1
第四单元 三角形
第二十一课时 锐角三角函数及其应用
1. (2017 天津)cos60°的值等于( )
A. 3 B. 1 C.
2
2 D.
1
2
2. (2017 怀化)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(3，4)，那么sinα 的值是( )
A.
3
5 B.
3
4 C.
4
5 D.
4
3
第 2 题图 第 3 题图
3. (2017 长沙中考模拟卷六)如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠B＝40°，则直角
边 BC 的长是( )
A. mcos40° B. msin40° C. mtan40° D.
m
tan40°
4. (2017 天水)在正方形网格中△ABC 的位置如图所示，则 cos∠B 的值为( )
A.
1
2 B.
2
2 C.
3
2 D.
3
3
第 4 题图 第 5 题图
5. (2017 温州)如图，一辆小车沿倾斜角为 α 的斜坡向上行驶 13 米，已知 cosα＝
12
13，则
小车上升的高度是( )
A. 5 米 B. 6 米 C. 6.5 米 D. 12 米
6.(2017 宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为 1)，AD⊥BC 于 D，下列2
四个选项中，错误的是( )
A. sinα＝cosα B. tanC＝2
C. sin β＝cos β D. tanα＝1
第 6 题图 第 7 题图
7.(2017 河北)如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A、B 同时出发，并以
等速驶向某海域．甲的航向是北偏东 35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是
( )
A. 北偏东 55° B. 北偏西 55°
C. 北偏东 35° D. 北偏西 35°
8. (2017 重庆 A 卷)如图，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为
40°，若 DE＝3 米，CE＝2 米，CE 平行于江面 AB，迎水坡 BC 的坡度 i＝1∶0.75，坡长 BC＝
10 米 ， 则 此 时 AB 的 长 约 为 ( 参 考 数 据 ： sin40°≈0.64 ， cos40°≈0.77 ，
tan40°≈0.84)( )
A. 5.1 米 B. 6.3 米 C. 7.1 米 D. 9.2 米
第 8 题图 第 10 题图
9. (2017 烟台)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ 3，则 sin
A
2＝________．
10. (2017 德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE、DF 为梯形的高，其中迎3
水坡 AB 的坡角 α＝45°，坡长 AB＝6 2米，背水坡 CD 的坡度 i＝1∶ 3(i 为 DF 与 FC 的
比值)，则背水坡 CD 的坡长为________米．
11. (8 分)(2017 恩施州)如图，小明家在学校 O 的北偏东 60°方向，距离学校 80 米的 A 处，
小华家在学校 O 的南偏东 45°方向的 B 处，小华家在小明家正南方向，求小华家到学校的
距离．(结果精确到 1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)
第 11 题图
12. (8 分)(2017 安徽)如图，游客在点 A 处坐缆车出发，沿 A—B—D 的路线可至山顶 D
处．假设 AB 和 BD 都是直线段，且 AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求 DE 的长．(参
考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， 2≈1.41)
第 12 题图
13. (8 分)(2017 芙蓉区二十九中模拟)如图，河的两岸 l1 与 l2 相互平行，A、B 是 l1 上的两
点，C、D 是 l2 上的两点，某人在点 A 处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿 AB 方向前进
20 米到达点 E(点 E 在线段 AB 上)，测得∠DEB＝60°，求 C、D 两点间的距离．4
第 13 题图
14. (8 分)(2017 麓山国际实验学校二模)如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图②所
示的位置放置，这样可以快速晾干杯底，干净透气；将图②的主体部分抽象成图③，此时杯
口与水平直线的夹角为 35°，四边形 ABCD 可以看作矩形，测得 AB＝10cm，BC＝8cm，过点
A 作 AF⊥CE，交 CE 于点 F.
(1)求∠BAF 的度数；
(2)求点 A 到水平直线 CE 的距离 AF 的长(精确到 0.1 cm)．
(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)
第 14 题图
15. (9 分)(2017 长沙中考模拟卷四)如图，为了测量某建筑物 BC 的高度，小明先在地面上
用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 30°，然后在水平地面上向建筑物前进了 20 m 到
达 D 处，此时遇到一斜坡，坡度 i＝1∶ 3，沿着斜坡前进 40m 到达 F 处测得建筑物顶部的
仰角是 45°，(坡度 i＝1∶ 3是指坡面的铅直高度 FE 与水平宽度 DE 的比)．
(1)求斜坡 DF 的端点 F 到水平地面 AB 的距离和斜坡的水平宽度 DE 分别为多少米？
(2)求建筑物 BC 的高度为多少米？
(3)现小亮在建筑物一楼(水面地面上点 B 处)乘电梯至楼顶(点 C)，电梯速度为 2( 3＋
3)m/s，同时小明从测角仪处(点 A)出发，骑摩托车至斜坡的端点 F 处，已知，小明在平地
上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为
多少？5
第 15 题图
答案
1. D 2. C 3. A 4. B 5. A
6. C 【解析】∵网格中每一个小正方形的边长均为 1，则 AD＝2，BD＝2，CD＝1，AB＝
AD2＋BD2＝2 2，AC＝ AD2＋CD2＝ 5，∴sinα＝
BD
AB＝
2
2 ，cosα＝
AD
AB＝
2
2 ，∴sinα＝
cosα，故 A 正确；tanC＝
AD
CD＝2，故 B 正确；sinβ＝
CD
AC＝
5
5 ，cosβ＝
AD
AC＝
2 5
5 ，∴sinβ≠
cosβ，故 C 错误；tanα＝
BD
AD＝1，故 D 正确．
第 7 题解图
7. D 【解析】如解图，∵两船等速且不能相撞，∴甲与乙所行路程不能相等，∴△ABC 不
能是等腰三角形，∴∠CBD≠35°，∴乙的航向不能是北偏西 35°.
第 8 题解图6
8. A 【解析】如解图，延长 DE 交江面 AB 延长线于点 F，可得 DF⊥AB，过点 C 作 CG⊥AB
于点 G，∵迎水坡 BC 的坡度＝1∶0.75＝4∶3，设 BG＝3x，CG＝4x，在 Rt△BCG 中，∴BC＝
5x，∵BC＝10 米，即 5x＝10，x＝2，∴BG＝3x＝6 米，CG＝4x＝8 米，∵DF⊥AB，CG⊥AB，∴
四边形 CEFG 是矩形，∴GF＝CE＝2 米，EF＝CG＝8 米，∴DF＝3＋8＝11 米，在 Rt△ADF 中，∠
A＝40°，DF＝11 米，∴AF＝
DF
tan40°≈
11
0.84≈13.10 米，∴AB＝AF－BG－GF＝13.10－6－2＝
5.10≈5.1 米．
9.
1
2 【解析】由题意可知∠A＝60，∴sin
A
2＝sin30°＝
1
2.
10. 12 【解析】在 Rt△ABE 中，∠α＝45°，AB＝6 2，则 AE＝6，DF＝AE＝6，在 Rt△DFC
中，DF＝6，DF∶FC＝1∶ 3，∴∠C＝30°，∴DC＝2DF＝12.
第 11 题解图
11. 解：如解图，AB⊥OC 于点 C，在 Rt△AOC 中，OA＝80，且∠AOC＝90°－60°＝30°，
∴AC＝
1
2OA＝40，OC＝
3
2 OA＝40 3，
在 Rt△OCB 中，OC＝CB＝40 3，
∴OB＝ 2OC＝40 6≈98.
答：小华家到学校的距离约为 98 米．
12. 解：在 Rt△BDF 中，由 sinβ＝
DF
BD可得，
DF＝BD·sinβ＝600×sin45°＝600×
2
2 ＝300 2≈423(m)，
在 Rt△ABC 中，由 cosα＝
BC
AB可得，
BC＝AB·cosα＝600×cos75°≈600×0.26＝156(m)，
∴DE＝DF＋EF＝DF＋BC≈423＋156＝579(m)，7
答：DE 的长为 579 m.
13. 解：过点 D 作 l1 的垂线，垂足为 F，
∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，
第 13 题解图
∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，
∴△ADE 为等腰三角形，
∴DE＝AE＝20，
在 Rt△DEF 中，EF＝DE·cos60°＝20×
1
2＝10，
∵DF⊥AF，即∠DFB＝90°，
∴AC∥DF，
由已知 l1∥l2，
∴CD∥AF，
∴四边形 ACDF 为矩形，CD＝AF＝AE＋EF＝30，
答：C、D 两点间的距离为 30 米．
14. 解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠DAF＝∠DCE＝90°－35°＝55°，
∴∠BAF＝90°－55°＝35°；
(2)如解图，作 BM⊥AF 于 M，BN⊥EF 于 N，8
第 14 题解图
则 MF＝BN＝BC·sin35°＝0.57×8≈4.56(cm)，
∴AM＝AB·cos35°＝10×0.8192≈8.20(cm)，
∴AF＝AM＋MF＝8.20＋4.56≈12.8(cm)．
答：点 A 到水平直线 CE 的距离 AF 的长为 12.8 cm.
15. 解：(1)在 Rt△DEF 中，i＝EF∶DE＝1∶ 3，DF＝40 m，
设 EF＝x m，则 DE＝( 3x)m，
由勾股定理可得：DF＝ EF2＋DE2，即 40＝ x2＋（ 3x）2，
解得 x＝20， 3x＝20 3，即 EF＝20 m，DE＝20 3 m，
答：斜坡 DF 的端点 F 到水平地面 AB 的距离和斜坡的水平宽度 DE 分别为 20 米、20 3米；
(2)由题意可得，△CGF 为等腰直角三角形，设 CG＝y m，则 FG＝y m，
BC＝(20＋y) m，AB＝(20＋20 3＋y)m，
在 Rt△ABC 中，BC＝AB·tanA，
∴20＋y＝
3
3 (20＋20 3＋y)，
解得 y＝10 3＋10，
∴BC＝10 3＋10＋20＝(10 3＋30)m，
答：建筑物 BC 的高度为(10 3＋30)米；
(3)设小明上坡时的车速为 a m/s，则小明在平路的车速为 2a m/s，
根据题意得，
1
2×(
20
2a＋
40
a )＝
10 3＋30
2（ 3＋3），解得 a＝5，
经检验，a＝5 是方程的根且符合题意，9
答：小明上坡时的车速为 5 m/s.
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