因为 DE＝CF，所以CQ DE＝CQ CF＝1 2.即 Q 是 CF 的中点． (3)解：S1＋S2＝S3 成立． 理由：因为△ECQ∽△ADE，所以CQ DE＝QE AE， 所以CQ CE＝QE AE. 因为∠C＝∠AEQ＝90°， 所以△AEQ∽△ECQ， 所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE. 所以S1 푆 3＝(EQ AQ )2 ， S2 푆 3＝(AE AQ )2 . 所以S1 푆 3＋S2 푆 3＝(EQ AQ )2 ＋(AE AQ )2 ＝EQ2＋AE2 퐴 푄 2 . 在 Rt△AEQ 中，由勾股定理，得 EQ2＋AE2＝AQ2， 所以S1 푆 3＋S2 푆 3＝1，即 S1＋S2＝S3. 21．解：(1)由题意知 x1，x2 是方程 mx2－8mx＋4m＋2＝0 的两根，∴x1＋x2＝8. 由{x1＋x2＝8， 푥 2－x1＝4，解得{x1＝2， 푥 2＝6. ∴B(2，0)，C(6，0)． 则 4m－16m＋4m＋2＝0，解得 m＝1 4，∴该抛物线对应的函数表达式为 y＝1 4x2－2x＋3. (2)由(1)可求得 A(0，3)，设线段 AC 所在直线对应的函数表达式为 y＝kx＋b，由 {b＝3， 6푘 ＋b＝0.解得 {k＝－1 2， 푏 ＝3. ∴线段 AC 所在直线对应的函数表达式为 y＝－1 2x＋3. 要构成△APC，显然 t≠6，下面分两种情况讨论： ①当 0＜t＜6 时，设直线 l 与 AC 的交点为 F， 则 F(t，－1 2t＋3). ∵P(t， 1 4푡 2－2t＋3)，∴PF＝－1 4t2＋3 2t. ∴S△APC＝S△APF＋S△CPF ＝1 2(－1 4t2＋3 2t)·t＋1 2(－1 4t2＋3 2t)·(6－t) ＝1 2(－1 4t2＋3 2t)·6＝－3 4(t－3)2＋27 4 . 当 t＝3 时，△APC 面积的最大值是27 4 . ②当 6＜t≤8 时，延长 AC 交直线 l 于 H， 则 H(t，－1 2t＋3)，∴PH＝1 4t2－3 2t， ∴S△APC＝S△APH－S△PCH＝1 2(1 4t2－3 2t)·t－1 2(1 4t2－3 2t)·(t－6)＝1 2(1 4t2－3 2t)·6＝3 4(t－3)2－27 4 . 此时，当 t＝8 时，△APC 面积的最大值是 12＞27 4 . 综上，当 t＝8 时，△APC 面积的最大值是 12. (3)由题意可知：OA＝3，OB＝2，Q(t，3)，t＞2. 当 P 在直线 AD 下方时，令△AOB∽△AQP， ∴AO AQ＝OB QP，∴3 t＝ 2 3－(1 4t2－2t＋3) ，解得 t＝0(舍去)或 t＝16 3 . 令△AOB∽△PQA，∴AO PQ＝OB QA，∴ 3 3－(1 4t2－2t＋3) ＝2 t， 解得 t＝0(舍去)或 t＝2(舍去)． 当 P 在直线 AD 上方时，令△AOB∽△AQP， ∴AO AQ＝OB QP，∴3 t＝ 2 (1 4t2－2t＋3)－3 ， 解得 t＝0(舍去)或 t＝32 3 . 令△AOB∽△PQA，∴AO PQ＝OB QA，∴ 3 (1 4t2－2t＋3)－3 ＝2 t， 解得 t＝0(舍去)或 t＝14. 综上所述，满足条件的点 P 有 3 个，此时 t 的值分别是16 3 ，32 3 ，14. 第 23 章 达标检测卷 一、选择题(每题 4 分，共 40 分) 1． cos 45°的值等于(　　) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则 cos A 的值是(　　) A.4 5 B.3 5 C.3 4 D.1 3 3．如图，要测量河两岸 A，C 两点间的距离，已知 AC⊥AB，测得 AB＝a，∠ABC＝α，那么 AC 等于(　　) A．a·sin α B．a·cos αC．a·tan α D. a 푠 푖 푛 훼 4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则下列式子一定成立的是(　　) A．a＝c·sin B B．a＝c·cos B C．b＝c·sin A D．b＝ a 푡 푎 푛 퐵 5．如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角 α 的 正切值是4 3，则 sinα的值是(　　) A.4 5 B.5 4 C.3 5 D.5 3 (第 5 题) (第 6 题) 6．如图所示，在△ABC 中， cos B＝ 2 2 ，sin C＝3 5，BC＝7，则△ABC 的面积是(　　) A.21 2 B．12 C．14 D．21 7．如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，cos A＝3 5，BE＝2，则 tan ∠DBE 的值是(　　) A.1 2 B．2 C. 5 2 D. 5 5 (第 7 题) (第 8 题) 8．如图，△ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 边上任意一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.若 BC＝2， 则 DE＋DF＝(　　) A．1 B.2 3 3 C. 3 D.4 3 39．阅读材料：因为 cos 0°＝1，cos 30°＝ 3 2 ，cos 45°＝ 2 2 ，cos 60°＝1 2，cos 90°＝0，所以，当 0°＜ α＜90°时，cosα随α的增大而减小．解决问题：已知∠A为锐角，且cos A＜1 2，那么∠A的取值范围是(　　) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜90° 10．如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树 DE 的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点 A 处测得这棵树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得这棵树顶端 D 的仰角 为 60°.已知点 A 的高度 AB 为 3 m，台阶 AC 的坡度为 1∶ 3，且 B，C，E 三点在同一条直线上，那么 这棵树 DE 的高度为(　　) A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m 二、填空题(每题 5 分，共 20 分) 11．若∠A 是锐角，且 sinA 是方程 2x2－x＝0 的一个根，则 sinA＝________． 12．如图所示，在等腰三角形 ABC 中，tan A＝ 3 3 ，AB＝BC＝8，则 AB 边上的高 CD 的长是________． 13．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，M，N 两点关于对角线 AC 对称，若 DM＝1， 则 tan ∠ADN＝________． 14．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，且 sin 30°＝1 2，sin 45°＝ 2 2 ，sin 60°＝ 3 2 ，cos 30°＝ 3 2 ，cos 45°＝ 2 2 ，cos 60°＝1 2；观察上述等式，当∠A 与∠B 互余时，请写出∠A 的正弦函数值与∠B 的余弦函数值之间的关系：______________． 三、解答题(19～21 题每题 12 分，22 题 14 分，其余每题 10 分，共 90 分) 15．计算： (1)2sin 30°＋ 2cos 45°－ 3tan 60°；　　　　 (2)tan230°＋cos230°－sin245°tan 45°. 16．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，∠B＝60°，解这个直角三角形． 17．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B＝1 3，cos C＝ 2 2 ，AC＝ 2.求： (1)BC 的长； (2)sin ∠ADC 的值． 18．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB＝cos∠DAC. (1)求证：AC＝BD； (1)若 sin C＝12 13，BC＝12，求△ABC 的面积． 19．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tan A＝2.求 CD 的长． 20．如图，某塔观光层的最外沿点 E 为蹦极项目的起跳点，已知点 E 离塔的中轴线 AB 的距离 OE 为 10米，塔高 AB 为 123 米(AB 垂直地面 BC)，在地面 C 处测得点 E 的仰角α＝45°，从点 C 沿 CB 方向前行 40 米到达 D 点，在 D 处测得塔尖 A 的仰角 β＝60°，求点 E 离地面的高度 EF.(结果精确到 1 米，参考数 据 2≈1.4， 3≈1.7) 21．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其 中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45 cm 和 60 cm，且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20 cm，点 A，C，E 在 同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732) (1)求车架档 AD 的长； (2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离(结果精确到 1 cm)． 22．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形 ABCD，其中 AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台 PC，PC 正前方 有两艘渔船 M，N.观察员在瞭望台顶端 P 处观测到渔船 M 的俯角 α 为 31°，渔船 N 的俯角 β 为 45°.已 知 MN 所在直线与 PC 所在直线垂直，垂足为 E，且 PE 长为 30 米． (1)求两渔船 M，N 之间的距离(结果精确到 1 米)． (2)已知坝高 24 米，坝长 100 米，背水坡 AD 的坡度 i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大 坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底 BA 加宽后变为 BH，加固后背水坡 DH 的坡度 i＝1∶1.75.施 工队施工 10 天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的 2 倍，结果比 原计划提前 20 天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？ (参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)答案 一、1.B 2．B　点拨：由余弦定义可得 cos A＝AC AB，因为 AB＝10，AC＝6，所以 cos A＝ 6 10＝3 5，故选 B. 3．C　点拨：因为 tan α＝AC AB，所以 AC＝AB·tan α＝a·tan α. 4．B　点拨：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据余弦的定义可得，cos B＝a c，即 a＝c·cos B. 5．A　点拨：由题意可知 m＝4.根据勾股定理可得 OP＝5，所以 sin α＝4 5. 6．A　点拨：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，设 AD＝3x，∵cos B＝2 2 ，∴∠B＝45°，则 BD＝AD＝3x.又 sin C＝AD AC＝3 5，∴AC＝5x，则 CD＝4x.∵BC＝BD＋CD＝3x＋4x＝7，∴x＝1，AD＝3，故 S△ABC＝1 2AD·BC ＝21 2 . 7．B 8．C　点拨：设 BD＝x，则 CD＝2－x，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴DE＝BDsin 60°＝ 3 2 x，DF＝CDsin 60°＝2 3－ 3x 2 .∴DE＋DF＝ 3 2 x＋2 3－ 3x 2 ＝ 3. 9．C　点拨：由 0＜cos A＜1 2，得 cos 90°＜cos A＜cos 60°，故 60°＜∠A＜90°. 10．D　点拨：过点 A 作 AF⊥DE 于点 F，则四边形 ABEF 为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝3 m．设 DE＝ x m，在 Rt△CDE 中，CE＝ DE 푡 푎 푛 60°＝ 3 3 x m．在 Rt△ABC 中，∵AB BC＝ 1 3，AB＝3 m，∴BC＝3 3 m．在 Rt△AFD 中，DF＝DE－EF＝(x－3) m，∴AF＝ DF 푡 푎 푛 30°＝ 3(x－3) m．∵AF＝BE＝BC＋CE，∴ 3(x－3) ＝3 3＋ 3 3 x，解得 x＝9，∴这棵树 DE 的高度为 9 m. 二、11.1 2　点拨：解方程 2x2－x＝0，得 x＝0 或 x＝1 2.因为∠A 是锐角，所以 0＜sin A＜1，所以 sin A＝1 2.12．4 3　点拨：∵tan A＝ 3 3 ，∴∠A＝30°.又 AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC＝60°，∴CD ＝BC·sin∠DBC＝8× 3 2 ＝4 3. 13.4 3　点拨：如图，过 N 作 NG⊥AD 于点 G.∵正方形 ABCD 的边长为 4，M，N 关于 AC 对称，DM＝1，∴ MC＝NC＝3，∴GD＝3.而 GN＝AB＝4，∴tan ∠ADN＝GN GD＝4 3. 14．sin A＝cos B 三、15.解：(1)原式＝2×1 2＋ 2× 2 2 － 3× 3 ＝ 1＋1－3 ＝ －1. (2)原式＝( 3 3 )2 ＋( 3 2 )2 －( 2 2 )2 ×1 ＝ 1 3＋3 4－1 2 ＝ 7 12. 16．解：因为∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. 因为 sin A＝BC AB，所以1 2＝ 6 AB，得 AB＝12. 因为 tan B＝AC BC，所以 3＝AC 6 ，得 AC＝6 3. 17．解：(1)如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵cos C＝ 2 2 ，∴∠C＝45°. 在 Rt△ACE 中，CE＝AC·cos C＝1， ∴AE＝CE＝1. 在 Rt△ABE 中，∵tan B＝1 3，∴AE BE＝1 3.∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4. (2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD＝1 2BC＝2. ∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.∴DE＝AE. 又∵AE⊥BC，∴∠ADC＝45°.∴sin ∠ADC＝ 2 2 . 18．(1)证明：∵AD⊥BC，∴tan B＝AD BD，cos∠DAC＝AD AC. 又 tan B＝cos∠DAC，∴AD BD＝AD AC，∴AC＝BD. (2)解：由 sin C＝AD AC＝12 13，可设 AD＝12x，则 AC＝13x，由勾股定理得 CD＝5x.由(1)知 AC＝BD，∴ BD＝13x，∴BC＝5x＋13x＝12，解得 x＝2 3，∴AD＝8，∴△ABC 的面积为1 2×12×8＝48. 19．解：如图所示，延长 AB、DC 交于点 E，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，∴∠A＝ ∠ECB，∴tanA＝tan∠ECD＝2.∵AD＝7，∴DE＝14，设 BC＝AB＝x，则 BE＝2x，∴AE＝3x，CE＝ 5 x，在 Rt△ADE 中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142，解得 x＝7 3 5，∴CE＝ 5×7 3 5＝35 3 ，则 CD＝14－35 3 ＝7 3. 20. 解：在 Rt△ADB 中，tan 60°＝123 DB， ∴DB＝123 3 ＝41 3米． 又∵FB＝OE＝10 米， ∴CF＝DB－FB＋CD＝41 3－10＋40＝(41 3＋30)(米)． ∵α＝45°，∴EF＝CF≈100 米． 答：点 E 离地面的高度 EF 约为 100 米． 21．解：(1)在 Rt△ACD 中，AC＝45 cm，DC＝60 cm， ∴AD＝ 452＋602＝75(cm)， ∴车架档 AD 的长是 75 cm.(2)过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F， ∵AE＝AC＋CE＝45＋20＝65(cm)， ∴EF＝AEsin 75°＝65 sin 75°≈62.79≈63(cm)， ∴车座点 E 到车架档 AB 的距离约为 63 cm. 点拨：解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，通过构造直角三角形计算． 22．解：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30 米． 在 Rt△PEN 中，PE＝NE＝30 米， 在 Rt△PEM 中，tan 31°＝ PE ME，∴ME≈ 30 0.60＝50(米)． ∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)． 答：两渔船 M，N 之间的距离约为 20 米． (2)如图，过点 D 作 DG⊥AB 于 G，坝高 DG＝24 米． ∵背水坡 AD 的坡度 i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25， ∴AG＝24×0.25＝6(米)． ∵背水坡 DH 的坡度 i＝1∶1.75， ∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)． ∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)． ∴S△ADH＝1 2AH·DG＝1 2×36×24＝432(平方米)． ∴需要填筑的土石方为 432×100＝43 200(立方米)． 设施工队原计划平均每天填筑土石方 x 立方米， 根据题意，得 10＋43 200－10x 2x ＝43 200 x －20.解方程，得 x＝864. 经检验：x＝864 是原方程的根且符合题意． 答：施工队原计划平均每天填筑土石方 864 立方米． 期中达标检测卷 　一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 1．若反比例函数 y= 的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．对于二次函数 y=（x﹣1）2+2 的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是 x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与 x 轴有两个交点 3．如图，铁道口的栏杆短臂长 1 米，长臂长 16 米，当短臂端点下降 0.5 米时，长臂端点升 高（　　） A．11.25 米 B．6.6 米 C．8 米 D．10.5 米 4．三角形在正方形网格纸中的位置如图，则 cosα 的值是（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数 y=x2+（m﹣1）x+1，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的取值范围是（　　） A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1 6．已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（　　） A． B． C． D．2 7．如果太阳光线与地面成 45°角，一棵树的影长为 10m，则树高 h 的（　　） A．h=10 B．h＜ C．h= 10 D．h＞10 8．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数 y=ax+b 与 反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重 合，折痕为 DE，则 tan∠CBE 的值是（　　）A． B． C． D． 10 ． 对 于 二 次 函 数 y=﹣x2+2x ． 有 下 列 四 个 结 论 ： ① 它 的 对 称 轴 是 直 线 x=1 ； ② 设 y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当 x2＞x1 时，有 y2＞y1；③它的图象与 x 轴的两个交点是（0， 0）和（2，0）；④当 0＜x＜2 时，y＞0．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 11．如图，铅球运动员掷铅球的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数关系式是 y=﹣ x2+ x+ ，则该运动员此次掷铅球的成绩是　 　 m． 12．以正方形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双 曲线 y= 经过点 D，则正方形 ABCD 的面积是　 　． 13．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图 所示的三处各留 1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能建成的饲养室面积最大为　 　m2． 14．如图，将△ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的 A1 处，称为第 1 次 操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1，还原纸片后，再将△ADE 沿着过 AD 中点 D1 的直线折叠， 使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操作，折痕 D1E1 到 BC 的距离记为 h2；按上述方法 不断操作下去…，经过第 2015 次操作后得到的折痕 D2014E2014，到 BC 的距离记为 h2015；若 h1=1，则 h2016 的值为　 　． 三、解答题(15～19 题每题 10 分，20 题 12 分，21，22 题每题 14 分，共 90 分) 15．已知实数 x、y、z 满足 ，试求 的值． 16．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3）、B（3，4）、C（2， 2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC 向下平移 4 个单位长度得到的△A1B1C1，点 C1 的坐标是　 　； （2）以点 B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比为 2： 1，点 C2 的坐标是　 　． 17．已知二次函数的图象经过点（3，﹣8），对称轴是直线 x=﹣2，此时抛物线与 x 轴的两个 交点间的距离为 6． （1）求抛物线与 x 轴的两交点坐标；（2）求抛物线的解析式． 18．某市在城市建设中，要折除旧烟囱 AB（如图所示），在烟囱正西方向的楼 CD 的顶端 C， 测得烟囱的顶端 A 的仰角为 45°，底端 B 的俯角为 30°，已量得 DB=21m． （1）在原图上画出点 C 望点 A 的仰角和点 C 望点 B 的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小； （2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱正东 35m 远的一棵大树是否被歪倒的烟 囱砸着？请说明理由．（ ≈1.732） 19．如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连结 CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延 长线于点 F．试问： （1）图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由． （2）求证：PC2=PE•PF． 20．如图，实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5 时内其血液中酒精含量 y（毫 克/百毫升）与时间 x（时）的关系可以近似的用二次函数 y=﹣200x2+400x 刻画，1.5 小时后 （包括 1.5 小时）y 与 x 可近似的用反比例函数 y= （k＞0）刻画． （1）根据上述数学模型计算； ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当 x=5 时，y=45，求 k 的值． （2）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于“酒后 驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 20：0 0 在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨 7：00 能否驾车去上班？请说明理由． 21．在一次课题设计活动中，小明对修建一座 87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横 截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高 10m，迎水坡面 AB 的坡度 ，老师看后，从力学 的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面 AB 的坡度进行修改， 修改后的迎水坡面 AE 的坡度 ． （1）求原方案中此大坝迎水坡 AB 的长（结果保留根号）； （2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿 EC 方 向拓宽 2.7m，求坝底将会沿 AD 方向加宽多少米？ 22．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4），B（1， 0），C（5，0），其对称轴与 x 轴相交于点 M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使△NAC 的面积最大？若存 在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．答案 　 一、1.D． 2．C 分析：二次函数 y=（x﹣1）2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴没有公共点．故选 C． 3．C 分析：设长臂端点升高 x 米，则 ，解得 x=8．故选 C． 4．D 分析：如图.∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosα= = ．故选 D． 5．D 分析：抛物线的对称轴为直线 x=﹣ ，∵当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而增大， 由图象可知：﹣ ≤1，解得 m≥﹣1．故选 D． 6．B 分析：∵沿 AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，∴四边形 ABEF 是正方形. ∵AB=1，设 AD=x，则 FD=x﹣1，FE=1，∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，∴ = ， =，解得 x1= ，x2= （负值舍去），经检验 x1= 是原方程的解．故选 B． 7．A 分析：如图，由题意知 BC=10、∠ACB=45°，∴AB=BC=10，即树高 h=10m， 故选 A． 8．C 分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0.∵对称轴为直线 x=﹣ ＞0， ∴b＞0.∵与 y 轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，反比例函 数 y= 图象在第一三象限，只有 C 选项图象符合．故选 C． 9．C 分析：根据题意，BE=AE．设 CE=x，则 BE=AE=8﹣x．在 Rt△BCE 中，根据勾股定理得： BE2=BC2+CE2，即（8﹣x）2=62+x2.解得 x= .∴tan∠CBE= = = ．故选 C． 10．C 分析：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线 x=1，正确；②∵直线 x=1 两 旁部分增减性不一样，∴设 y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当 x2＞x1 时，有 y2＞y1 或 y2＜y1， 错误；③当 y=0，则 x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的图象与 x 轴的两个交点是（0， 0）和（2，0），正确；④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与 x 轴的两个交点是 （0，0）和（2，0），∴当 0＜x＜2 时，y＞0，正确．故选 C． 二 、 11.10 分 析 ： 令 函 数 式 y=﹣ x2+ x+ 中 ， y=0 ， 0=﹣ x2+ x+ ， 整 理 得 x2﹣8x﹣20=0，（x﹣10）（x+2）=0，解得 x1=10，x2=﹣2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成 绩是 10m． 12．12 分析：设 D（a，a），∵双曲线 y= 经过点 D，∴a2=3，解得 a= ，∴AD=2 ，∴正 方形 ABCD 的面积=AD2=（2 ）2=12．13．75 分析：设垂直于墙的材料长为 x 米，则平行于墙的材料长为 27+3﹣3x=30﹣3x，则总 面积 S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为 75 平方米. 14．2﹣ 分析：连接 AA1，由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1， 又∵D 是 AB 中点，∴DA=DB，∴DB=DA1，∴∠BA1D=∠B，∴∠ADA1=2∠B，∵∠ADA1=2∠ ADE，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴AA1⊥BC，∴AA1=2，∴h1=2﹣1=1，同理，h2=2﹣ ，h3=2﹣ ，∴经过第 n 次操作后得到的折痕 Dn﹣1En﹣1 到 BC 的距离 hn=2﹣ ，∴h2015=2﹣ ， 三、15．解：由 4x﹣3y=0 可得 x= y， 由 3y﹣2z=0 可得 z= y， 则原式= = = ． 16．解：（1）如图所示，画出△ABC 向下平移 4 个单位长度得到的△A1B1C1，点 C1 的坐标是 （2，﹣2）； （2）如图所示，以 B 为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比为 2： 1，点 C2 的坐标是（1，0）， 故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）　 17．解：（1）∵因为抛物线对称轴为直线 x=﹣2，且图象与 x 轴的两个交点的距离为 6， ∴点 A、B 到直线 x=﹣2 的距离为 3， ∴A 为（﹣5，0），B 为（1，0）； （2）设抛物线的解析式为 y=a（x+5）（x﹣1）， 把（3，﹣8）代入得：a（3+5）（3﹣1）=﹣8， 解得 a=﹣ ， 所以，抛物线的解析式为 y=﹣ （x+5）（x﹣1），即 y=﹣ x2﹣2x+ ． 18．解：（1）如图所示． （2）这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着． ∵在 RT△AGC 中，∠ACG=45°． ∴AG=CG=DB=21（m）． 在 Rt△BCG 中，BG=CG×tan30°=DB×tan30°=21× =7 ．（m） ∴烟囱的高度 AB=21+7 ≈33.124（m）． ∵33.124m＜35m． ∴这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．19．解：（1）△APD≌△CPD． 理由：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴∠CDP=∠ADP，DC=AD． 在△APD 和△CPD 中， ， ∴△APD≌△CPD． （2）∵△APD≌△CPD， ∴∠DCP=∠DAP，PC=PA． ∵DC∥AB， ∴∠DCP=∠AFP． ∴∠DAP=∠AFP． 又∵∠FPA=∠APE， ∴△EPA∽△APE. ∴. ，即 PA2=PE•PF． ∴PC2=PE•PF． 20．解：（1）∵y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200， ①∴当 x=1 时，y 取得最大值，此时 y=200， 答：喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为 200 毫克/百毫升； ②∵当 x=5 时，y=45，∴45= ，得 k=225， 即 k 的值是 225； （2）该驾驶员第二天早晨 7：00 不能驾车去上班， 理由：由（1）知 k=225， ∴y= ， ∵晚上 20：00 到第二天早晨 7：00 是 11 个小时， ∴将 x=11 代入 y= ，得 y= ， ∵ ， ∴该驾驶员第二天早晨 7：00 不能驾车去上班． 21．解：（1）过点 B 作 BF⊥AD 于 F． 在 Rt△ABF 中，∵i= = ，且 BF=10m． ∴AF=6m， ． 答：此大坝迎水坡 AB 的长是 2 m； （2）过点 E 作 EG⊥AD 于 G． 在 Rt△AEG 中，∵ ，且 EG=BF=10m， ∴AG=12m. ∵AF=6m，∴BE=GF=AG﹣AF=6m， 如图，延长 EC 至点 M，AD 至点 N，连接 MN， ∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．S△ABE=S 梯形 CMND， ∴ ，即 BE=MC+ND． DN=BE﹣MC=6﹣2.7=3.3（m）．答：坝底将会沿 AD 方向加宽 3.3m． 　 22．解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（x﹣1）（x﹣5）， 把点 A（0，4）代入上式得：a= ， ∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x2﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ， ∴抛物线的对称轴是：直线 x=3； （2）P 点坐标为（3， ）.理由如下： ∵点 A（0，4），抛物线的对称轴是直线 x=3， ∴点 A 关于对称轴的对称点 A′的坐标为（6，4） 如图 1，连接 BA′交对称轴于点 P，连接 AP，此时△PAB 的周长最小． 设直线 BA′的解析式为 y=kx+b， 把 A′（6，4），B（1，0）代入得 ，解得 ， ∴y= x﹣ ， ∵点 P 的横坐标为 3， ∴y= ×3﹣ = ， ∴P（3， ）． （3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使△NAC 面积最大． 设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5）， 如图 2，过点 N 作 NG∥y 轴交 AC 于 G；作 AD⊥NG 于 D， 由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线 AC 的解析式为：y=﹣ x+4， 把 x=t 代入得：y=﹣ t+4，则 G（t，﹣ t+4）， 此时：NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t， ∵AD+CF=CO=5， ∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AD×NG+ NG×CF= NG•OC= ×（﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2 （t﹣ ）2+ ， ∴当 t= 时，△CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得：y= t2﹣ t+4=﹣3， ∴N（ ，﹣3）． 　 期末达标检测卷 一、选择题(每题 4 分，共 40 分) 1．下列函数，不是反比例函数的是(　　) A．x＝5 y B．y＝－k x(k≠0) C．y＝x－1 7 D．y＝－ 1 |x| 2．反比例函数 y＝k－3 x 图象的两个分支上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是(　　) A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0 3．已知 x∶y＝5∶2，则下列各式中不正确的是(　　) A.x＋y y ＝7 2 B.x－y y ＝3 2 C. x x＋y＝5 7 D. x y－x＝5 3 4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则 sin A 的值是(　　) A.4 5 B.3 5 C.3 4 D.4 3 5．如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝2，点 A、B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平 行，其中点 A 的坐标为(0，3)，则点 B 的坐标为(　　) A．(2，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(3，2) (第 5 题) (第 6 题) 6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气体内气体的气压 p(kPa)是气体体积 V(m3)的反 比例函数，图象如图所示．当气球内的气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸，安全起见，气球的体积应(　　) A．不小于5 4 m3 B．小于5 4 m3 C．不小于4 5 m3 D．小于4 5 m37．如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA＝4 km.某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一 段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向，则该船航行的距离(即 AB 的长) 为(　　) A．4 km B．2 3 km C．2 2 km D．( 3＋1) km 　　　　　　　　　 (第 10 题) 8．如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点 B′重合，若 AB＝2，BC＝3，则△FCB′ 与△B′DG 的面积之比为(　　) A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9 9．如图，已知正△ABC 的边长为 2.E，F，G 分别是 AB，BC，CA 上的点，且 AE＝BF＝CG，设△EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是(　　) 　　　　 10．如图，已知边长为 2 的正三角形 ABC 中，P0 是 BC 边的中点，一束光线自 P0 发出射到 AC 上的 点 P1 后，依次反射到 AB，BC 上的点 P2 和 P3(入射角等于反射角)，且 1＜BP3＜3 2，则 P1C 长的取值范围是(　　) A．1＜P1C＜7 6 B.5 6＜P1C＜1 C.3 4＜P1C＜4 5 D.7 6＜P1C＜2 二、填空题(每题 5 分，共 20 分) 11．如图，上午 10 时小东测得某树的影长为 2 m，到了下午 5 时又测得该树的影长为 8 m，若两次日 照的光线互相垂直，则树的高度约为________m. (第 11 题) (第 12 题) 12．如图，点 A 在双曲线 y＝1 x上，点 B 在双曲线 y＝3 x上，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩 形，则它的面积为________． 13．如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)和点 B，化简 （a＋c）2＋ （c－b）2 的结果为：①c；②b；③a－b；④a－b＋2c.其中正确的有________(填写所有正确的序号) (第 13 题) (第 14 题) 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数 y＝k x(k≠0)的图象交于二、四象限的 A，B 两点，与 x 轴交于 C 点．已知 A(－2，m)，B(n，－2)，tan ∠BOC＝2 5，则此一次 函数的表达式为________________． 三、解答题(15～19 题每题 10 分，20 题 12 分，21，22 题每题 14 分，共 90 分) 15．计算： (1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos245°. (2)| 3－5|＋2·cos 30°＋(1 3 )－1 ＋(9－ 3)0＋ 4. 16．如图所示，已知 AE 为∠BAC 的平分线，ED∥CA.若 BE＝6，EC＝7，AC＝12，求 AD 的长． 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A(4，8)、B(4，2)、C(8，6)． (1)在第一象限内，画出以原点 O 为位似中心，与△ABC 的相似比为1 2的△A1B1C1，并写出 A1、C1 点 的坐标； (2)如果△ABC 内部一点 P 的坐标为(x，y)，写出点 P 在△A1B1C1 内的对应点 P1 的坐标． 18．如图，直线 y＝k1x＋b 与双曲线 y＝k2 푥 相交于 A(1，2)、B(m，－1)两点． (1)求 m 的值； (2)若 A1(x1，y1)、A2(x2，y2)、A3(x3，y3)为双曲线上的三点，且 x1＜x2＜0＜x3，请直接写出 y1，y2，y3 的大小关系； (3)观察图象，请直接写出不等式 k1x＋b＞k2 푥 的解集．19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝2x2＋mx＋n 经过点 A(0，－2)，B(3，4)． (1)求抛物线对应的表达式及对称轴； (2)设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图 象 G(包含 A，B 两点)．若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围． 20．如图，某种新型导弹从地面发射点 L 处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度 y(km) 与飞行时间 x(s)之间的表达式为 y＝ 1 18x2＋1 6x (0≤x≤10)．发射 3 s 后，导弹到达 A 点，此时位于与 L 同一 水平面的 R 处雷达站测得 A，R 的距离是 2 km，再过 3 s 后，导弹到达 B 点． (1)求发射点 L 与雷达站 R 之间的距离； (2)当导弹到达 B 点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值． 21．北京时间 2015 年 04 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地 震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面 A，B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测 线与地面的夹角分别是 25°和 60°，且 AB＝4 米，求该生命迹象所在位置 C 的深度．(结果精确到 1 米．参 考数据：sin 25°≈0.4，cos 25°≈0.9，tan 25°≈0.5， 3≈1.7)22．如图，P、Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 BP＝BQ，过点 B 作 PC 的垂线，垂 足为点 H，连接 HD、HQ. (1)图中有________对相似三角形； (2)若正方形 ABCD 的边长为 1，P 为 AB 的三等分点，求△BHQ 的面积； (3)求证：DH⊥HQ. 答案 一、1.C 2．C　点拨：因为反比例函数 y＝k－3 x 图象的两个分支上，y 都随 x 的增大而减小，所以 k－3＞0， 解得 k＞3，所以选 C. 3．D　点拨：设 x＝5k，y＝2k，则x＋y y ＝5k＋2k 2k ＝7 2，x－y y ＝5k－2k 2k ＝3 2， x x＋y＝ 5k 5k＋2k＝5 7， x y－x＝ 5k 2k－5k＝－5 3，故选 D. 4．B　点拨：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得 BC＝6，则 sin A＝BC AB＝ 6 10＝3 5，故选 B. 5．B　点拨：由题意可知抛物线 y＝x2＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝2，点 A 的坐标为(0，3)，且 AB 与 x 轴平行，所以点 B 的坐标为(4，3)，故选 B.6．C　点拨：设 p＝k V，因为点(1.6，60)在双曲线上，故 60＝ k 1.6，所以 k＝96，所以当 p＝120 kPa 时，V ＝4 5 m3，结合图象可知，为保证安全，应使气球的体积不小于 4 5m3. 7．C　点拨：如图所示，过点 A 作 AD⊥OB，垂足为点 D.在 Rt△AOD 中，由题意可知，∠AOD＝ 30°，∠OAD＝60°，所以 AD＝sin 30°×OA＝1 2 ×4＝2(km)．因为∠DAB＝90°＋15°－60°＝45°， 所以△DAB 是等腰直角三角形，所以 AB＝ 2AD＝2 2 km. (第 7 题) 8．D　点拨：设 CF＝x，则 BF＝3－x，由折叠得 B′F＝BF＝3－x.在 Rt△FCB′中，由勾股定理得 CF2 ＋CB′2＝FB′2，即 x2＋12＝(3－x)2，解得 x＝4 3.由已知可证 Rt△FCB′∽Rt△B′DG，所以 S △FCB′与 S△B′ DG 之比为(4 3 ∶ 1)2 ＝16 9 . 9．D　点拨：在△ABC 中，∵AE＝BF＝CG＝x，∴BE＝CF＝AG＝2－x.又∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ AEG≌△BFE≌△CGF.如图，过点 G 作 GH⊥AE，在 Rt△AGH 中，sin A＝GH AG，∴GH＝AG·sin A＝(2－x)·sin 60°＝(2－x)× 3 2 ＝ 3－ 3 2 x，∴S△AEG＝1 2·AE·GH＝ 1 2x·( 3－ 3 2 x)＝－ 3 4 x2＋ 3 2 x.∵正△ABC 的边长为 2，∴ S△ABC＝1 2×2×2×sin 60°＝ 3.∴y＝S△EFG＝S△ABC－3S△AEG＝ 3－3(－ 3 4 x2＋ 3 2 x)＝3 3 4 x2－3 3 2 x＋ 3， ∴y＝3 3 4 (x－1)2＋ 3 4 . 又∵y 与 x 是二次函数关系，∴y 关于 x 的函数图象是以(1， 3 4 )为顶点，且开口向上的抛物线，∴D 选项 正确． (第 9 题) 10．A　点拨：易证得△AP1P2∽△CP1P0∽△BP3P2.∴ BP3 퐵 푃 2＝ CP1 퐶 푃 0＝ AP1 퐴 푃 2.∴ BP3＋AP1 퐵 푃 2＋AP2＝CP1 CP0， 即BP3＋AC－CP1 퐴 퐵 ＝ CP1 퐶 푃 0.∴BP3＋2－CP1 2 ＝CP1，整理后得 BP3＝3CP1－2.∵1＜BP3＜3 2，∴1＜3CP1－2＜3 2，解得 1＜CP1＜7 6. 二、11.4 12．2　点拨：如图，延长 BA 交 y 轴于点 E，则四边形 AEOD、BEOC 均为矩形，由点 A 在双曲线 y ＝1 x上，得矩形 AEOD 的面积为 1，由点 B 在双曲线 y＝3 x上，得矩形 BEOC 的面积为 3，故矩形 ABCD 的 面积为 3－1＝2. (第 12 题) 13．①④　点拨：因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)，所以 a－b＋c＝0，即 a＋c＝ b.因为抛物线的开口向下，所以 a＜0.因为对称轴在 y 轴的右侧，所以－b 2a＞0，所以 b＞0.因为抛物线与 y 轴相交于 y 轴的正半轴，所以 c＞0，又 a＋c＝b＞0，所以 c＞b.所以原式＝b＋(c－b)＝c，故①正确；原式 ＝a＋c＋c－b＝a－b＋2c，故④正确． 14．y＝－x＋3 三、15.解：(1)原式＝2×1 2＋1 2－ 3× 3 3 ＋( 2 2 )2 ＝1＋1 2－1＋1 2＝1.　(2)原式＝5－ 3＋2× 3 2 ＋3＋1＋ 2＝11. 16．解：∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAE＝∠EAC. ∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC，∴∠DAE＝∠DEA，∴ED＝AD. ∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA，∴BE BC＝ED AC即 6 6＋7＝ED 12 ， ∴ED＝72 13，∴AD＝72 13. 17.解：(1)△A1B1C1 如图所示． (第 17 题)A1 的坐标为(2，4)，C1 点的坐标为(4，3)． (2)P1 的坐标为(1 2x， 1 2푦). 18．解：(1)∵点 A(1，2)与点 B(m，－1)在双曲线 y＝k2 푥 上， ∴－1×m＝1×2，∴m＝－2. (2)y2＜y1＜y3.　(3)x＞1 或－2＜x＜0. (第 19 题) 19．分析：(1)把点 A(0，－2)，B(3，4)代入 y＝2x2＋mx＋n 中，列出关于 m，n 的方程组，求出 m，n 的值，确定拋物线的表达式，然后求出它的对称轴． (2)观察图象 G，发现直线 CD 经过图象的最低点即拋物线的顶点时 t 的值最小，直线 CD 经过图象 G 的最高点 B 时 t 的值最大，分别求出这两种情况下 t 的值，确定 t 的取值范围． 解：(1)∵y＝2x2＋mx＋n 经过点 A(0，－2)，B(3，4)， 代入得{n＝－2， 18＋3m＋n＝4，∴{m＝－4， 푛 ＝－2. ∴拋物线对应的表达式为 y＝2x2－4x－2. 又∵y＝2x2－4x－2＝2(x2－2x－1)＝2(x－1)2－4， ∴其对称轴为直线 x＝1. (2)由题意可知 C(－3，－4)．二次函数 y＝2x2－4x－2 的最小值为－4. 如图，由图象可以看出 D 点纵坐标最小值即为－4， 最大值即直线 BC 与对称轴交点的纵坐标． 设直线 BC 对应的表达式为 y＝kx＋b， 根据题意得{3k＋b＝4， －3k＋b＝－4，解得{b＝0， 푘 ＝4 3， 所以直线 BC 的表达式为 y＝4 3x.当 x＝1 时，y＝4 3.所以满足条件的点 D 的纵坐标 t 的取值范围是－4≤t≤4 3. 点拨：(1)将函数图象上点的坐标代入函数表达式，是求函数表达式中待定系数的常用方法．(2)求最值 问题一般需借助二次函数的最大(小)值的求法进行求解． 20．解：(1)当 x＝3 时，AL＝1 18×9＋1 6×3＝1(km)，在直角三角形 ALR 中，LR＝AR2－AL2＝ 22－12 ＝ 3(km)．即发射点 L 与雷达站 R 之间的距离是 3 km. (2)当 x＝3＋3＝6 时，BL＝ 1 18×36＋1 6×6＝3(km)，在直角三角形 BLR 中，tan ∠BRL＝BL LR＝ 3 3 ＝ 3. 21．解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于点 D，设 CD＝x 米， 在 Rt△ADC 中，∠DAC＝25°，所以 tan 25°＝CD AD， 所以 AD＝ CD 푡 푎 푛 25°≈CD 0.5＝2x. 在 Rt△BDC 中，∠DBC＝60°， 由 tan 60°＝CD BD＝ CD AD－AB≈ x 2x－4，解得 x≈3. 所以该生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米． (第 21 题) 22．(1)解：4 (2)解：过点 H 作 HE⊥BC 于点 E， ∵正方形 ABCD 的边长为 1，P 为 AB 的三等分点， ∴BP＝BQ＝1 3. 在 Rt△PBC 中，由勾股定理得 PC＝ 10 3 . ∵BP·BC＝BH·PC，∴BH＝BP·BC PC ＝ 10 10 . 在 Rt△BHC 中，由勾股定理得 CH＝3 10 10 . ∵BH·CH＝HE·BC，∴HE＝BH·CH BC ＝ 3 10.∴△BHQ 的面积为 1 2EH·BQ＝1 2× 3 10×1 3＝ 1 20. (3)证明：∵∠PBC＝∠CHB＝90°，∠BCH＝∠PCB， ∴Rt△PBC∽Rt△BHC，∴BH PB＝HC BC. 又∵BP＝BQ，BC＝DC，∴BH BQ＝HC CD，∴BH CH＝BQ CD. ∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠BCH＝∠BCH，∴∠HBQ＝∠HCD. 在△HBQ 与△HCD 中，∵BH CH＝BQ CD，∠HBQ＝∠HCD， ∴△HBQ∽△HCD，∴∠BHQ＝∠DHC. ∴∠BHQ＋∠QHC＝∠DHC＋∠QHC. 又∵∠BHQ＋∠QHC＝90°， ∴∠QHC＋∠DHC＝∠QHD＝90°，即 DH⊥HQ.