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2019届高三数学12月月考试卷(理科附答案黑龙江哈尔滨呼兰一中)

时间:2018-12-22 17:14:44作者:试题来源:网络
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M 呼兰一中2018—2019学年度上学期第三次月考
高三理科数学试卷
一.选择题(每小题5分)
1.一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是(  )
A.12,24,15,9         B.9,12,12,7        C.8,15,12,5    D.8,16,10,6
2.双曲线 的渐近线方程是(  )
A.y=±x    B.      C.     D.
3.甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示,则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为(  )
 
A.85,86     B.85,85     C.86,85    D.86,86
4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8,9~16,…,153~160),若第16组得到的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是(   )
A.8 B.6 C.4 D.2
5.如果执行如图的程序框图,若输入n=6,m=4,那么输出的p等于(  )
 
A.720 B.360 C.240 D.120
6.已知x,y的取值如下表所示:
x 2 3 4
y 6 4 5
如果y与x呈线性相关,且线性回归方程为 ,则b=(  )
A.       B.       C.  D.
7.把红、黑、白、蓝 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 个人, 每个人分得 张, 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(   )
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上均不对
8.实数mn<0是方程 =1表示实轴在x轴上的双曲线的(  )
A.充分而不必要条件      B.必要而不充分条件      C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设拋物线C:x2=4y的焦点为F,经过点P(l,5)的直线与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则丨AF|+|BF|=(  )
A.12   B.8    C.4   D.10
10.双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行,则双曲线的离心率为(  )
A.   B.   C.   D.
11.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(﹣4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆 上,则 =(  )
A.      B.      C.      D.
12..已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(  )
A.     B.3     C.     D.
二.填空题(每小题5分)
13.在区间 上随机地取一个数 ,则事件“ ”发生的概率为     .
14.抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为5,双曲线 的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于      .
15.如图,F1和F2分别是双曲线 的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为  .
 
 
16.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC1的中点,则DE与面BCC1B1所成角的正切值为     .
 

三。解答题(要求有必要的解题步骤)
17.(10分)
(1)求与椭圆 有共同焦点且过点 的双曲线的标准方程;   
(2)已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(﹣3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的标准方程和m的值.   
18. (12分)
命题p:直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A,B两点;命题q:曲线 ﹣ =1表示焦点在y轴上的双曲线,若p∧q为真命题,求实数k的取值范围.   
19. (12分)
某市规定,高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求抽取的20人中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数;
(Ⅱ)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人,求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率.
 
20. (12分)
如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,AB=2,点E是C1D1的中点.
(1)求证:DE⊥平面BCE;
(2)求二面角A﹣EB﹣C的大小.
 
21.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4.
(I)求证:平面PBD⊥平面ABCD;
(II)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.
 
22.已知椭圆 =1(a>b>0)的离心率 ,焦距是 .   
(1)求椭圆的方程;   
(2)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点, ,求k的值.   
  

 


 
理科数学答案
一选择题DCBBB    ACBAB    DA
二填空题
(13)       (14)     (15)       (16)
17.【解答】解:(1)椭圆 的焦点为(2,0),(﹣2,0), 设双曲线的标准方程为:  =1(a,b>0),则a2+b2=4,  =1,解得a2=3,b2=1,∴所求双曲线的标准方程为  . 
(2)设抛物线方程为y2=﹣2px(p>0),则焦点 ,准线方程为  ,   
点M到焦点的距离等于5,也就是点M到准线的距离为5,则  ,∴p=4,因此,抛物线方程为y2=﹣8x,又点 M(﹣3,m)在抛物线上,于是m2=24,∴
18【解答】解:∵命题p:直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A,B两点,   
∴圆心到直线的距离 ,∴ ∵命题q:曲线 ﹣ =1表示焦在y轴上的双曲线∴ ,解得k<0,∵p∧q为真命题,∴p,q均为真命题,  ∴   
解得k<﹣2  

19【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,
参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为20×0.04×5=4(人),参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为20×0.02×5=2(人).所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6(人).
(Ⅱ)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A.
由(Ⅰ)可知,参加社区服务在时间段[90,95)的学生有4人,记为a,b,c,d;参加社区服务在时间段[95,100]的学生有2人,记为A,B.从这6人中任意选取2人有ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB共15种情况.事件A包括ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况.
所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 .…
20【解答】(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),E(0,1,1),B(1,2,3),C(0,2,0),∴ =(0,1,1), =(﹣1,﹣1,1),      =(﹣1,0,0),∵ =0,  =0,∴DE⊥BE,DE⊥BC,∵BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BE∩BC=B,∴DE⊥平面BCE.
(2)解:设平面AEB的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得 =(1,0,1),∵DE⊥平面BCE,∴  =(0,1,1)是平面BCE的法向量,∵cos< >= = ,   ∴二面角A﹣EB﹣C的大小为120°.
21.【解答】证明:(1)设O是BD的中点,连接AO,
∵△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,∴PB=PD=2,又BO=OD,∴PO⊥BD.
∵AB⊥AD,∴在Rt△ABD中,由勾股定理可得,BD= =2 .∴OB= .在Rt△POB中,由勾股定理可得,PO= = ,在Rt△ABD中,AO= = .在△PAO中,PO2+OA2=4=PA2,由勾股定理得逆定理得PO⊥AO.
又∵BD∩AF=O,∴PO⊥平面ABCD∵PO⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PO⊥平面ABCD,又AB⊥AD,
∴过O分别做AD,AB的平行线,以它们做x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,如图所示:
由已知得:A(﹣1,﹣1,0),B(﹣1,1,0),D(1,﹣1,0),C(1,3,0),P(0,0, )
则 , .设平面PDC的法向量为 ,直线CB与平面PDC所成角θ,则 ,即 ,解得 ,令z1=1,则平面PDC的一个法向量为 ,又 ,则 ,
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为 .
22.【解答】解:(1)由题意知 , 故c2=2,又∵ ,∴a2=3,b2=1,∴椭圆方程为 .
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2), 将y=kx+2代入 ,化简整理可得,(1+3k2)x2+12kx+9=0, 故△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0, 故k2≥1; 由韦达定理得,   
 , 故     而y1﹣y2=k(x1﹣x2),  故 ;而 代入上式, 整理得7k4﹣12k2﹣27=0,  即(7k2+9)(k2﹣3)=0, 解得k2=3,故 . 
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