2018高考高三数学3月月考模拟试题03
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设为虚数单位，则复数等于
A． B． C． D．
2．已知集合，，，则
A. 0 B. 3 C. 4 D. 3或4
3．已知向量，，则
A． B. C. D.
4、函数f（x）＝｜x－2｜－lnx在定义域内的零点个数为
A、0 B、1 C、2 D、3
5．已知实数满足，则目标函数的最大值为
A． B． C． D．
6.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积
A． B． C． D．
7.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件=“取到的2个数之和为偶数”，事件=“取到的2个数
均为偶数”，则 = （ ）.
(A) (B) (C) (D)
8．设向量，，定义一运算： ,
已知，。点Q在的图像上运动，且满足 （其中O
为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是
A． B． C． D．
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。
开始
输出K,S
结束
是
否
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 已知不等式的解集与不等式的解集
相同,则的值为
10. 若n的展开式中所有二项式系数之和为64，则
展开式的常数项为 .
11.已知等差数列的首项，前三项之和，则
的通项．
12. 计算 = .
13．如图，是一程序框图，则输出结果为
， . 。
(说明，是赋值语句，也可以写成，或
图3
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆的割线交圆
于、两点，割线经过圆心。已知，
，。则圆的半径．
⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；.
（Ⅱ）设，求的值域和单调递增区间．
17．（本小题满分12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。
（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
16
女
6
14
总计
30
（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列和均值。
参考公式：，其中
参考数据：
0.40
0.25
0.10
0.010
0.708
1.323
2.706
6.635
18．（本题满分14分）
P
A
B
D
C
O
第18题图
如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，
且，点为圆上一点，且．
点在圆所在平面上的正投影为点，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
19．(本题满分14分)
已知数列满足：，且（）．
……………………………
…………………………………………
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．
20．（本题满分14分）
设椭圆的左右顶点分别为，离心率．
过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹的方程；
（3）设直线（点不同于）与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．
21．（本题满分14分）
设,函数.
（Ⅰ）证明:存在唯一实数，使；
（Ⅱ）定义数列:,,.
（i）求证:对任意正整数n都有；
(ii) 当时, 若，
证明:对任意都有:.
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
C
C
B
B
C
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．－1 __ ． 10． －160 ． 11．． 12．． 13．11, ．（2分，3分）
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕； ⒖．
2.解析：3或4
7.提示：“从1，2，3，4，5中任取2个不同的数”一共有种不同选取方式，其中满足事件的有种选取方式，所以，而满足事件要求的有种，即，再由条件概率计算公式，得
16．（本小题满分12分）
网解：（Ⅰ）∵
的最小正周期为． …… 5分
（Ⅱ）∵， ， ．
的值域为． ……… 10分
当递减时，递增．
，即．
故的递增区间为． …………12分
17．解：（1）
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
……2分
（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分
（3）喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：
……8分
喜爱运动的人数为的分布列为：
0
1
2
P
……10分
P
A
B
D
C
O
所以喜爱运动的人数的值为： … 12分
18．（本题满分14分）
解析：（Ⅰ）法1：连接，由知，点为的中点，
又∵为圆的直径，∴，
由知，，
∴为等边三角形，从而．-----------------3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，-----------------5分
由得，平面，
又平面，∴． -----------------6分
（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分．）
法2：∵为圆的直径，∴，
在中设，由，得，，，，
∴，则，
∴，即． -----------------3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴， -5分
由得，平面，
又平面，∴． ---------6分
法3：∵为圆的直径，∴，
在中由得，，
设，由得，，，
由余弦定理得，，
∴，即． -----3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴， ------5分
由得，平面，
又平面，∴． -----------6分
P
A
B
D
C
O
E
（Ⅱ）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接． -----------------7分
由（1）知平面，又平面，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴，-----------------9分
∴为二面角的平面角． -----------------10分
由（Ⅰ）可知，，
（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）
∴，则，
∴在中，，
∴，即二面角的余弦值为． --------14分
法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分
（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分．）
设，由，得，，，
∴，，，，
∴，，，
由平面，知平面的一个法向量为． -----------------10分
P
A
B
D
C
O
y
z
x
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
∴，-----------------12分
设二面角的平面角的大小为，
则，-----------------13分
∴二面角的余弦值为．-----------------14分
19．解：（Ⅰ）由条件，，得
………………2分
∴ 数列为等差数列． ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 …………4分
∴ ………………7分
∴ .………… 8分
（Ⅲ） () ………………………10分
∴ 第行各数之和
（）………….…12分
∴ 表中前行所有数的和
. ………….…14分
20．（本题满分14分）
解析：（1）由题意可得，，∴， -.--2分
∴，
所以椭圆的方程为． --------4分
（2）设，，由题意得，即， --------6分
又，代入得，即．
即动点的轨迹的方程为． -------8分
（3）设，点的坐标为，
∵三点共线，∴，
而，，则，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为， -------10分
∴直线的斜率为，
而，∴，
∴， -------12分
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切． -------14分
21．（本题满分14分）
（Ⅰ）证明: ①. 1分
令,则,,
∴. …………… 2分
又,∴是R上的增函数. …… 3分
故在区间上有唯一零点,
即存在唯一实数使. ……… 4分
②当时, ,,由①知,即成立；………… 5分
设当时, ,注意到在上是减函数,且,
故有:,即
∴, …………………… 7分
即.这就是说,时,结论也成立.
故对任意正整数都有:. ………… 8分
(2)当时,由得:, …………… 9分
…………… 10分
当时,,
∴
…….………… 12分
对,
…… 13分
……… 14分
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