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阶段检测6 四边形
一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)
1．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的( )
A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
第1题图 第2题图 第4题图 第8题图
2．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为( )
A．4 B．8 C．10 D．12
5．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，当平行四边形ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )
A．360° B．540° C．720° D．900°
7．在平行四边形ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为( )
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
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8．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为何？( )
A．50° B．55° C．70° D．75°
9． 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( )
第9题图 第10题图
A．7 B．8 C．7 D．7
10．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为( )
A．(0，0) B. C. D.
二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为 .
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝ 度．
13．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 .
14．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是 .
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 .
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第14题图 第15题图 第16题图
16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 .
(1)EF＝OE；(2)S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝OA；(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；(5)OG·BD＝AE2＋CF2.
三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)
17．(2017·安顺)如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点，
(1)求证：BC＝DE；
(2)连结AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？
第17题图
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD、
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BC两边分别相交于点E和点F.
第18题图
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当α＝30°时，求线段EF的长度．
19． 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连结MD，AN.
第19题图
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．
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20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
(1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
(2)在图2中，画出一个菱形，使其面积为4；
(3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．
第20题图
21．如图3是利用四边形的不稳定性制造的一个移动升降装修平台，其基本图形是菱形，主体部分相当于由6个菱形相互连接而成，通过改变菱形的角度，从而可改变装修平台高度．
(1)如图1是一个基本图形，已知AB＝1米，当∠ABC为30°时，求AC的长及此时整个装修平台的高度(装修平台的基脚高度忽略不计)；
(2)当∠ABC从30°变为90°(如图2是一个基本图形变化后的图形)时，求整个装修平台升高了多少米．(结果精确到0.1米，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.41)
第21题图
22．探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P.
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(1)求证：△ACN≌△CBM；
(2)∠CPN＝ °.
应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图2、3，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图2中∠CPN＝ °；图3中∠CPN＝ °.
拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其他条件不变，则∠CPN＝ °(用含n的代数式表示)．
第22题图
23．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连结起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连结AC.
第23题图
结合小敏的思路作答．
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH
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还是平行四边形吗？说明理由；
参考小敏思考问题的方法解决以下问题：
(2)如图2，在(1)的条件下，若连结AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
24．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连结PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连结OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
第24题图
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参考答案
阶段检测6 四边形
一、1—5.DCCBB 6—10.DDCCD
二、11.24 12.22.5 13.36° 14.(2＋，1) 15.5 16.(1)，(2)，(3)，(5)
三、17.(1)∵E是AC中点，∴EC＝AC.∵DB＝AC，∴DB＝EC. 又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC＝DE. (2)添加AB＝BC.理由：∵DB綊AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE.∴▱ADBE是矩形．
第17题图
18.
(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO＝OC，∴＝＝＝1，∴AE＝CF，OE＝OF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF. (2)当α＝30°时，即∠AOE＝30°，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OAD＝60°，∴∠AEO＝90°，在Rt△AOB中，sin∠ABO＝＝＝，∴AO＝1，在Rt△AEO中，cos∠AOE＝cos30°＝＝，∴OE＝，∴EF＝2OE＝.
第18题图
19．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，∵点E是AD中点，∴DE＝AE，在△NDE和△MAE中，，∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形； (2)AM＝1.理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，∵平行四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠
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DMA＝90°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝AD＝1.
20．(1)如图1， (2)如图2， (3)如图3.
第20题图
21.(1)连结图1中菱形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠ABO＝∠ABC＝15°，∴OA＝AB·sin∠ABO＝1×sin15°≈0.26米，此时AC＝2AO＝2×0.26＝0.52≈0.5米，故可得整个装修平台的高度＝0.52×6＝3.12≈3.1米； (2)当∠ABC从30°变为90°时，AC＝≈1.41米，此时的整个装修平台的高度＝1.41×6＝8.46米，整个装修平台升高了8.46－3.12≈5.3米．
第21题图
22．探究：(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°.∴∠ACN＝∠CBM＝120°.在△ACN和△CBM中，，∴△ACN≌△CBM. (2)∵△ACN≌△CBM，∴∠CAN＝∠BCM，∵∠ABC＝∠BMC＋∠BCM，∠BAN＝∠BAC＋∠CAN，∴∠CPN＝∠BMC＋∠BAN＝∠BMC＋∠BAC＋∠CAN＝∠BMC＋∠BAC＋∠BCM＝∠ABC＋∠BAC＝60°＋60°＝120°.应用：将等边三角形换成正方形，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠MBC＝∠DCN＝90°.在△DCN和△CBM中，∴△DCN≌△CBM.∴∠CDN＝∠BCM，∵∠BCM＝∠PCN，∴∠CDN＝∠PCN，在Rt△DCN中，∠CDN＋∠CND＝90°，∴∠PCN＋∠CND＝90°，∴∠CPN＝90°.将等边三角形换成正五边形，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝∠BCD＝108°.∴∠MBC＝∠DCN＝72°.在△DCN和△CBM中，，∴△DCN≌△CBM.∴∠BMC＝∠CND，∠BCM＝∠CDN，∵∠ABC＝∠BMC＋∠BCM＝108°，∴∠CPN＝180°－(∠CND＋∠PCN)＝180°－(∠CND＋∠BCM)＝180°－(∠BCM＋∠BMC)＝180°－108°＝72°. 拓展：方法和上面正五边形的方法一样，
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得到∠CPN＝180°－(∠CND＋∠PCN)＝180°－(∠CND＋∠BCM)＝180°－(∠BCM＋∠BMC)＝180°－＝，故答案为.
23.(1)是平行四边形，证明：如图2，连结AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，综上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四边形EFGH是平行四边形； (2)①AC＝BD.理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，且FG＝BD，HG＝AC，∴当AC＝BD时，FG＝HG，∴平行四边形EFGH是菱形； ②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同①得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形．
第23题图
24．(1)四边形APQD为平行四边形； (2)OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，在△AOB和△OPQ中，，
∴△AOB≌△POQ(SAS)，∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP； (3)如图，过O作OE⊥BC于E.①如图1，当P点在B点右侧时，则BQ＝x＋2，OE＝，∴y＝×·x，即y＝(x＋1)2－，又∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值为2；②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ＝2－x，OE＝，∴y＝×·x，即y＝－(x－1)2＋，又∵0≤x≤2，∴当x＝1时，y有最大值为；综上所述，当x＝2时，y有最大值为2.
第24题图
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