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课时训练(十九)全等三角形
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．[2016·厦门]如图K19－1，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( )
A．∠B B．∠A
C．∠EMF D．∠AFB
图K19－1
图K19－2
2．[2016·金华]如图K19－2，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA
C．∠C＝∠D D．BC＝AD
3．如图K19－3，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8 cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．9 cm
图K19－3
图K19－4
4．如图K19－4，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
二、填空题
图K19－5
5．[2015·邵阳]如图K19－5，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：____________．
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图K19－6
6．[2017·怀化]如图K19－6，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：________，使得△ABC≌△DEC.
7．[2017·黔东南州]如图K19－7，点B，F，C，E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件________，使得△ABC≌△DEF.
图K19－7
图K19－8
8．[2016·贺州]如图K19－8，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为________．
三、解答题
9．[2017·吉林]如图K19－9，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C.
求证：∠A＝∠D.
图K19－9
10．[2017·南充]如图K19－10，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是E，F，DE＝CF，AE＝BF.
求证：AC∥BD.
图K19－10
11．[2017·温州]如图K19－11，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
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图K19－11
12．[2016·泰安](1)已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图K19－12①)，求证：EB＝AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图②)，(1)中的结论是否成立，并说明理由．
图K19－12
|拓 展 提 升|
图K19－13
13．[2017·陕西]如图K19－13，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
14．[2017·重庆A]在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.
(1)如图①，若AB＝3 ，BC＝5，求AC的长；
(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，
求证：∠BDF＝∠CEF.
图K19－14
参考答案
1．A
2．A [解析] 两边与其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
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3．C [解析] ∵高AD和BE相交于F点，∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEF＝90°，
∴∠CAD＋∠AFE＝90°，∠DBF＋∠BFD＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CAD＝∠FBD，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠ABD，∴AD＝BD.
在△DBF和△DAC中，
∴△DBF≌△DAC(ASA)，∴BF＝AC＝8 cm.
4．D [解析] 在△ADC和△ABC中，∵
∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE.
5．答案不唯一，如△ADF≌△CBE
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
∵BE∥DF，
∴∠DFC＝∠BEA，∴∠AFD＝∠BEC.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(AAS)．
故答案为△ADF≌△CBE(答案不唯一)．
6．答案不唯一，如AB＝DE(或∠ACD＝∠BCE，∠ACB＝∠DCE等)
7．答案不唯一，如AC＝FD，∠B＝∠E等．
8．120° [解析] 根据△ACD，△BCE都是等边三角形，不难证明△DCB≌△ACE(SAS)，
∴∠CAE＝∠CDB，
又∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，
∴∠AOH＝∠DCH＝60°，
∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.
9．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，∵AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D.
10．证明：∵AE＝BF，
∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.
∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠AFC＝∠BED＝90°.
在△AFC和△BED中，
∴△AFC≌△BED(SAS)．
∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.
11．解：(1)证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，
即∠BCA＝∠ADE.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
(2)由△ABC≌△AED得∠B＝∠E＝140°，
五边形内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴∠BAE＝540°－2×140°－2×90°＝80°.
12．解：(1)证明：过点D作DF∥BC交AC于F(如图①)，则∠ADF＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB，∠FDC＝∠DCE.
∵在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，
∴△ABC是正三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝120°，∠ADF＝∠AFD＝60°＝∠A，
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∴△ADF是正三角形，则∠DFC＝120°，AD＝DF.
∵∠DEC＝∠DCE，
∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，
在△DBE和△CFD中，
∴△DBE≌△CFD(AAS)，
∴EB＝DF，∴EB＝AD.
(2)EB＝AD依然成立．理由如下：
过点D作DF∥BC交AC的延长线于F(如图②)．
类似(1)有：AD＝DF，∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，
又∵∠DBE＝∠DFC＝60°，
∴在△DBE和△CFD中，
∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB＝DF，
∴EB＝AD.
13．18 [解析] 过点A作AE⊥AC交CD的延长线于点E，由题意易证△AED≌△ACB，故AE＝AC＝6，四边形ABCD的面积等于△ACE的面积，即四边形ABCD的面积＝AC×AE＝×6×6＝18.
14．解：(1)∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，
∴AM＝BM，
∵AB＝3 ，∴AM＝BM＝3，
∵BC＝5，∴MC＝2，
∴AC＝＝.
(2)证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.
∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC＝90°，BM＝AM，
∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD；
又CE＝AC，因此BD＝CE，
∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC，
由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，
∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠E，
∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，
∴∠BDG＝∠E.
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