第6讲 圆
一、 选填题
【2018·昌平二模】1.如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 ．
【答案】
【2018·朝阳二模】2．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在圆O上，弧BD=弧CD，AB=10，AC=6，连接OD交BC于点E，DE= ．
【答案】2
【2018·房山二模】3. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则AE= .
O
A
B
C
D
E
【答案】2 ;
【2018·海淀二模】4．如图，圆的弦，，，中最短的是
A . B.
C. D.
【答案】A
【2018·石景山二模】5．如图，⊙O的半径为2，切线AB的长为，
点P是⊙O上的动点，则AP的长的取值范围是__________．
【答案】．
【2018·西城二模】6. 如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC.若，则∠DOC= ．
【答案】54
【2018·东城二模】7. 如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=8. 是△ABC的外接圆，其半径为5. 若点A在优弧BC上，则的值为_____________.
【答案】2
【2018·海淀二模】8．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【2018·西城二模】9. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．
【答案】
【2018·朝阳二模】10.⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】D
【2018·东城二模】11. 在平面直角坐标系中，若点在内，则的半径的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
一、 解答题
【2018·昌平二模】1. 如图，是⊙的直径，弦 于点，过点的切线交的延长线于点，连接DF．
（1）求证：DF是⊙的切线；
（2）连接，若=30°，，求的长．
【答案】
（1）证明：连接OD
∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°………………………………………1分
∴∠OCD+∠DCF=90°
∵直径AB⊥弦CD
∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线
∴CF=DF
∴∠CDF=∠DCF………………………………………2分
∵OC=OD，
∴∠CDO=∠OCD
∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°
∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切线………………………………………3分
（2）解：连接OD
∵∠OCF=90°, ∠BCF=30°
∴∠OCB=60°
∵OC=OB
∴ΔOCB为等边三角形，
∴∠COB=60°………………………………………4分
∴∠CFO=30°
∴FO=2OC=2OB
∴FB=OB= OC =2………………………………………5分
在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60°
∴CF
∴CD=2 CF…………………………………………6分
【2018·朝阳二模】2. AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA=CD.
（1）连接BC，求证：BC=OB；
（2）E是AB中点，连接CE，BE，若BE=2，
求CE的长.
【答案】（1）证明：连接OC.
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°. ………………1分
∵CD为⊙O切线
∴∠OCD＝90°. ………………2分
∴∠ACO＝∠DCB＝90°∠OCB
∵CA=CD，
∴∠CAD＝∠D.
∴∠COB＝∠CBO.
∴OC= BC.
∴OB= BC. …………………………………………………3分
（2）解：连接AE，过点B作BF⊥CE于点F.
∵E是AB中点
∴AE=BE=2.
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠ECB＝∠BAE= 45°，.
∴.
∴.
∴.
∴.…………………………………………5分
【2018·东城二模】3． 如图，AB为的直径，直线于点.点C在上，分别连接，，且的延长线交于点.为的切线交于点F.
（1）求证：；
（2）连接. 若，，
求线段的长.
【答案】
（1）证明：∵是的直径，
∴.
∴.
∴.
∵ 是的直径，，
∴MB是的切线.
∵是的切线，
∴.
∴.
∵ ,
∴.
∴. ---------------------------------------------------------------------3分
（2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，
根据勾股定理求得.
在和中，
∴∽.
∴.
∴ .
∴.
由（1）知，
∵，，
∴.
∵，
∴ 是的中位线.
∴---------------------------------------------------------------------5分
【2018·房山二模】4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC=，求AC和CD的长．
【答案】解：（1）证明：如图，延长AO交BC于H，连接BO.
∵AB=AC,OB=OC
∴A、O在线段BC的中垂线上
∴AO⊥BC
又∵AB=AC
∴AO平分∠BAC…………………………………………………………………2′
（2）如图，过点D作DK⊥AO于K
∵由（1）知AO⊥BC，OB=OC,BC=6
∴BH=CH=,∠COH=
∵∠BAC=
∴∠COH=∠BAC
在Rt△COH中，∠OHC=90°，sin∠COH=
∵CH=3
∴sin∠COH=
∴CO=AO=5………………………………………………………………………3′
∴CH=3,
∴AH=AO+OH=9,tan∠COH= tan∠DOK=
在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AH=9,CH=3
∴tan∠CAH=,…………………………4′
由（1）知∠COH=∠BOH, tan∠BAH= tan∠CAH=
设DK=3a，在Rt△ADK中，tan∠BAH=,在Rt△DOK中，tan∠DOK=
∴OK=4 a, DO=5 a, AK=9 a
∴OA=13 a =5
∴a =,DO=,CD=OC+OD= ………………………………………………5′
∴AC=3, CD=
【2018·丰台二模】5．如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC = BC，连接BC.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）⊙O的半径为5，，求FD的长．
【答案】（1）证明：∵G为弦AE的中点，∴OD⊥AE. …….…….……………1分
∴∠DGC=90°.∴∠D +∠DFG =90°.
∵FC=BC，∴∠1＝∠2. ∵∠DFG =∠1，∴∠DFG＝∠2.
∵OD=OB，∴∠D＝∠3.
∴∠3 +∠2=90°. ∴∠ABC＝90°.即CB⊥AB.
∴BC是⊙O的切线. …….…….……………2分
（2）解：∵OA=5，tanA=，
∴在Rt△AGO中，∠AGO＝90°，OG=3，AG=4.
∵OD=5，∴DG=2.
∵AB=2OA=10，
∴在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC= ，AC= .
∴FC=BC=. ∴ .∴在Rt△DGF中，FD=. …5分
（其他证法或解法相应给分.）
【2018·海淀二模】6．如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点.
（1）连接，则= ；
（2）求证：与相切；
（3）点在上，，交于点.若，求的长.
【答案】
23．解：（1） 60 ；
（2）连接，
∵，是的直径，
∴.
∵是的中点，
∴.
又∵，
∴.
∴.
∴∥.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴与⊙相切．
（3）连接，，
∵于，
∴是中点.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
由（1）可知.
∴.
在中，，，，
∴.
在中，，，，
∴.
由（1）知，
∴.
在中，，，，
∴．
【2018·石景山二模】7．如图，在△中，∠，点是边上一点，以为直径的⊙与边相切于点，与边交于点，过点作⊥于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明:连接
∵⊙与边相切
∴⊥
∵∠
∴∥． ……………………..1分
∴
∵，
∴
∴
∵⊥
∴． …………………………..2分
（2）解：在Rt△中，，，
∴． ………………………………..3分
∵∥
∴，即．
解得, ………………………………..4分
∴． …………………………..5分
【2018·西城二模】8．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.
（1）求证：FG与⊙O相切；
（2）连接EF，求的值.
【答案】（1）证明：如图6，连接OC，AC.
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ CE=DE，AD=AC.
∵ DC=AD，
∴ DC=AD= AC.
∴ △ACD为等边三角形．
∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60°．
∴ ∠1=30°．
图6
∵ FG∥DA，
∴ ．
∴∠DCF=120°
∴∠OCF=90°
∴ FG⊥OC．
∴ FG与⊙O相切．……………………………………………………… 3分
（2）解：如图6，作EH⊥FG于点H．
设CE= a，则DE= a，AD=2a．
∵ AF与⊙O相切，
∴ AF⊥AG．
又∵ DC⊥AG，
可得AF∥DC．
又∵ FG∥DA，
∴ 四边形AFCD为平行四边形．
∵ DC =AD，AD=2a，
∴ 四边形AFCD为菱形．
∴ AF=FC=AD=2 a，∠AFC=∠D = 60°．
由（1）得∠DCG= 60°，，．
∴ ．
∵ 在Rt△EFH中，∠EHF= 90°，
∴ ． …………………………………… 5分
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