2018年全国初中数学竞赛（初三组）初赛试题参考答案.pdf

20182018年全国初中数学竞赛年全国初中数学竞赛（（初三组初三组））初赛试题参考答案和评分标准初赛试题参考答案和评分标准 一、1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 6. C 二、7. 1 8. 4 < k < 4 2 9. 4 3 3 或 32 - 4 15 7 10. ①③ 三、11. 设 y = x2 + 2x，则原式可化为 y + m2 - 1 y - 2m = 0，即 y2 - 2my + m2 - 1 = 0. ……………………………………………………… 5分 解得 y1 = m + 1，y2 = m - 1. 即 x2 + 2x = m + 1或x2 + 2x = m - 1. …………………………………………………………………………………………… 10分 所以 x2 + 2x = m + 1的判别式为 Δ1 = 4m + 8， x2 + 2x = m - 1的判别式为 Δ2 = 4m. ………………………………………………………………………………………… 15分 因为 Δ1 > Δ2，方程有三个不相等的实数根，所以 Δ = 4m = 0，即 m = 0. 即 x2 + 2x + 1 = 0 或 x2 + 2x - 1 = 0. 解得 x1 = -1，x2 = 2 - 1，x3 = - 2 - 1. …………………………………………… 20分 四、12. （1）由题可证△EDH ∽△BAE. 所以 DH AE = DE AB . 所以DH = 4. …………………………………………………………… 5分 （2）过点F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于点M. 因为 tan ∠ABE = 3 4 ，AB = 16，所以AE = 12. 所以DE = 4. 因为∠MEF + ∠AEB = ∠AEB + ∠ABE = 90°，所以∠MEF = ∠ABE. 又因为EF = BE，∠M = ∠A，所以△EMF ≌ △BAE. 所以ME = AB = 16，FM = AE = 12. ………………………………………………………………………………………… 10分 所以DM = ME - DE = 12．所以DM = MF. 所以四边形DGFM是正方形. 所以FG = DG = 12. 所以CG = 4. 所以CF = FG2 + CG2 = 4 10 .………………………………………………………… 15分 （3）由题意，可得S△CEF = S△CHF + S△CHE = 1 2 CH · EM. 由△EMF ≌ △BAE，得EM = AB = 16. 所以S△CEF = 1 2 ×16 × CH = 8CH. 由△EDH ∽△BAE，得 DE AB = DH AE . ………………………………………………………………………………………… 20分 设AE为x，则DH = DE · AE AB = ( )16 - x ·x16 = 1 16( )-x2 + 16x = - 1 16( )x - 8 2 + 4 ≤ 4. 所以DH ≤ 4. 所以CH ≥ 12. 所以CH的最小值是12. 所以△CEF面积的最小值是96. …………………………………………………………………………………………… 25分 五、13.（1）抛物线的函数表达式为y = 1 2 x2 － 2x－ 5 2 . …………………………………………………………………………… 5分 （2）因为抛物线的函数表达式为y = 1 2 x2－2x－ 5 2 ，所以其对称轴为直线x = 2. 连接BC. 因为点B（5，0），C æ è ö ø 0,- 5 2 ，所以可求得直线BC的函数表达式为y = 1 2 x - 5 2 . ……………………………… 10分 当x = 2时，y = 1 - 5 2 = - 3 2 . 所以使PA + PC的值最小时，点P的坐标为 æ è ö ø 2,- 3 2 . …………………………………………………………………… 15分 （3）存在，如图所示. ① 当点N在x轴下方时，因为抛物线的对称轴为直线x = 2，C æ è ö ø 0,- 5 2 ，所以N1 æ è ö ø 4,- 5 2 ；……………………………… 20分 ② 当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D. 所以△AN2D ≌ △M2CO. 所以N2D = OC = 5 2 ，即点N2的纵坐标为 5 2 . 所以 1 2 x2 - 2x - 5 2 = 5 2 . 解得x = 2 + 14 或x = 2 - 14 . 所以点N2 æ è ö ø 2 + 14， 5 2 ，N3 æ è ö ø 2 - 14， 5 2 . 综上所述，符合条件的点N的坐标为 æ è ö ø 4,- 5 2 ，æ è ö ø 2 + 14， 5 2 或 æ è ö ø 2 - 14， 5 2 . …………………………………………… 25分 y xO C A N3 M3 M1 N1 N2 M2 D 第13题图 第1页（共1页） 1