附中高二2期期中理数（答案）.pdf

书书书 湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案%#!!!! 湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试 数学!理科"参考答案 第!卷!!满分#""分" 一#选择题 题!号 # ! ' ( ) * + $ & #" 答!案 , - . / - , / - / - 二#填空题 ##!(!!#!!# (!#'!*!#(!!""0" *!!""0)"" #* $""'% #)!#*"!$解析%正四棱锥#%$%&' 底面的四个顶点$#%#&#' 在球( 的同一个大圆上#点# 在球面上##( #底面$%&'##(1)#*$%&' 1!)!#+#%$%&' 1#* '#所以 # ' $!)!$)1#* '#解得)1!#则球( 的表面积 是#*"! 三#解答题 #*!$解析%!#"由图可知#本次竞赛成绩的众数是+)! 因为前三个小组的频率之和为"2(#所以中位数落在第四个小组内! 设中位数为,#则有!,%+""3"!"'1"!)%"!(#解得,$+'!'! 所以中位数约为+'2'! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!"因为不低于$"分的频率1!"!"!)0"!"")"3#"1"!'# 所以#!""名学生中可以获得礼物的人数约为#!""3"!'1'*"! !*分"!!!!!!!!!!!!!!! #+!$解析%!#"由已知#-!#"1!.%# ' 1# '#解得.1#! !#分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!"由!#"知#-!,"1!,%# !,0##4!,%"#!,0#%##5-!,"的定义域为(! 4-!,"1!,%# !,0#1#% ! !,0##又4!,"!"#06"#5 ! !,0#"!"#!"# 5-!,"的值域为!%###"! !)分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'"4-!,"的定义域为(#且-!%,"1!%,%# !%,0#1#%!, #0!,1%-!,"# 5-!,"是奇函数! !$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #$!$解析%!#"连结%'#交$&于点(!连结(/! 因为四边形$%&' 是正方形#所以( 为%' 的中点# 又/ 为#' 的中点#所以(/ 为&#%' 的中位线# 所以(/'#%! 又#%(平面$/&#(/)平面$/&# 所以#%'平面$/&! !'分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案%!!!!! !!"因为四边形$%&' 是正方形#所以&'#$'! 因为#$#底面$%&'#所以&'##$! 又$'*#$1$#所以&'#平面#$'! !*分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'"因为+&%$'/ 1+/%$&' 1# '$0$*&$&' 1! '# 又因为底面$%&' 是边长为!的正方形#所以*&$&' 1!#所以01#! 又因为/ 是#' 的中点#所以#$1!01!!所以#%1#' 槡1! !! 所以四棱锥#%$%&' 的侧面积1!*&#$% 0!*&#%& 1! # !3!3!0# ! 槡$ % 槡3!3! ! 1(0( !! !$分"!! #&!$解析%!#"因为!#"#所以!$"1789, 槡% '789 ,0"$ %! 1789, 槡% ':;7,1"# 解得 ) ! #可得61 槡#0 ) ! #或61槡)%# ! !舍去"!故选,! !'!-!$解析%$的顺序数为!#则$必是排第三位!+的顺序数为'#则+必是第)位#那么还得考虑)和*#有两 种#!#")在*的前面!那么)只能排在第*位#*可以是第+或第$位#其它四个任排#有!/( (1($种!!!"* 在)前面#)在第+位#有(/( (1&*种!所以满足题意的排列总数为($0&*1#((种!故选-! 二#填空题 !(!#* '!$解析%抛物线&的直角坐标方程为,!1(7#直线8的方程为, 槡1 '!7%#"# 设$!,##7#"*%!,!#7!"# 则由 ,!1(7# , 槡1 '!7%# , - . " 解得7#07!1#" '#又直线过抛物线的焦点5!"##"# 所以 $5 0 %5 17#0#07!0#1#" '0!1#* '! !)!$#!?%!$解析%因为"3.32#对等式.212. 的两边取自然对数#得 2@9.1.@92#即@9. . 1@92 2 !构造函数-!,"1@9, , !,%""#则-9!,"1 #%@9, ,! #令-9!,"1"得,1?!易知-!,"在区间!"#?"内单调递增# 在区间!?#06"内单调递减#所以-!,"A=B1-!?"1# ?!因为-!#"1 "#所以当,"!"##"时-!,"3")当,%#时-!,"%"!如图所示#.#2 可以看成是函数-!,"1@9, , !,%""的图象与直线71"!"%""的两个交点的横坐标!因为"3.32#所以. 的取值范围是!##?"! 三#解答题 !*!$解析%!#"设:!,"#""#由5!!4#""#$!"#2"# 知5!566 $1!%4#2"#566$:1!,"#%2"# 45!566 $# 566$:#5%4,"%2!1"#,"1%2! 4 !由于 :5# 1 5#5! #湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案%(!!!! 故%2! 4 041%!4#52!1'4!1.!%4!#即41# !.# 于是5! # !.#$ %" #: %' !.#$ %" ! 又因为&$:5! 的外接圆圆心为 %# !.#$ %" #半径;1.!该圆与直线, 槡% '7%'1"相切# 所以 %# !.%' ! 1.7.1!!541##2 槡1 '! 5所求椭圆方程为,! (07! '1#! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!"由!#"知5!!##""#设8%71"!,%#"#由 71"!,%#"# ,! (07! ' , - . 1# 消掉7#得 !'0("!",!%$"!,0("!%#!1"! !*分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 设 #7!"1!,#0,!%!>#7#07!"# 由于菱形的对角线垂直#故!566#1"# 即%"! $"! '0("!$ %%! 0 $"! '0("!%!>1"# 由已知条件知"1"且""(#5>1 "! '0("!1 # ' "! 0( #5"3>3# (# 故存在满足的点#!>#""且> 的取值范围是 "#$ %# ( ! !#!分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! !+!$解析%!#".1"时#-!,"3?!,"8@9!,0#"32,# 设0!,"1@9!#0,"%2,#则09!,"1 # #0,%2! 若2/"#显然不满足题意) 若2+##则," "#06" %时#09!,"1 # #0,%2/"恒成立# 50!,"在 "#06$ %上为减函数#有@9!,0#"%2,30!""1"在 "#06$ %上恒成立) 若"323##则09!,"1 # #0,%21"时#,1# 2%##," "## 2" %%# 时09!,"+"# 所以0!,"在 "## 2" %%# 上单调递增! 40!""1"#5," "## 2" %%# 时#0!,"%"#不满足题意! 综上#2+#时-!,"3?!,"在 "#06$ %上恒成立! !(分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案%)!!!! !!"由!#"得@9!,0#"3,在 "#06$ %上恒成立!令,1 # 10#有 @9 #0 # 1$ %0# 3 # 10###% # 10#3#%@9 #0 # 1$ %0# # 则411#% # 10#3#%@9!10!"0@9!10#"# 5*13$ %#%@9'0@9! 0!#%@9(0@9'"0&0!#%@9!10!"0@9!10#""# 即*131%@9 10!$ %! ! !$分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'"-!,%#"1@9,#设点##: 的坐标是#!,##7#"#:!,!#7!"#且"3,#3,!# 则点