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宁城县高三年级统一考试(2018.03.20)
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）
1．已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知，且，则
(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)
3．若满足则下列不等式恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
4．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是
（A） （B）
（C） （D）
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是
（A）
（B）
（C）
（D）7
6．有六名同学数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1～6号，得第一名者将参加全国数学竞赛。今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：不是1号就是2号；乙猜：3号不可能；丙猜：4号、5号、6号都不可能；丁猜：是4号、5号、6号中的某一个。以上只有一个人猜测对，则他应该是
（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
7．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里……”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”。试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为
（A） 1235 （B）1800 （C） 2600 （D）3000
8．设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，，则
其中正确命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是
（A）2 （B）1 （C） （D）
10. 已知椭圆长轴两个端点分别为A、B，椭圆上点P和A、B的连线的斜率之积为，则椭圆C的离心率为
（A） （B） （C） （D）
11．若定义在R上的偶函数满足,且时则方程根的个数是
（A） 2个 （B） 3个 （C） 4个 （D） 6个
12. 已知双曲线的中心为O，过焦点F向一条渐近线作垂线，垂足为A，如果△OFA的内切圆半径为1，则此双曲线焦距的最小值为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13.若复数z满足 则=_____________.
14．函数的最小正周期为______________ .
15． 的两边长为，其夹角的余弦为，则其外接圆半径为___________.
16. 下图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图.
说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.
根据上述信息，有以下结论：
①2016年第三季度和第四季度环比都有提高；
②2017年第一季度和第二季度环比都有提高
③2016年第三季度和第四季度同比都有提高
④2017年第一季度和第二季度同比都有提高
请把正确结论的序号填写在____________________上.
三、解答题（共6小题，满分70分）
17.（本题满分12分）
已知数列的前项和为，.
（1）求证数列为等比数列；
（2）已知，求数列的前项和.
18． 本题满分12分）
某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
类 别
分值区间
女性用户
频数
20
40
80
50
10
男性用户
频数
45
75
90
60
30
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率.
19．（本题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为边长为2的等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求点B到平面的距离．
20．（本题满分12分）
已知抛物线C:的焦点为F，过F的直线l与C相交于A,B两点.
(Ⅰ)若，求直线的方程；
(Ⅱ)若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆E上，求圆E的标准方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数在点点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，≤恒成立，求的取值范围．
四、选做题
请考生在22,23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；
（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知，函数的最小值为1.
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
宁城县高三年级统一考试(2018.03.20)
数学试题（文科）参考答案
一、选择题: ACDC BCAB DBCD
二、填空题：13、8； 14、； 15、； 16、①②④
17．（1）∵,∴.
两式作差得：，
所以：，即.-----------------5分
又当时：，∴成立；
所以数列是公比为2，首项为2的等比数列，--------6分
(2)由（1）可得：.，-----8分
， ----------------------10分
∴.--------12分
18．解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
女性用户 男性用户
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ---------------4分
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人。其中评分小于分的人数为，记为，评分不小于分的人数为，记为，-----6分
从人人任取人，基本事件空间为，共有个元素.-------------------8分
其中把“两名用户评分都小于分”记作，
则，共有个元素. -----10分
所以两名用户评分都小于分的概率为.-----------12分
19． 证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，----------2分
又为等腰三角形，故，且，
从而．所以为直角三角形，．
又．
所以平面．----------------------5分
（Ⅱ）
设B到平面SAC的距离为，则由（Ⅰ）知：三棱锥
即------7分
∵为等腰直角三角形,且腰长为2.
∴
∴ ---------8分
∴△SAC的面积为=
△ABC面积为, ∴,
∴B到平面SAC的距离为 ----------------12分
20．解：（Ⅰ）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为
，（m≠0） ①
代入中，得，
设A(x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，② ---------2分
∵，即
∴，代入①得------------------------4分
∴直线的方程为或--------------5分
（也可写成或）
(Ⅱ) ∵
∴AB的中点为D(2m2+1,2m），，---6分
因直线的斜率为－m，所以直线的方程为
将上式代入中，并整理得.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则.
故MN的中点为 E（
.----------------8分
由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于
,从而,
即，
解得 m=1或m=－1，----------------10分
圆心或，半径
圆E的方程为或--------------12分
21．解：(I)因为
所以，
在点点处的切线方程为--------2分
(II),
令,,
令,,……6分
,
,.……8分
(2),
以下论证.……………10分
,
,
,
综上所述，的取值范围是………………12分
22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．………………2分
当时，直线的方程为，…………3分
代入，可得，∴.
∴；……………………5分
（Ⅱ）直线参数方程代入，
得．………………7分
设对应的参数为，
∴．…………10分
23．解：（Ⅰ）法一：，
∵且，
∴，当时取等号，即的最小值为，
∴，. ------------------------5分
法二：∵，
∴，---------3分
显然在上单调递减，在上单调递增，－－－－5分
∴的最小值为，
∴，.
（Ⅱ）∵恒成立，
∴恒成立，
当时，取得最小值，
∴，即实数的最大值为.------------10分
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