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湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第#!!!! 页!共$页"
题
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答
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要
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不
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内
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线
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密
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号
位
座
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号
场
考
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号
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学
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名
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姓
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级
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班
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级
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年
湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试
数学!理科"
时量##!"分钟!!!满分##'"分
得分#!!!!!!!
第!卷!!满分#""分"
一$选择题#本大题共#"小题%每小题(分%共("分%在每小题给出的四个选
项中%只有一项是符合题目要求的!
#!已知全集") %#%"%#%!%*%& '( %#) %#%"%!%& '( %则#"#)
+!$ ,!&"%!%(' -!&#%*' .!&%#%#%*'
!!设$! "% )*%/*%%$%用二分法求方程*%/*%%$)"在%% #%! "! 内近
似解的过程中得$!"# &"%$ #!! "' '"%$ #!! "!' &"%则方程的根落在
区间
+!!#%#!!'" ,!!#!!'%#!'" -!!#!'%!" .!不能确定
*!如果直线&%/!'/#)"与直线%/'%!)"互相平行%那么&的值等于
+!%! ,!%#
* -!%!
* .!!
(!(#()的内角#%(%)所对的边分别为&%*%+%若&)*%* 槡) *%#)"
*%则
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0 -!"
0或'"
0 .!!"
*
'!如图的程序运行后输出的结果为
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!56.
+!%#; ,!!! -!!' .!!$湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第!!!!! 页!共$页"
0!一条直线若同时平行于两个相交平面%则这条直线与这两个平面交线的
位置关系是
+!异面 ,!相交 -!平行 .!平行或重合
;!在(#()中%已知#)'
#*%()(
'%则)的值为
+!#0
0' ,!'0
0' -!#0
0'或'0
0' .!%#0
0'
$!要从已编号!##0""的0"枚最新研制的某型导弹中随机抽取0枚来进行
发射试验%用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的0
枚导弹的编号可能是
+!'%#"%#'%!"%!'%*" ,!*%#*%!*%**%(*%'*
-!#%!%*%(%'%0 .!!%(%$%#0%*!%($
&!取一根长度为'?的绳子%拉直后在任意位置剪断%那么剪得两段的长度
都不小于!?的概率是
+!#
' ,!#
* -!#
( .!不确定
#"!已知)!))!)")*"%且关于%的方程%!/)!)%/!(")"有实根%则!与
"的夹角的取值范围是
+!"%") *0 ,! "
*%) *" -! "
*%) "" .! "
0%) *"
答题卡
题号 # ! * ( ' 0 ; $ & #" 得分
答案
二$填空题#本大题共'个小题%每小题(分%共!"分!
##!已知,'"%-'"%且,/-)(%则,-的最大值是!!!!!
#!!已知函数$!%")
@=A*%!%'""%
!%!%+"
,
-
. "%
则$ $! ") *#
& 的值为!!!!!
#*!等差数列 && '- 中%&*)*%&$)**%则数列 && '- 的公差为!!!!!
#(!函数') !>BC%槡 %#的定义域是!!!!!
#'!如图%正四棱锥.%#()/ 底面的四个顶点#%(%)%/
在球0 的同一个大圆上%点. 在球面上%如果1.%#()/
)#0
*%则球0的表面积是!!!!!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第*!!!! 页!共$页"
三$解答题#本大题共'个小题%共("分!解答应写出文字说明%证明过程或
演算步骤!
#0!!本小题满分0分"
某校从参加环保知识竞赛的#!""名学生中%随机抽取0"名%将其成绩
!均为整数"分成六段)("%'""%)'"%0""%+%)&"%#""*后画出如图的频率
分布直方图!
!#"估计这次竞赛成绩的众数与中位数!结果保留小数点后一位",
!!"若这次竞赛成绩不低于$"分的同学都可以获得一份礼物%试估计该
校参加竞赛的#!""名学生中可以获得礼物的人数!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第(!!!! 页!共$页"
#;!!本小题满分$分"
已知函数$!%")&(!%%#
!%/# 的图象经过点 #%! "#
* !
!#"求&的值,
!!"求函数$!%"的定义域和值域,
!*"证明#函数$!%"是奇函数!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第'!!!! 页!共$页"
#$!!本小题满分$分"
如图所示%四棱锥 .%#()/ 的底面是边长为!的正方形%.#/底面
#()/%2 为./ 的中点!
!#"求证#.(0平面#2),
!!"求证#)//平面.#/,
!*"若三棱锥)%#/2 的体积为!
*%求四棱锥.%#()/的侧面积!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第0!!!! 页!共$页"
#&!!本小题满分$分"
已知向量!)!#% 槡% *"%") >BC%%>BC%/"! "! "! %%%'!
!#"若!/"%求DEC%的值,
!!"设函数$!%")!!(""(%%%% "%") *! %求$!%"的值域!
!"!!本小题满分#"分"
已知数列 && '- 的前-项和为3-%且!%&-%3- 成等差数列!
!#"求数列 && '- 的通项公式,
!!"若*-)-(&-%求数列 *& '- 的前-项和4-,
!*"对于!!"中的4-%设+-)4-%!
&!-/#
%求数列 +& '- 中的最大项!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第;!!!! 页!共$页"
第$卷!!满分'"分"
一$选择题#本大题共*个小题%每小题'分%共#'分%在每小题给出的四个
选项中%有且只有一项是符合题目要求的!
!#!给出下列四个命题
%命题-若%!)#%则%)#.的否命题为#-若%!)#%则%*#.,
&命题-1%%'%%!/%%#&".的否定是-2%%'%%!/%%#'".,
'命题-若%)'%则>BC%)>BC'.的逆否命题为真命题,
(-%)%#.是-%!%'%%0)".的必要不充分条件!
其中真命题的个数是
+!#个 ,!!个 -!*个 .!(个
!!!双曲线%!
&! %'!
*! )#!&'"%*'""的两顶点为##%#!%其虚轴两端点为(#%
(!%两焦点为5#%5!%若以###! 为直径的圆内切于菱形5#(#5!(!%则双
曲线的离心率是
+!槡'%# ,! 槡*/ '
! -!槡'/#
! .!槡*/#
!*!设&#%&!%+%&- 是#%!%+%-的一个排列%把排在&6 的左边且比&6 小的
数的个数称为&6!6)#%!%+%-"的顺序数%如在排列0%(%'%*%!%#中%'的
顺序数为#%*的顺序数为"%则在#至$这$个数的排列中%$的顺序数
为!%;的顺序数为*%'的顺序数为*的不同排列的种数为
+!&0 ,!#(( -!#&! .!!("
答题卡
题号 !# !! !* 得分
答案
二$填空题#本大题共!小题%每小题'分%共#"分!
!(!在平面直角坐标系中%以原点为极点%%轴正半轴为极轴%建立极坐标系!
已知抛物线)的极坐标方程为!!")(>BC"!!3""%直线7的参数方程
为 % 槡) *8%
')#/
,
-
. 8
!8为参数"!设直线7与抛物线) 的两个交点为#$(%点5 为
抛物线) 的焦点%则 #5 / (5 的值为!!!!!
!'!若存在实数&%*!"&&&*"满足&*)*&%则实数&的取值范围是!!!!!湖南师大附中!"#$%!"#&学年度高二第二学期期中考试理科数学 第$!!!! 页!共$页"
三$解答题#本大题共!小题%共!'分%解答应写出文字说明%证明过程或演
算步骤!
!0!!本小题满分#!分"
如图%设椭圆)#%!
&! /'!
*! )#!&'*'""的
左%右焦点分别为5#%5!%上顶点为#%过
点# 作与#5! 垂直的直线交%轴负半轴
于点9%且 95# ) 5#5! !
!#"若过#%9%5! 三点的圆恰好与直线7#% 槡% *'%*)"相切%求椭圆)
的方程,
!!"在!#"的条件下%过右焦点5! 作斜率为:的直线7与椭圆) 交于;%
< 两点%在%轴上是否存在点.!,%""使得以.;%.< 为邻边的平行
四边形是菱形/ 如果存在%求出 , 的取值范围,如果不存在%请说明
理由!
!;!!本小题满分#*分"
已知函数$!%")@C%! "/# %=!%")#
!&%!/*%!
!#"若&)"%$!%"&=!%"在 "%/F! "上恒成立%求*的取值范围,
!!"设数列+-) -
-/#%3- 为数列&+-'的前-项和%求证#3-&-%@C-/!! "! ,
!*"当&*"时%设函数$!%%#"的图象)# 与函数=!%"的图象)! 交于点
.%9%过线段.9 的中点> 作% 轴的垂线分别交)#%)! 于点 ;%%使)# 在 ; 处的切线与)! 在 < 处的切线平行/ 若存
在%求出> 的横坐标,若不存在%请说明理由!
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