第18章平行四边形
18. 2 平行四边形的判定
第3课时平行四边形的判定的综合
1．[2018·安徽]如图，ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF
B．AE＝CF
C．AF∥CE
D．∠BAE＝∠DCF
2．如图，在ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F, 连结AF、CE.求证：AF＝CE.
3．[2018·福田区期末]如图，已知∠A＝∠E＝90°，A、C、F、E在一条直线上，AF＝EC，BC＝DF.
求证：(1)Rt△ABC≌Rt△EDF；
(2)四边形BCDF是平行四边形．
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4．[2018·九江期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°.
(1)求证：AE∥BD；
(2)过点C作CF⊥BD于点F，连结EF，求证：四边形EFCD是平行四边形．
5．[2018·高州市期末]如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)连结BE，若BE＝EF，求证：AE＝AD.
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6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题．
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果……，那么……”的形式)
参考答案
1．B
2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE∥CF.
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在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE.
3．证明：(1)∵AF＝EC，
∴AC＝EF.
又∵BC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(HL)．
(2)∵Rt△ABC≌Rt△EDF，
∴BC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴∠BCF＝∠DFC，
∴BC∥DF.
又∵BC＝DF，
∴四边形BCDF是平行四边形．
4．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC.
∵∠EAD＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠ADB，
∴AE∥BD.
(2)∵AE∥BD，
∴∠AED＋∠BDE＝180°.
∵∠AED＝90°，
∴∠BDE＝90°.
∵CF⊥BD，
∴∠EDB＝∠CFD＝90°，
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∴DE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD.
∵∠EAD＝∠CBF，∠AED＝∠BFC＝90°，
∴△ADE≌△BCF(AAS)，
∴DE＝CF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
5．
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°.
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC，
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
(2)如答图，连结BE.
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°.
∵DC＝EF，
∴EB＝DC.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
∴AE＝AD.
6．解：(1)是真命题．
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证明如下：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)假命题：
a．在四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形；
b．在四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
反例：
答图1 答图2
如答图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形；
如答图2所示，在四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形．
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