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衡阳市第八中学 2019 届高三第三次月考
理科数学
全卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
命 题：刘 喜 审 题：钟小霖
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的 4 个选项中只有 1 项是符合题目
要求的）
1．(原创)下列集合中，是集合 3| 2 log 9xx 的真子集的是（ C ）
A． {푥|푥 > 2} B． {푥|푥 ≤ 2} C． {푥|푥 ≤ 0} D． {0,1,2,3}
2．(原创)在复平面内，复数−𝑖(2 + 𝑖)对应的点位于（ D ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．已知平面 ，直线 ,mn满足 ,,mn则“ //mn”是“ //m ”的（ D ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C． 必要不充分条件 D．充分不必要条件
4.(原创)设 1 1 22
0
32 , 1 , 2ln 2,4a b x dx c
则（ B ）
. . . .Aa b c Bb a c C c a b D c b a
5．(原创)已知数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，满足푆푛 = 2푎푛 − 1，则 {푎푛}的通项公式푎푛 =（ C ）
A．2푛 + 1 B．2푛 − 1 C． 2푛−1 D．2푛 − 1
6．(原创)已知向量퐴퐵⃑⃑⃑⃑⃑ = (2,1)，点퐶(−1,0)，퐷(3,2)，则向量퐴퐵⃑⃑⃑⃑⃑ 在퐶퐷⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影为（ A ）
A． 5 B． −2√5 C． 5 D． 2√5
7．(原创)若直线푙过点퐴(0, 푎)，斜率为 1，圆푥2 + 푦2 = 9上恰有 3 个点到푙的距离为 1，则푎的
值为（ D ）
A．±3 B． ±3√2 C． ±2 D． ±2√2
8．(原创)已知命题푝: ∃푥 ∈ 푅, 푥 − 2 > lg푥，命题푞: ∀푥 ∈ 푅, 푥2 > 0,则（ A ）
A． 命题푝 ∨ 푞是真命题 B． 命题푝 ∧ 푞是真命题
C． 命题푝 ∧ (¬푞)是假命题 D． 命题푝 ∨ (¬푞)是假命题
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9. (原创)某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，
则该几何体的体积最小值为（ C ）
1. .2 . .142A B C D
10. (原创)设 0, 0,将函数 sinf x x 的图像向左平移 个单位长度得到图像 1C ，将函
数 cos 6g x x
的图像向右平移 个单位长度得到图像 2C ，若 与 重合，则
cos（ C ）
3 3 1 1. . . .2 2 2 2A B C D
11.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 是棱 1CC 的中点，F 是侧面 11BCC B 内的动点，且 1 //AF 平
面 1D AE ,则 1AF与平面 所成角的正切值t 构成的集合是（ C ）
2 5 2 5. | 2 3 . | 255
. | 2 2 2 . | 2 2 3
A t t B t t
C t t D t t
12 ． 在数列 na 中， *
110, 5 2 2 , 2 ,nna a a n n N n 若数列 nb 满足
1
81,11
n
nnb n a
则数列 的最大项为（ B ）
A． 第 5 项 B．第 6 项 C． 第 7 项 D．第 8 项
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．(原创)已知实数푥、푦满足{
푥 ≥ 1
푥 − 푦 + 1 ≤ 0
푥 + 푦 ≤ 푚
，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，
则푚的取值范围为__________． 3m
14．(原创)已知两个单位向量풆1, 풆2，且|풆1 + 풆2| = 1，则|풆1 − 풆2| =__________. 3
15 ． (原创) 已知圆 224xy. 过点 31, 2C
且 被圆截得的弦长为3 直线l 的方程 .
4 2 3 7 0xy 试卷第 3 页，总 8 页
16.对于函数 ,y f x 若存在 0x ，使 000,f x f x 则称点 00,x f x 是曲线 fx的“优
美点”.已知
2 2 , 0,
3, 0,
x x xfx
kx x
若曲线 fx存在“优美点”，则实数 k 的取值范围为
__________ 2 2 3 ，
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题:共 60 分
(原创)17．（ 12 分）在훥퐴퐵퐶中，푎, 푏, 푐分别是内角퐴, 퐵, 퐶所对的边，且满足 cos 2 0cos
B a b
Cc
.
（1）求角퐶的值；
（2）若푏 = 2，퐴퐵边上的中线퐶퐷 = √3，求훥퐴퐵퐶的面积．
【解析】（1）∵ cos퐵
cos퐶 + −2푎+푏
푐 = 0，由正弦定理得， cos퐵
cos퐶 + −2sin퐴+sin퐵
sin퐶 = 0，
即cos퐵 ⋅ sin퐶 + cos퐶 ⋅ (−2sin퐴 + sin퐵) = 0，从而sin(퐵 + 퐶) − 2sin퐴 ⋅ cos퐶 = 0，
即sin퐴 − 2sin퐴 ⋅ cos퐶 = 0，又훥퐴퐵퐶中 ，sin퐴 > 0，故cos퐶 = 1
2
，得퐶 = 휋
3.
（2）由퐶퐷⃑⃑⃑⃑⃑ = 1
2 (퐶퐴⃑⃑⃑⃑⃑ + 퐶퐵⃑⃑⃑⃑⃑ )得 3 = 1
4 (22 + 푎2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 푎 ⋅ cos60°)，从而푎 = 2 或푎 = −4 （舍），故
푆훥퐴퐵퐶 = 1
2 푎푏 ⋅ sin퐶 = 1
2 × 2 × 2 × sin60° = √3.
(原创)18．（12 分）已知函数 324 5 4f x x x x .
（1）求曲线 fx在点 2, 2f 处的切线方程；
（2）若 g x f x k，求 gx的零点个数.
【解析】
(2) 的零点个数，即为 y f x y k 与 的图像交点个数
由 '0fx 可得： 1 3 5 0xx ，即 51 3xx或
,1 , ' 0, ,1x f x f x 在 上递增， 551, , ' 0, 1,33x f x f x
在 上递减， 试卷第 4 页，总 8 页
55, , ' 0, ,33x f x f x
在 上递增，
5 581 2, 3 27f x f f x f 极大值 极小值 ，如图所示，
58, 2, ,27k
1 个交点， 58 , 2 ,27k
3 个交点，
58 227k 或 时，2 个交点
综上所述： 58,2 2, ,27k gx有 1 个零点；
582, ,27k
有 3 个零点；
58 227k 或 ， 有 2 个零点.
19. （12 分）等边 ABC 的边长为 3，点 ,DE分别为 ,AB AC 上的点，且满足 2AE BD
EC DA(如
图①)，将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B成直二面角，连接 11,A B AC
(如图②)
（1）求证： 1AD 平面 BCED ；
（2）在线段 BC 上是否存在点 P （不包括端点）,使直线
1PA 与平面 1A BD 所成的角为60？若存在，求出 1AP的长；
若不存在，请说明理由.
【解析】
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解得： 5
6 ， 1
1 5 3, , 144AP
22
2
1
1 5 3 23| | 14 4 2AP
1AP 的长为 23
2
(原创)20．（12 分）在平面直角坐标系푥푂푦中，点퐴(0, −3)，点 M 满足| | 2| |MA MO
（1）求点 M 的轨迹方程；
（2）若圆퐶: (푥 − 푐)2 + (푦 − 푐 + 1)2 = 1，判断圆C 上是否存在符合题意的 ;
（3）设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y 是点 轨迹上的两个动点，点 P 关于点 0,1 的对称点为 1P ，点 P 关
于直线 1y 的对称点为 2P ，如果直线 12,QP QP 与 y 轴分别交于 0,a 和 0,b ，问 11ab 是
否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设 ,M x y ，由 可得： 22 2 234x y x y
化简得， 的轨迹方程为： 22 14xy
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（2）由已知可得圆心 ,1C c c
若圆C 与点 M 的轨迹有公共点，则存在，即 221 2 3cc 得： 2 14 2 14
22c
2 14 2 14,22c
时，存在； 2 14 2 14,,22c
时，不存在.
（2） 1 1 1 1 1 2 1 1, , ,2 , ,2P x y P x y P x y ，
由已知可得，直线 12,QP QP 的斜率一定存在且不为 0，否则 a 或b 不存在，
21
1 2 2
21
2: yyQP y y x xxx
，； 2 1 1 2
21
2x y x ya xx
同理可得： 2 1 1 2
21
2x y x yb yy
2222
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
22
2 1 2 1 2 1
2 2 1 11 1 1 1x y x y x y x y x y x yab x x y y x x
又 2222
1 1 2 21 4, 1 4,x y x y
2 2 2 2
2 1 1 2
22
21
44
4
x x x x
ab xx
ab 为定值，定值为 4
21．（12 分）已知函数푓(푥) = 푎+ln푥
푥
，푔(푥) = 푚푥.
（1）求函数푓(푥)的单调区间；
（2）当푎 = 0时，푓(푥) ≤ 푔(푥)恒成立，求实数푚的取值范围；
（3）当푎 = 1时，求证：当푥 > 1时，(푥 + 1) (푥 + 1
푒푥) 푓(푥) > 2 (1 + 1
푒).
【解析】（1）푓(푥) = 푎+ln푥
푥
的定义域为(0, +∞)，
且푓′(푥) = 1−(푎+ln푥)
푥2 = 1−ln푥−푎
푥2 .
由푓′(푥) > 0 ⇒ 1 − ln푥 − 푎 > 0 ⇒ ln푥 < 1 − 푎 ⇒ 0 < 푥 < 푒1−푎，
∴푓(푥)在(0, 푒1−푎)单调递增，在(푒1−푎,+∞)单调递减；
（2）解：푎 = 0，푓(푥) = ln푥
푥
，
∴푓(푥) ≤ 푔(푥) ⇔ ln푥
푥 ≤ 푚푥 ⇔ 푚 ≥ ln푥
푥2 ，
令푢(푥) = ln푥
푥2 ，∴푢′(푥) = 1−2ln푥
푥3 ，
由푢′(푥) > 0 ⇒ 0 < 푥 < √푒， 试卷第 7 页，总 8 页
∴푢(푥)在(0, √푒)单调递增，在(√푒,+∞)单调递减，
∴푢(푥)max = 푢(√푒) = ln√푒
푒 = 1
2푒
，∴푚 ≥ 1
2푒
；
（3）证明：(푥 + 1) (푥 + 1
푒푥)푓(푥) > 2 (1 + 1
푒)
等价于 1
푒+1 ⋅ (푥+1)(ln푥+1)
푥 > 2푒푥−1
푥푒푥+1
.
令푝(푥) = (푥+1)(ln푥+1)
푥
，则푝′(푥) = 푥−ln푥
푥2 ，
令휑(푥) = 푥 − ln푥则휑′(푥) = 1 − 1
푥 = 푥−1
푥
，
∵푥 > 1，∴휑′(푥) > 0，∴휑(푥)在(1,+∞)单调递增，
휑(푥) > 휑(1) = 1 > 0，푝′(푥) > 0，∴푝(푥)在(1,+∞)单调递增，
∴푝(푥) > 푝(1) = 2，∴푝(푥)
푒+1 > 2
푒+1
，
令ℎ(푥) = 2푒푥−1
푥푒푥+1
，则ℎ′(푥) = 2푒푥−1(1−푒푥)
(푥푒푥+1)2 ，
∵푥 > 1，∴1 − 푒푥 < 0，∴ℎ′(푥) < 0，ℎ(푥)在(1, +∞)单调递减，
∴当푥 > 1时，ℎ(푥) < ℎ(1) = 2
푒+1
，
∴푝(푥)
푒+1 > 2
푒+1 > ℎ(푥)，即(푥 + 1) (푥 + 1
푒푥) 푓(푥) > 2 (1 + 1
푒).
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．[选修 4-4:坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线
2
2
1 : 1,4
yCx以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线 2C 是圆心极坐标为 3, ，半径为 1 的圆.
（1）求曲线 1C 的参数方程和 的直角坐标方程；
（2）设 ,MN分别为曲线 ， 上的动点，求||MN 的取值范围
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23. [选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 | 2 1| | 2 |f x x x .
（1）求不等式 0fx 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 | 2 1| 3 3| 5|m f x x 有解，求实数m 的取值范围.
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