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热点小专题(六) 圆与几何图形的综合
类型一 圆与三角形的综合16年21题 15年22题 14年20题 13年24题
1．如图R6－1，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．
图R6－1
2．已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC于点F，点G在FE的延长线上，且GA＝GE.
(1)求证：AG与⊙O相切；
(2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长．
图R6－2
3．2015·巴彦淖尔如图R6－3，AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E
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是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.
(1)求证：AC＝CD；
(2)若OC＝，求BH的长．
图R6－3
4．2017·安顺如图R6－4，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE与⊙O相切；
(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝2 ，求阴影部分的面积．
图R6－4
类型二 圆与四边形的综合17年22题
5．如图R6－5，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为的中点．
(1)求证：AB＝BC；
(2)求证：四边形BOCD是菱形．
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图R6－5
6．如图R6－6，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线DA，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
(1)求AD的长；
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
图R6－6
7．已知菱形ABCD，AB＝4，∠B＝60°，以点D为圆心作⊙D与直线AB相切于点G，连接DG.
(1)求证：⊙D与BC所在的直线也相切；
(2)若⊙D与CD相交于点E，过E作EF⊥AD于H，交⊙D于F，求EF的长．
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图R6－7
8．2017·泰州如图R6－8，⊙O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD．
(1)求证：点P为的中点；
(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．
图R6－8
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参考答案
1．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
又∵∠BAD＝∠BED，∠BED＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠DBC，
∴∠BAD＋∠ABD＝∠DBC＋ABD＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
(2)∵∠BAD＝∠DBC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即BC2＝AC·CD＝(AD＋CD)·CD＝10，
∴BC＝.
2．解：(1)证明：连接OA，如图①.∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO，
又∵EF⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠B＋∠BEF＝90°，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵∠GEA＝∠BEF，
∴∠BAO＋∠GAE＝90°，
∴GA⊥AO，
又OA为⊙O的半径，
∴AG与⊙O相切．
(2)如图②，连接OA，过点O作OH⊥AB，垂足为H，
由垂径定理得，BH＝AH＝AB＝×8＝4.
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
又∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，
∴OA＝5，OH＝3.
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又∵BH＝4，BE＝3，∴EH＝1，
∴OE＝＝.
3．解：(1)证明：∵C是的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，
又∵OA＝OB，∴AC＝CD.
(2)∵E是OB的中点，∴OE＝BE，
在△COE和△FBE中，
∴△COE≌△FBE，∴BF＝CO，
∵OC＝，∴BF＝，
又AB＝2OC＝2 ，
∴AF＝＝5，
∵AB是直径，∴BH⊥AF，
又∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△BHF，
∴＝，
∴BH＝＝＝2.
4．解：(1)证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，
∵OD⊥BC，∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC＝EB，
在△OCE和△OBE中，
∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切．
(2)设⊙O的半径为r，则OD＝r－1，
在Rt△OBD中，BD＝CD＝BC＝，
∴(r－1)2＋()2＝r2，解得r＝2，
∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，
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在Rt△OBE中，BE＝OB＝2 ，
∴阴影部分的面积＝S四边形OBEC－S扇形BOC＝2S△OBE－S扇形BOC＝2××2×2 －＝4 －π.
5．证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∠A＝30°，
∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB，
∴∠OCB＝30°＝∠A，∴AB＝BC.
(2)连接OD交BC于点M.
∵D是的中点，
∴OD垂直平分BC.
在Rt△OMC中，
∵∠OCM＝30°，
∴OC＝2OM＝OD，∴OM＝DM，
∴四边形BOCD是菱形．
6．解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°.
∵四边形BCOE是平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝1.
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝AD＝1.∴AD＝2.
(2)BC是⊙O的切线．证明如下：连接OB，由四边形BCOE是平行四边形，OE＝OD，得BC∥OD，且BC＝OD.
∴四边形BCDO是平行四边形．
又∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AD.
∴四边形BCDO是矩形．
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
7．解：(1)方法1：
证明：连接BD，过D作DK⊥BC于K.
∵菱形ABCD，
∴BD平分∠ABC.
∵⊙D与直线AB相切于点G，∴DG⊥AB.
∵DK⊥BC，∴DK＝DG.
又DG为⊙D的半径，
∴DK为⊙D的半径，
∴⊙D与BC所在的直线相切．
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方法2：
证明：过D作DK⊥BC于K.
∵菱形ABCD，
∴AD＝CD，AD∥BC，DC∥AB，
∴∠GAD＝∠ABC＝∠DCK.
∵⊙D切AB于点G，∴DG⊥AB.
∵DK⊥BC，∴∠AGD＝∠CKD.
在△AGD和△CKD中，
∴△AGD≌△CKD，∴DK＝DG，
∵DG为⊙D的半径，
∴DK为⊙D的半径，
∴⊙D与BC所在的直线相切．
(2)∵菱形ABCD，∴CD＝AB＝4，CD∥AB，
∴∠DCK＝∠ABC＝60°.
又∠DKC＝90°，
∴DK＝CD＝2 ，
∴DE＝DK＝2 .
又∠ADC＝∠ABC＝60°，EF⊥AD于H，
∴EH＝DE＝3，
∴EF＝2EH＝6.
8．解：(1)证明：连接OP，∵CP与⊙O相切于点P，
∴OP⊥CP，
∵BD∥CP，∴OP⊥BD，
∴点P为的中点．
(2)设OP与BD相交于点E，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠OPC.
∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA，
∵∠C＝∠PDB，∴∠DBA＝∠PDB，
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∴DP∥BC，∴四边形BCPD是平行四边形，
∴DB＝PC.∴△COP≌△BAD(ASA)．
∴CO＝AB＝12 cm，
∴CB＝OA＝6 cm，
∵OP＝6 cm，
∴CP＝＝6 cm.
∵BD∥CP，CB＝OB，∴PE＝OE＝3 cm.
∴四边形BCPD的面积是6 ×3＝18 (cm2)．
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