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第一次模拟测试卷
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知奇函数是函数是导函数，若时，则( )
A. B.
C. D.
5.设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.平面内直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为( )
A. B.
C. D.
7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )
A. B. C. D.8
8.执行如图程序框图，则输出的等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.函数的图象大致为( )
A B C D
10.已知具有线性相关的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程，过点，的直线方程，那么下列4个命题中，
①；②直线过点；③
④.(参考公式，)
正确命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.展开式中的常数项为________________.
14.平面向量，，若有，则实数________________.
15.在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为________________.
16.已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的200公里处，若，则__________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等比数列的前项和为，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：.
18.某
校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.
(1) 完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；
(2)从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.
19.如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，，，，，过点作平面平行于平面，平面与棱，，，分别相交于点，，，.
(1)求的长度；
(2)求二面角的余弦值.
20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于，两点，.
(1)求抛物线方程；
(2)点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.
21.已知函数在点处的切线是.
(1)求函数的极值；
(2)当恒成立时，求实数的取值范围(为自然对数的底数).
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.
23.已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.
NCS20180607项目第一次模拟测试卷
理科数学参考答案及评分标准
一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
C
C
C
B
C
A
B
A
C
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13． 14. 15. 16.
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.【解析】（Ⅰ）设的公比为，由得，,
所以， 所以. 又因为，
所以， 所以. 所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，
所以
.
18.（Ⅰ）依题意得
有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”
（Ⅱ）从乙班分数段中抽人数分别为2，3，2 …
依题意随机变量的所有可能取值为
所以
19. 【解析】（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为平面，平面平面，
，平面平面，所以，同理，
因为∥，
所以∽，且，
所以，，
同理，
连接，则有∥，
所以，，所以，同理，，
过点作∥交于，则
【法二】因为平面，平面平面，,
平面平面，
根据面面平行的性质定理，所以，同理，
因为,所以，且,
又因为∽，,所以，
同理,，
如图：作,
所以，
故四边形为矩形，即,
在中,所以，所以.
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系,
, 设平面的法向量为,
,令，得,
因为平面平面，所以平面的法向量
，二面角的余弦值为
20. 【解析】（Ⅰ）依题意，
当直线的斜率不存在时，
当直线的斜率存在时，设
由，化简得
由得，，所以抛物线方程.
（Ⅱ）设，，则，又由，可得
因为，，所以，故直线
由， 化简得，所以.
所以
设点到直线的距离为，则
所以，当且仅当，即
, .
21. 【解析】（Ⅰ）因为，所以，
因为点处的切线是，所以，且
所以，即（）
所以，所以在上递增，在上递减
所以的极大值为，无极小值.
（Ⅱ）当在恒成立时, 由（Ⅰ），
即在恒成立，
【法一】设，则，，
又因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，；
在上单调递增，在上单调递减，.
所以均在处取得最值，所以要使恒成立，
只需，即，解得，又，
所以实数的取值范围是.
【法二】设（），则
当 时，，，则，，即
当 时，，，则，，即
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，即，又
所以实数的取值范围是.
22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程，得普通方程，
所以极坐标方程，即.
（Ⅱ）直线与曲线的交点为，得，
又直线与曲线的交点为，得，
且，所以.
23. 【解析】（Ⅰ）当时，，
得； 得； 得，
所以的解集为.
（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，
又因为，
要使原不等式恒成立，则只需，
当时，无解；当时，，解得；
当时，，解得.
所以实数的取值范围是.
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