贵阳专用2019中考数学总复习第二部分热点专题解读专题五几何图形探究问题针对训练.doc

1 第二部分　专题五　 1．在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC， CB 上移动． 图 1　　　　　图 2　　　　　　图 3 (1)如图 1，当点 E 在边 DC 上自 D 向 C 移动，同时点 F 在边 CB 上自 C 向 B 移动时，连 接 AE 和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图 2，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF，(1)中的结论还 成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)；连接AC，请你直接写出△ACE 为等腰 三角形时 CE∶CD 的值； (3)如图 3，当 E，F 分别在直线 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E， F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图．若 AD＝2，试求出线段 CP 的最大值． 解：(1)AE＝DF，AE⊥DF. 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°. ∵动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动， ∴DE＝CF. 在△ADE 和△DCF 中， Error! ∴△ADE≌△DCF(SAS)， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC． ∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠CDF＝90°， ∴∠ADP＋∠DAE＝90°， ∴∠APD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DF. (2)是，CE∶CD＝ 2或 2. 【解法提示】有两种情况： ①如答图 1，当 AC＝CE 时，设正方形 ABCD 的边长为 a.由勾股定理得，AC＝CE＝ a2＋a2 ＝ 2a， 则 CE∶CD＝ 2a∶a＝ 2； ②如答图 2，当 AE＝AC 时，设正方形 ABCD 的边长为 a，2 由勾股定理得，AC＝AE＝ a2＋a2＝ 2a. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC＝90°，即 AD⊥CE， ∴DE＝CD＝a，∴CE∶CD＝2a∶a＝2. 即 CE∶CD＝ 2或 2. 　　 图 1　 　　　图 2　　　　　　图 3 (3)∵点 P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点 P 的路径是以 AD 为直径的圆上的一段弧． 如答图 3，设 AD 的中点为 Q，连接 CQ 并延长交圆弧于点 P，此时 CP 的长度最大． ∵在 Rt△QDC 中，QC＝ CD2＋QD2＝ 22＋12＝ 5， ∴CP＝QC＋QP＝ 5＋1， 即线段 CP 的最大值是 5＋1. 2．问题探究 (1)如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别是边 BC，CD 上两点，且 BM＝ CN，连接 AM 和 BN，交于点 P.猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论． (2)如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别从点 B，C 同时出发，以相同的 速度沿 BC，CD 方向向终点 C 和 D 运动．连接 AM 和 BN，交于点 P，求△APB 周长的最大值； 问题解决 (3)如图 3，AC 是边长为 2 3的菱形 ABCD 的对角线，∠ABC＝60°.点 M 和 N 分别从点 B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CA 向终点 C 和 A 运动．连接 AM 和 BN，交于点 P.求△ APB 周长的最大值． 图 1　 　　　　图 2　　　　　图 3 解：(1)AM⊥BN. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°. ∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM＝∠CBN.3 ∵∠CBN＋∠ABN＝90°， ∴∠ABN＋∠BAM＝90°， ∴∠APB＝90°，∴AM⊥BN. (2)如答图 1，以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形 AEB，∠AEB＝90°，作 EF⊥PA 于 F， 作 EG⊥PB 交 PB 延长线于 G，连接 EP. 答图 1 ∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°， ∴四边形 EFPG 是矩形， ∴∠FEG＝∠AEB＝90°， ∴∠AEF＝∠BEG. ∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°， ∴△AEF≌△BEG， ∴EF＝EG，AF＝BG， ∴四边形 EFPG 是正方形， ∴PA＋PB＝PF＋AF＋PG－BG＝2PF＝2EF. ∵EF≤AE，∴EF 的最大值为 AE＝2 2， ∴△APB 周长的最大值为 4＋4 2. (3)如答图 2，延长 DA 到 K，使得 AK＝AB，则△ABK 是等边三角形，连接 PK，取 PH＝ PB，连接 BH. 答图 2 ∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠APN＝∠BAM＋∠ABP＝∠CBN＋∠ABN＝60°， ∴∠APB＝120°. ∵∠AKB＝60°， ∴∠AKB＋∠APB＝180°，4 ∴A，K，B，P 四点共圆， ∴∠BPH＝∠KAB＝60°. ∵PH＝PB，∴△PBH 是等边三角形， ∴∠KBA＝∠HBP，BH＝BP， ∴∠KBH＝∠ABP. ∵BK＝BA，∴△KBH≌△ABP， ∴HK＝AP， ∴PA＋PB＝KH＋PH＝PK， ∴当 PK 的值最大时，△APB 的周长最大， ∴当 PK 是△ABK 外接圆的直径时，PK 的值最大，最大值为 4， ∴△PAB 的周长最大值为 2 3＋4. 3．(2016·贵阳)(1)阅读理解： 如图 1，在△ABC 中，若 AB＝10，AC＝6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E 使 DE＝AD，再连接 BE(或将△ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD)，把 AB，AC,2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可 判断． 中线 AD 的取值范围是__2