江苏省泰州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理科）试题Word版含解析.doc

www.ks5u.com 泰州市2017～2018学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)试题 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1. 命题“若，则”的逆命题为______．‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.‎ ‎2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.‎ ‎3. 抛物线的准线方程为______．‎ ‎【答案】y=-2‎ ‎【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填 ‎4. 函数在处的切线的斜率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.‎ ‎5. 双曲线的渐近线的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，即，即双曲线的渐近线的方程为.‎ ‎6. 椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.‎ ‎7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.‎ ‎8. 抛物线上一点 到其焦点的距离为，则______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得.‎ 点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.‎ ‎9. 已知，若（），则______．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】由归纳，得，即，即.‎ ‎10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.‎ 点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.‎ ‎11. 为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，‎ ‎，即线段长度的最小值为.‎ ‎12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，得，‎ ‎..................‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，‎ ‎，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.‎ ‎13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量.‎ ‎14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，‎ ‎，在恒成立，即，即；‎ 当时，的对称轴为，当，即时，，可得，显然成立；当，即时，，可得，即，解得，综上所述，，即的取值范围为.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：‎ ‎（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；‎ ‎（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15. 已知复数．‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵若复数 满足为实数，求．‎ ‎【答案】⑴⑵‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.‎ 试题解析：⑴‎ ‎⑵∵ ‎ ‎∴‎ ‎∵为实数 ‎∴ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎16. 已知：，；：方程表示双曲线．‎ ‎⑴若为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】⑴⑵‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.‎ 试题解析：⑴∵，‎ ‎∴，解得 ‎⑵∵方程表示双曲线 ‎∴，解得 ‎∵为假命题，且为真命题 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎17. ⑴当时，求证：； ‎ ‎⑵用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】⑴见解析⑵见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用作差法进行证明；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明.‎ 试题解析：⑴‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎⑵①当时，左边 所以当时，命题成立；‎ ‎②假设当时，命题成立 则有 则当时，左边 ‎ ‎ 所以当时，命题也成立 综上①②可知原命题成立 点睛：本题考查利用作差法和数学归纳法证明不等式；在利用数学归纳法证明不等式时，其关键步骤是研究当到 时，不等式的左边和右边各多了几项，多了哪些项，如何合理进行放缩.‎ ‎18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．‎ ‎⑴求的表达式；‎ ‎⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．‎ ‎【答案】⑴⑵见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.‎ 试题解析：⑴‎ 整理得，‎ ‎⑵‎ 由得 所以在上单调递减，在上单调递增 故当时，取得最小值 答：⑴‎ ‎⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．‎ ‎19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．‎ ‎⑴求椭圆的标准方程；‎ ‎⑵当直线的斜率为时，求的面积；‎ ‎⑶试比较与大小．‎ ‎【答案】⑴⑵⑶见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用离心率、左顶点坐标求解即可；（2）根据直线过原点且斜率为写出直线方程，联立直线和椭圆方程，求出，再写出直线的方程，求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解；（3）设直线的方程为，，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.‎ 试题解析：⑴因为左顶点为，所以 因为椭圆的离心率为，所以，解得 又因为，所以 故所求椭圆的标准方程为 ‎⑵因为直线过原点，且斜率为 所以直线的方程为 代入椭圆方程解得 因为，所以直线的方程为 从而有 故的面积等于 ‎⑶方法一：‎ 设直线的方程为，‎ 代入椭圆方程得 设，则有，解得 从而 由椭圆对称性可得 所以 于是 故 从而 所以 因为点在第二象限，所以，于是有 方法二：‎ 设点，则点 因为，所以直线的方程为 所以 从而 ‎ ‎ 从而有 ‎20. 已知函数的最小值为．‎ ‎⑴设，求证：在上单调递增；‎ ‎⑵求证：；‎ ‎⑶求函数的最小值．‎ ‎【答案】⑴见解析⑵见解析⑶见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先求导求出，再求导，利用导数的符号变换得到函数的单调区间；（2）由⑴可知在上单调递增，再利用零点存在定理及函数的单调性进行求解；（3）分离参数，合理构造，利用导数研究函数的最值.‎ 试题解析：⑴‎ ‎∵‎ ‎∴在上单调递增 ‎⑵由⑴可知在上单调递增 ‎∵‎ ‎∴存在唯一的零点，设为，则 且 当时，；当时，‎ 从而在上单调递增，在上单调递减 所以的最小值 ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴（当且仅当时取等号）‎ ‎∵ ∴‎ ‎（第二问也可证明，从而得到）‎ ‎⑶‎ 同⑴方法可证得在上单调递增 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴存在唯一的零点，设为，则 且 所以的最小值为 ‎∵ ∴‎ ‎∴，即 由⑵可知 ‎∴=‎ ‎∵在上单调递增 ‎∴‎ 所以的最小值为