2019高中数学第二章概率2.5离散型随机变量的均值与方差精练含解析北师大版选修2_3.doc

‎§5　离散型随机变量的均值与方差 A组 ‎1.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,则EX的值为(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析:EX=1×+2×+3×+4××10=.‎ 答案:A ‎2.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,据统计,随机变量ξ的分布列如下:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a 则a的值和ξ的数学期望分别是(　　)‎ A.0.2,1.8 B.0.2,1.7‎ C.0.1,1.8 D.0.1,1.7‎ 解析:由题意得0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.Eξ=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.‎ 答案:B ‎3.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的件数,则EX等于(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 解析:离散型随机变量X服从N=10,M=3,n=2的超几何分布,∴EX=.‎ 答案:A ‎4.已知X~B(n,p),EX=2,DX=1.6,则n,p的值分别为 (　　)‎ A.100,0.8 B.20,0.4‎ C.10,0.2 D.10,0.8‎ 解析:由题意可得 解得p=0.2,n=10.‎ 答案:C ‎5.同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则Dξ=(　　)‎ - 8 -‎ A. B. C. D.5‎ 解析:两枚硬币同时出现反面的概率为,则ξ~B,故Dξ=10×.‎ 答案:A ‎6.已知X的分布列为 X ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ P ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ 若Y=3X+5,则DY的值为(　　)‎ A.24.84 B.2.76 C.4.4 D.29.84‎ 解析:∵EX=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2,‎ ‎∴DX=(-2+0.2)2×0.4+(0+0.2)2×0.3+(2+0.2)2×0.3=2.76,‎ ‎∴DY=D(3X+5)=9DX=24.84.‎ 答案:A ‎7.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的均值EX=　　　　　. ‎ 解析:∵P(X=0)=×(1-p)2=,‎ ‎∴p=.‎ 则P(X=1)=×2=,‎ P(X=2)=×2+,‎ P(X=3)=.‎ - 8 -‎ 则EX=0×+1×+2×+3×.‎ 答案:‎ ‎8.随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,Eξ=1,则Dξ=　　　　　. ‎ 解析:设ξ=1时的概率为p,则Eξ=0×+1×p+2×=1,解得p=,故Dξ=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×.‎ 答案:‎ ‎9.(2016·赣州模拟)2016年里约的周边商品有80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣.甲、乙两厂生产同一产品,为了解甲、乙两厂的产品质量,以确定这一产品最终的供货商,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量.‎ ‎(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量.‎ ‎(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值.‎ 解(1)乙厂生产的产品总数为5÷=35.‎ ‎(2)样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为35×=14.‎ ‎(3)ξ=0,1,2,P(ξ=i)=(i=0,1,2),‎ ξ的分布列为 - 8 -‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 均值Eξ=1×+2×.‎ ‎10.导学号43944040设袋子中装有除颜色外都相同的a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.‎ ‎(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;‎ ‎(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.‎ 解(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.‎ 故P(ξ=2)=,‎ P(ξ=3)=,‎ P(ξ=4)=,‎ P(ξ=5)=,‎ P(ξ=6)=,‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)由题意知η的分布列为 η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P - 8 -‎ 所以Eη=,‎ Dη=,化简得 解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.‎ B组 ‎1.袋中装有大小、形状、质地完全相同,标号分别为1,2,3,…,9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为3,4,5,则有两组相邻的标号3,4和4,5,此时ξ的值是2),则随机变量ξ的均值Eξ为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:依题意得,ξ的所有可能取值是0,1,2.‎ 且P(ξ=0)=,‎ P(ξ=1)=,‎ P(ξ=2)=,‎ 因此Eξ=0×+1×+2×.‎ 答案:D ‎2.随机变量ξ的分布列如下,其中a,b,c为等差数列,若Eξ=,则Dξ的值为(　　)‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c A. B. C. D.‎ 解析:由分布列得a+b+c=1, ①‎ 由均值Eξ=得-a+c=, ②‎ 由a,b,c为等差数列得2b=a+c, ③‎ - 8 -‎ 由①②③得a=,b=,c=,‎ 所以Dξ=.‎ 答案:B ‎3.随机变量X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ m P n 且EX=1.1,则DX=　　　　　. ‎ 解析:由分布列的性质得+n+=1,所以n=.‎ 又EX=0×+1×+m×=1.1,解得m=2.‎ 所以DX=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.‎ 答案:0.49‎ ‎4.随机变量ξ的分布列如下:‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a,b,c成等差数列,若Eξ=,则Dξ=　　　　　. ‎ 解析:由题意得2b=a+c①,a+b+c=1②,c-a=③,由①②③得a=,b=,c=,易求得Dξ=.‎ 答案:‎ ‎5.一个口袋中有5个相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3个球,以ξ表示取出球的最大号码,则Eξ=　　　　　. ‎ 解析:由题意知ξ的分布列为 ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ - 8 -‎ P 所以Eξ=3×+4×+5×=4.5.‎ 答案:4.5‎ ‎6.某网站针对某歌唱比赛的歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下:‎ 观众年龄 支持A 支持B 支持C ‎20岁以下 ‎200‎ ‎400‎ ‎800‎ ‎20岁以上(含20岁)‎ ‎100‎ ‎100‎ ‎400‎ ‎(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值;‎ ‎(2)若在参加活动的20岁以下的人中,用分层抽样的方法抽取7人作为一个样本,从7人中任意抽取3人,用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数,写出X的分布列,并计算EX,DX.‎ 解(1)因为利用分层抽样的方法抽取n个人时,从“支持A”的人中抽取了6人,‎ 所以,‎ 解得n=40.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,1,2,则分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以EX=0×+1×+2×,DX=.‎ ‎7.导学号43944041某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为,他们考核所得的等次相互独立.‎ ‎(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;‎ ‎(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和均值Eξ.‎ - 8 -‎ 解(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,则事件A,B,C相互独立,与事件E是对立事件.‎ 则P(E)=1-P()=1-P()·P()·P()=1-.‎ ‎(2)ξ的可能取值为,2,,3.‎ P=P()=,‎ P(ξ=2)=P(A·)+P(·B·)+P(·C)=,‎ P=P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C)=,‎ P(ξ=3)=P(A·B·C)=.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ P 所以Eξ=+2×+3×.‎ - 8 -‎