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代数几何综合问题（1）专项练习
1. 如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点B（0，4）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为，连接BC、AC。求证：△ABC是等腰直角三角形；
⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由。
2. 二次函数的图象的一部分如图所示。已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。
（1）试求，所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形。若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由。
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，，EF⊥OD，垂足为F。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
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（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。
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代数几何综合问题（1）专项练习
参考答案
1. （1）解：由题意知：16a+6=4
解得：a=
故抛物线的解析式为：。
⑵证明：由抛物线的解析式知：顶点D坐标为（－4，6）
∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上，∴C点坐标为（－4，－4）
设直线BD解析式为：，有：，∴
∴直线BD解析式为
∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8，0）
过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8
又∵OB=4，OA=8，
∴CE=OB，BE=OA，∠CEB=∠BOA=90°
∴△CEB≌△BOA（SAS）
∴CB=AB，∠CBE=∠BAO
∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE+∠ABO=90° 即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形。
⑶存在。①当∠CA′B′=90°时，如图2，∵A′B′∥AB，∴∠OA′B′=∠BAO
易证：∠ECA′=∠OA′B′，∴∠ECA′=∠BAO，∵tan∠BAO=，∴tan∠ECA′=
∴EA′=2，∴A′坐标为（－2，0），∴直线l解析式为。
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②当∠A′CB′=90°时，如图3，过点C作CE⊥轴于点E，
易证△A′FC≌△B′EC，∴A′F=B′E，∴由①可知tan∠B′A′O=
∴设B′坐标为（0，n），∴有 ∴
B′坐标为（0，），∴直线l解析式为
2. （1）将A（1，0），B（0，l）代入得：
，可得：
（2）由（1）可知：，顶点M的纵坐标为，
因为，由同底可知：，
整理得：，解得：
由图象可知：a＜0，因为抛物线过点（0，1），
顶点M在第二象限，其对称轴，
∴，∴舍去，从而。
（3）①由图可知，A不可能为直角顶点；
②若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；
③若设B为直角顶点，则可知，
令y=0，可得：，解得：
得：。 则
解得：，由，不合题意。所以不存在。
综上所述，不存在。
3. 解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
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∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；
（2）；
∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴。
∵，
∴= ，∴EF=t。
同理，
∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（3）∵抛物线的解析式为：，
∴C（0，8），OC=8。
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则四边形EFOM是矩形，
∴EF=OM。
∴在Rt△AEM中，，
，
当∠CEA=90°时，，
即，解得：t=4
当∠ECA=90°时，，
即，
解得：t=8，即点D与点C重合。
综上所述，t的值是4或8。
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