数学（理科）试卷参考答案.pdf

2018-2019 学年“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考数学理科参考答案 第 1页 共 4 页 “永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C D B D D A B C B D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. e 14. 10 2 15. 48 16. ),1[  e 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17.(本题满分 12 分)解：（Ⅰ）∵ cAcCa  cossin3 正弦定理得 CACCA sincossinsinsin3  …………2 分 ∵ 0sin C ，所以 1cossin3  AA …………3 分 整理得 2 1)6sin(  A …………5 分 ∵ ),0( A ，∴ 3 A …………6 分 （Ⅱ）因为四边形 ABCD的内角 B 与 D 互补∴ DB coscos  ......① …………7 分 在 ACD 中，由余弦定理得 DDCDADCDADAC cos610cos2222  ......②8 分 在 ABC 中，由余弦定理得 BBBCABBCABAC cos4852cos2222  ......③9 分 由①②③解得 9 7cos D …………12 分 18. (本题满分 12 分)解：（Ⅰ）依题意得 )(xf  ＝1 x ＋2ax－3 …………2 分 ∴ )1(f  ＝1＋2a－3＝0，解得 a＝1 …………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 )(xf  ＝2x2－3x＋1 x ＝ x xx )1)(12(  …………7 分 ∵函数 f (x)的定义域为(0，＋∞)，令 )(xf  ＝0，得 x＝1 2 或 x＝1 …………9 分 ∴函数 f (x)在 )2 1,0( 上单调递增，在 )1,2 1( 上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 故函数 f (x)的极小值为 f (1)＝－2，极大值为      2 1f ＝ 4 52ln  …………12 分 19.(本题满分 12 分)解：（1）取 AE 的中点 O，BC 的中点 F，连接 PO，OF，PF。…………1 分 由已知得，四边形 ABCE 是梯形，AB∥CE，AB⊥BC ∴ OF∥AB， ∴OF⊥BC2018-2019 学年“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考数学理科参考答案 第 2页 共 4 页 ∵ PB=PC， ∴PF⊥BC 又 FOFPF  ， ∴ BC⊥平面 POF …………3 分 ∴BC⊥PO 由已知得 PA=PE，∴PO⊥AE 又 AE 与 BC 相交 ∴ PO⊥平面 ABCE …………5 分 PO 平面 PAE， ∴ 平面 PAE⊥平面 ABCD. …………6 分 （2）建立空间直角坐标系 xyzO  ，如图所示。设 4AB ，则 )0,1,1( A ， )0,3,1(B ， )0,3,1(C ， )2,0,0(P ………8 分 )2,3,1( PB ， )0,0,2(BC ，设平面 PBC 的法向量为 ),,( zyxn  则      0 0 BCn PBn ，      0 023 x zyx ，取 3z ，得 )3,2,0(n ………10 分 又 )2,1,1( PA ，设直线 PA 与平面 PBC 所成的角为 则 11 222 112 24,cossin       nPA nPA nPA 。 ………12 分 20. (本题满分 12 分)解：（1）∵ 2)1(4 1  nn aS 当 1n 时， 2 111 )1(4 1  aSa ， 0)1( 2 1  a ， 11 a ………1 分 当 2n 时， 2 1 2 1 )1(4 1)1(4 1   nnnnn aaSSa 022 1 2 1 2   nnnn aaaa ， 0)2)(( 11   nnnn aaaa 01  nn aa ， )2(21   naa nn ………3 分 ∴数列 }{ na 是等差数列，首项为 1，公差为 2. 12)1(21  nnan ………4 分 由 1 1 2    n n n n a a b b ，得 nnnn baba 211  ，又 111 ba ∴数列 }{ nnba 是首项为 1 公比为 2 等比数列 12  n nnba ， 12 2 1   nb n n ………6 分 （2）令 n n bbbT 111 21   ，则 12 2 12 2 5 2 31   nn nT  ………① nn nT 2 12 2 5 2 3 2 1 2 1 32   ………② ①—②，得 nnn nT 2 12)2 1 2 1 2 1(212 1 12   ………8 分2018-2019 学年“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考数学理科参考答案 第 3页 共 4 页 n n n 2 12 2 11 ])2 1(1[2 1 21 1      nn n 2 12 2 221 1   n n 2 323  ∴ 12 326   nn nT ………10 分 0nb ，∴ nT 随着 n 的增大而增大；当 n 时， 6nT ，且 6nT 。 又 nbbb 111 21   对  Nn 恒成立， ∴ 6 ，∴ 6min  。 ………12 分 21. (本题满分 12 分)解:(I) ( ) 2( 1)f x x   (1n )( 0)x a x  . ………1 分 ①当 0a  时， ( ) 2( 1)1nf x x x   ，当 0 1x  时， ( ) 0f x  ， 当 1x  时， ( ) 0f x  ，当 1x  时， ( ) 0f x  . ( )f x 在 (0, ) 递增 …………2 分 ②当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得 1 21, ax x e  ，此时 1ae  . 易知 ( )f x 在 (0, )ae 递增， ( ,1)ae 递减， (1, ) 递增 ……………4 分 ③当 0a  时， 1ae  .易知 ( )f x 在 (0,1) 递增， (1, )ae 递减， ( , )ae  递增 ……6 分 (Ⅱ)当 2a   时，由(I)知 ( )f x 在 (0,1) 上递增， (1, )ae 上递减， ( , )ae  上递增， 且 1(1) 2(1 )2f a a    3 02a   ， 将 ax e 代入 ( )f x ，得 ( ) ( )af x f e  2 21( 2 )( ) ( )2x x a a x    2(1 )a x a     21 ( 2) 22 x a   2, ( ) 0aa f e    ， ……………8 分 下面证明 当 (0,1)x 时存在 0x ，使 0( ) 0f x  . 首先，由不等式1n 1x x  ， 1 1 11n 1 x x x x     ， 1 11n , 1nx xx xx x      . 考虑到 2 2 ( 2) 0x x x x    ， 2( ) ( 2 )1nf x x x x    21( ) 2(1 )2a x a x a    2 21 1( 2 ) ( )2 xx x a xx      2(1 )a x a    21 3( )( 1)2 2a x   . 再令 21 3( )( 1) 02 2a x    ，可解出一个根为 31 2 1x a    ，2018-2019 学年“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考数学理科参考答案 第 4页 共 4 页 32, 0 12 1a a      ， 30 1 12 1a     ，取 0 0 31 , (0,1)2 1x xa    .则有 0( ) 0f x  由零点存在定理及 ( )f x 在 (0,1) 上的单调性，可知 ( )f x 在 (0,1) 上有且只有一个零点. 由 (1) 0, ( ) 0af f e  ，及 ( )f x 的单调性，可知 ( )f x 在 (1, )ae 上有唯一零点. 下面证明在 ( , )ax e  上，存在 1x ，使 1( ) 0f x  ，就取 1 2 1 a x e    ，则 1 ax e ， 2 1 1 1 1( ) ( 2 )( )2f x x x a     2 1 1 1( ) 2(1 )2a x a x    1 aa x a e a     ， 由不等式 1xe x  ，则 ( 1) 0ae a a a       ，即 1( ) 0f x  . 根据零点存在定理及函数单调性知 ( )f x 在 ( , )ae  有一个零点. 综上可知， ( )f x 当 2a   时，共有 3 个零点. ……………12 分 22.(本题满分 10 分)解：(Ⅰ)∵曲线C 的参数方程为 1 2 cos 1 2 sin x y         （ 为参数） ∴曲线C 的普通方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    …………2 分 将        sin cos y x 代入并化简得曲线C 的极坐标方程为 2cos 2sin     …………5 分 （Ⅱ）将 6 5,3   分别代入曲线C 的极坐标方程 2cos 2sin     得到 13||,13||  OBOA …………7 分 又∵ 236 5  AOB ∴ 1)13()13(2 1 2 1  OBOAS AOB 即 AOB 的面积为 1 …………10 分 23.(本题满分 10 分)解：(Ⅰ)原不等式等价于 1 3 4 1 5 x x       或 1 23 3 2 5 x x       或 2, 4 1 5 x x     ……2 分 解得 11 3x   或 1 13 x  ，即 1 1x   ∴ 1, 1a b   …………4 分 ∴ 0a b  …………5 分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)知 014  yx ，即 14  yx ，且 0,0  yx ∴ 9542414)4)(11(11  x y y x x y y xyxxyxyxy yx 当且仅当 3 1,6 1  yx 时取“=” …………9 分 ∴ xyyx 9 …………10 分